《河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學(xué)二輪專題《三角變換與解三角形》訓(xùn)練》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學(xué)二輪專題《三角變換與解三角形》訓(xùn)練(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學(xué)二輪《三角變換與解三角形》專題訓(xùn)練
一、選擇題
1.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,則tanα的值等于( )
A. B.
C. D.
解析:由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=,sin2α=,又因?yàn)棣痢?0,),所以sinα=.即α=,所以tanα=tan=.
答案:D
2.(2020·遼寧高考)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,則=( )
A.2 B.2
C. D.
解析:由正弦定理,得sin2AsinB+s
2、inBcos2A=sinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=sinA,所以sinB=sinA.∴==.
答案:D
3.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA=4sinB=3sinC,則cosB=( )
A. B.
C. D.
解析:依題意,結(jié)合正弦定理得6a=4b=3c,設(shè)3c=12k(k>0),則有a=2k,b=3k,c=4k;由余弦定理得cosB===.
答案:D
4.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,則cos(α+)=( )
A. B.-
C. D.-
解析:對于cos(α+)=cos
3、[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),[ : ]
而(+α)∈(,),(-)∈(,),因此sin(+α)=,sin(-)=,則cos(α+)=×+×=.
答案:C
5.已知sinβ=msin(2α+β),且tan(α+β)=3tanα,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.2 B.
C.3 D.
解析:因?yàn)閟inβ=msin(2α+β),所以sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],即sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα],也即(1-m)sin(α+β
4、)cosα=(1+m)cos(α+β)sinα,所以==3,所以m=.
答案:B
6.在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,已知b2=c(b+2c),若a=,cosA=,則△ABC的面積等于( )
A. B.
C. D.3
解析:∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0.
即(b+c)·(b-2c)=0.∴b=2c.
又a=,cosA==,
解得c=2,b=4.
∴S△ABC=bcsinA=×4×2× =.
答案:C
二、填空題
7.(2020·重慶高考)已知sinα=+cosα,且α∈(0,),則的值為________.
解
5、析:依題意得sinα-cosα=,又(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,即(sinα+cosα)2+()2=2,故(sinα+cosα)2=;又α∈(0,),因此有sinα+cosα=,所以==-(sinα+cosα)=-.
答案:-
8.(2020·福建高考)如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,點(diǎn)D在BC邊上,∠ADC=45°,則AD的長度等于________.
解析:在△ABC中,∵AB=AC=2,BC=2,
∴cosC=.
∴sinC=;在△ADC中,
由正弦定理得,=,
∴AD=×=.
答案:
9.在△ABC中,B=60°,AC=,則AB+
6、2BC的最大值為________.
解析:在△ABC中,根據(jù)==,得AB=·sinC=sinC=2sinC,同理BC=2sinA,因此AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(π-C)=4sinC+2cosC=2sin(C+φ)(tanφ=),因此AB+2BC的最大值為2.
答案:2
三、解答題
10.已知向量a=(,),b=(cosx,sinx),x∈(0,).
(1)若a∥b,求sinx和cos2x的值;
(2)若a·b=2cos(+x)(k∈Z),求tan(x+)的值.
解:(1)∵a∥b,∴sinx=cosx.
于是sinx=cosx,又∵sin2x+
7、cos2x=1,∴cos2x=,[ : ]
又∵x∈(0,),∴sinx== =.
cos2x=2cos2x-1=-1=-.
(2)∵a·b=cosx+sinx=cossinx+sincosx
=sin(x+),
而2cos(x+)=2cos(2kπ+x++2π)=2cos(x+)(k∈Z),
于是sin(x+)=2cos(x+),即tan(x+)=2.
∴tan(x+)=tan[(x+)+]
===-3.
11.(2020·湖南高考)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA-cos(B+)
8、的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,B的大?。?
解:(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.[ : ]
因?yàn)?<A<π,所以sinA>0,從而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,則C=.
(2)由(1)知,B=-A.
于是sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+).
因?yàn)?<A<,所以<A+<.
從而當(dāng)A+=,即A=時(shí),
2sin(A+)取最大值2.
綜上所述,sinA-cos(B+)的最大值為2,此時(shí)A=,B=.
12.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn).現(xiàn)位于
9、A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間?
解:由題意知AB=5(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,
∠DAB=90°-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理得
=,
∴DB=
=
=
==10(海里).[ : ]
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,
BC=20(海里),
在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1200-2×10×20×=900,
∴CD=30(海里),則需要的時(shí)間t==1(小時(shí)).
答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).