江西省九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量教案 新人教A版必修4

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1、江西省九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量教案 新人教A版必修4 一、向量及向量的基本運(yùn)算 1）向量的有關(guān)概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：。向量的大小即向量的模（長度），記作||。 2）向量加法 ①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，則+==。向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。 說明：（1）； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律； 3)向量的減法 ① 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。 關(guān)于相反向量有： （i）

2、=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。 ②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。 的作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）。 注：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。 （2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。 4)實(shí)數(shù)與向量的積 ①實(shí)數(shù)λ與向量

3、的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的。 ②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。 5)兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。 6)平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 7)特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算。（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），

4、而向量平行則包括共線（重合）的情況。（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。 二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1、 平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。 注：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。 2、 平面向量的坐標(biāo)

5、運(yùn)算 (1) 若，則 (2) 若，則 (3) 若=(x,y)，則=(x, y) (4) 若，則 (5) 若，則，若，則 三、平面向量的數(shù)量積 （1） 平面向量的數(shù)量積的定義 ① 向量，的夾角：已知兩個(gè)非零向量，過O點(diǎn)作，則∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量，的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 ② 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。 ③ 的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=， 規(guī)定=0 非零

6、向量 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，θ=900，這時(shí)=0。 ④在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。 （2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)是兩個(gè)非零向量，是單位向量，于是有：①；②； ③當(dāng)同向時(shí)，；當(dāng)反向時(shí)，，特別地，。 ④；⑤ (3)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ①交換律成立： ②對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立： ③分配律成立： 特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0 四、線段的定比分點(diǎn)與平移 1、 線段的定比分點(diǎn) （1）定義：設(shè)P1,P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1,P2的任意一點(diǎn)，則存在一

7、個(gè)實(shí)數(shù)，使， 叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比。當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在線段或的延長線上時(shí)，<0 （2）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)形式 ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？ （3）中點(diǎn)坐標(biāo)公式 當(dāng)=1時(shí)，分點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，即有，向量形式呢？ 2、平移 （1）圖形平移的定義：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將圖上的所有點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長度，得到圖形F’，我們把這一過程叫做圖形的平移。 （2）平移公式設(shè)P(x,y)是圖形F上任意一點(diǎn)，它在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)P’(x’,y’’)，且的坐標(biāo)為(h,k)，則有，這個(gè)公式叫做點(diǎn)的平移公式，它反映了圖

8、形中的每一點(diǎn)在平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系。 五、解三角形及應(yīng)用舉例 1、角的變換：在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC． 2、 三角形邊、角關(guān)系定理——正弦定理，余弦定理． （1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角） （2）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的

9、兩倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； b2=c2+a2－2cacosB； c2=a2+b2－2abcosC. 在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. 3、三角形的面積公式： （1）S△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）．（2）S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB． （3）S△＝＝＝．（4）S△＝2R2sinAsinBsinC． （R為外接圓半徑） （5）S△＝．（6）S△＝（7）S△＝r·s．