江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練1

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1、專題強(qiáng)化訓(xùn)練1 1.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建．在AB的延長線上取點(diǎn)D，OD＝80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2．設(shè)∠AOC＝x rad． (1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問∠AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值． A B O C D (1)因?yàn)樯刃?AOC的半徑為?40 m，∠AOC＝x?rad， 所以?扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． …………… 2分

2、 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x， 所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．…… 5分 從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分 2. 如圖所示，某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，

3、其中該太陽光線與水平線的夾角滿足. （1）若設(shè)計(jì)米，米，問能否保證上述采光要求？ F A B E D G C ←南 居 民 樓 活 動(dòng) 中 心 （2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)與的長度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中取3） 解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． （1）因?yàn)?，，所以半圓的圓心為， 半徑．設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即， 則由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， 令，得米米. 所以此時(shí)能保證上述采光要求.

4、 （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為． 方法一：設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即，由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， 令，得，由，得. 所以 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 方法二：欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時(shí)點(diǎn)為， 設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即． 由直線與半圓H相切，得． 而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－10

5、0＜0， 即，從而． 又. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 3.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點(diǎn)，如圖所示， 記∠PAB=θ． （1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值； （2）若BC=1，求?的最大值． 解：（1）∵，∴∠BAC=； 由∠PAB=θ得∠CAQ=； ∴S四邊形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ = = =； ∵，∴當(dāng)時(shí)，S四邊形PBCQ取得最大值； （2）當(dāng)BC=1時(shí)，∠BAC=，∠PAC=； ∴ = =﹣1 = = =； ∵；

6、∴時(shí)，取得最大值． L A B O M L L a b 4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的．位于該市的某大學(xué)與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)．其中，，． （1）求大學(xué)與站的距離； （2）求鐵路段的長． （1）在中，，且，， 由余弦定理得， ，即大學(xué)與站的距離為； （

7、2），且為銳角，， 在中，由正弦定理得，, 即，，， ， ，，， 又， ， 在中，， 由正弦定理得，， 即，，即鐵路段的長為． 5.如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架OB上裝點(diǎn)普通珠寶，普通珠寶的價(jià)值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k（k為正常數(shù)）：在△AOC區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價(jià)值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k，設(shè)OA=x，OB=y．

8、 （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； （2）求N﹣M的最大值及相應(yīng)的x的值． 解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1， 由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=， 由x＞0，y＞0，得1＜x＜2， ∵x＞y， ∴x＞， 得1＜x＜， ∴OA的取值范圍是（1，）． （2）M=kOB=ky，N=4k?S△AOC=3kx， 則N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣）， 設(shè)2﹣x=t，則t∈（，1）， 則N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k， 當(dāng)且僅當(dāng)4t=，即t=，x=2﹣時(shí)

9、，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k． 　 6.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知==． （1）求C； （2）如圖，設(shè)半徑為R的圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四邊形APCB面積S（θ）的解析式及最大值． 【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用． 【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范圍可得A+B=，從而求得C； （2）把三角形ABC的三邊用R表示，再由S（θ）=S△ABC+S△APC，代入三角形面積公式化簡，然后由θ∈（）求得四邊形APCB面積S（θ）的最大值． 【解答

10、】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B， ∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B，或2A+2B=π， 即A=B或A+B=， ∵，∴A=B舍去，從而C=； （2）由條件得：c=2R，a=R，b=R，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（）， S（θ）=S△ABC+S△APC= == ==，θ∈（）， ∵∈（）， ∴當(dāng)時(shí)，． 7.一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A

11、到F所需時(shí)間為T． （1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域； （2）求時(shí)間T最短時(shí)θ的值． 解：（1）過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，則OG=1， OF==，EF=1+，AE=θ， ∴T（θ）=+=++，θ∈[，]； （2）由（1）可知T′（θ）=﹣==﹣， 記cosθ0=，由θ0∈[，]可知： 當(dāng)θ∈（，θ0）時(shí)T′（θ）＜0，即T（θ）在區(qū)間（，θ0）上單調(diào)遞減， 當(dāng)θ∈（θ0，）時(shí)T′（θ）＞0，即T（θ）在區(qū)間（θ0，）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)θ=時(shí)時(shí)間T最短． 8.如圖，O為總信號(hào)源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，

12、OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =． （1）求居民區(qū)A與C的距離； （2）現(xiàn)要經(jīng)過點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）．設(shè)∠AOE = θ（0≤θ <），鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w（元）． ① 求w關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式； ② 求w的最小值及此時(shí)的值． 11.如圖，摩天輪的半徑為，點(diǎn)距地面的高度為，摩天輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處. （1）試

13、確定在時(shí)刻（）時(shí)點(diǎn)距離地面的高度； （2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)距離地面超過？ （1）以為原點(diǎn)建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為， ∴以為始邊，為終邊的角為， 故點(diǎn)縱坐標(biāo)為， ∴距地面高度為； （2）令即， ∴，∴， ∴，. 答：一圈內(nèi)有2分鐘超過. 12.如圖，有一塊矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個(gè)商業(yè)區(qū)，其中頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)四個(gè)入口，且入口在邊上（不包含頂點(diǎn)），入口分別在邊上，，，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。 （1）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。 ①求直線的方程 ②求的取值范圍。 （2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積

14、為，問入口如何選址，即為何值時(shí)，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？ 13.圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長為．若凹槽的強(qiáng)度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，． （1）寫出關(guān)于函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍； （2）求當(dāng)取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大． 【解】（Ⅰ）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長為． 所以， 得……………………………………………………………………………………2分 依題意知： 得 所以，（）．………………………………………………………6分 （Ⅱ）依題意，設(shè)凹槽

15、的強(qiáng)度為，橫截面的面積為，則有 ，，………………………………………………9分 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大．……………………………………………………………13分 答：所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大．………………………………………………………14分[] 14.如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個(gè)小島，A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭．已知，，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過小島Q． （1）求水上旅游線路AB的長； （2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水

16、波P，水波生成t h時(shí)的半徑為（其中，R）．強(qiáng)水波開始生成時(shí)，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問強(qiáng)水波是否會(huì)波及游輪的航行，并說明理由． 解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示． 則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 ． 由，解得，所以．2分 故直線AQ的方程為， 由得 即，故， …………………………………… 5分 答：水上旅游線的長為km． ………………………………………6分 （2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P，由題意可得P（3，9）， 生成小時(shí)時(shí)，游輪在線段AB上的點(diǎn)C處， 則，所以

17、． 若強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即 即， ………………………………………10分 當(dāng)時(shí)恒成立， 當(dāng). ，， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)時(shí)恒成立，即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行．……14分 答：在時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行． …………………15分 15.如圖所示，某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（5，），DF⊥OC，垂足為F． （I）求函數(shù)y=Asin（

18、ωx+φ）的解析式； （II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂園的面積最大？ 解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=，ω==， 將（5，），代入y=sin（x+φ）得：， |φ|＜，所以φ=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）． （Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4） 從而得曲線OD的方程為y2=4x，（0≤x≤4）． 設(shè)點(diǎn)P（）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=，0≤t≤4． 因?yàn)镾′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈時(shí)S′＞0，S遞增， t∈時(shí)S′＜0，S遞減， 所以當(dāng)t=，S最

19、大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 16.某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時(shí)間共60個(gè)月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤（單位：萬元），為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤投入到次月的經(jīng)營中，記第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率，例如：． （1）求g（10）； （2）求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率g（x）； （3）該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個(gè)月的當(dāng)月利潤率最大，并求該月的當(dāng)月利潤率． 解：（1）由題意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1 g（x）===． （2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1 ∴g（x）====． 當(dāng)21≤x≤

20、60時(shí)， g（x）= = = = = ∴當(dāng)?shù)趚個(gè)月的當(dāng)月利潤率 ； （3）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，是減函數(shù)， 此時(shí)g（x）的最大值為 當(dāng)21≤x≤60時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=40時(shí)， ，又∵， ∴當(dāng)x=40時(shí)， 17.如圖，太湖一個(gè)角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長 度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇： 方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中； 方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中； （1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積； （2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積； （3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說明理由. （1）設(shè)，則，即，所以 . （2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.所以 ,即. 答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一.