江蘇省南京市建鄴高級中學高三數(shù)學第一輪復習《第6課時 函數(shù)的奇偶性》學案

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1、第6課時 函數(shù)的奇偶性 【考點概述】 ①結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；； ②會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)． 【重點難點】： 函數(shù)奇偶性概念及函數(shù)奇偶性的判定；函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用和抽象函數(shù)的奇偶性的理解和應(yīng)用． 【知識掃描】 1. 奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有___ _ __，則函數(shù)叫做偶函數(shù). 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有_____ _，則函數(shù)叫做奇函數(shù). 2. 判斷函數(shù)的奇偶性 一般步驟是： （1）考查定義域是否關(guān)于___________. （2）根據(jù)定義域考查表達式是否等于或— 若=

2、______，則為奇函數(shù)； 若=______，則為偶函數(shù). 若=______且=_______，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若≠—且≠，則是非奇非偶函數(shù). 3. 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱. 4. 函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的相關(guān)關(guān)系 （1）奇函數(shù)在和上有________的單調(diào)性. （2）偶函數(shù)在和上有________的單調(diào)性. （3）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的和是 ，兩個奇函數(shù)的積是 ； 兩個偶函數(shù)的和、積都是 ；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是 。 5.函數(shù)

3、的周期性 （1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何一個值時，都有 ，則稱是周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期。 （2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中， 的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期。 【熱身練習】 1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則 ． 2．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù) 。 3.已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則函數(shù)的奇偶性為 。（填奇函數(shù)或偶函數(shù)） 4. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則

4、． 【范例透析】 【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)； (2)； （3） （4） 【例2】若是定義在上的奇函數(shù)，當時，，求當時，函數(shù)的解析式。（必修1習題10改編） 【例3】已知函數(shù)對一切、都有． ⑴ 求證：是奇函數(shù)； ⑵ 若，用表示． 【例4】已知是R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x，恒有。當時。 （1） 求證：是周期函數(shù) （2） 當時，求的解析式。 （3） 計算 【方法規(guī)律總結(jié)】 1. 判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原

5、點對稱，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件。 2. 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。 3. 若奇函數(shù)在x=0 處有定義，則f（0）=0； 4. 為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需先將函數(shù)在定義域內(nèi)化簡，或應(yīng)用定義的等價形式： 【鞏固練習】 1．已知奇函數(shù)，當時，則=_______. 2．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)且周期為3，則，則 。 3． 設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)___________。 4．設(shè)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則 的解集是_____. 5．設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若當時，則滿足 的x的取值

6、范圍是 6．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當時 ，則 7. 已知是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，則 8. 判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1） （2） 第6課時 函數(shù)的奇偶性參考答案（部分） 【熱身練習】 1.答案： 2. 答案： 解析：由奇函數(shù)定義有得， 故。 3. 答案：偶函數(shù) 解析：函數(shù)，為奇函數(shù)，奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，解得。，所以為偶函數(shù)。 4. 答案： 解析：. 5. 答案： 解

7、析：是奇函數(shù)，又由，得，。 【范例透析】 例1．解：（Ⅰ）（1）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷. 由得 故f（x）的定義域為［－1，0）∪（0，1］，關(guān)于原點對稱，且有x+2＞0.從而有f（x）= =，這時有f（－x）==－=－f（x）， 故f（x）為奇函數(shù). （Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當x＜0時，－x＞0， ∴f（－x）==－f（x）（x＜0）. 當x＞0時，－x＜0，∴f（－x）==－f（x）（x＞0）. 故函數(shù)f（x）為奇函數(shù). 例2．解：當時，，而為奇函數(shù)， ； 當x=0時，，適合； 當，。 例3解： （1）函數(shù)f（x）的定義域是R，中，令得 令得是奇函數(shù)。 （2），， 所以 【鞏固練習】 1. 答案：-2解析：因為奇函數(shù)，所以。 2．答案：1 解析：因為函數(shù)是奇函數(shù)且周期為3，所以 。 3. 答案： 解析：考查函數(shù)的奇偶性的知識。為奇函數(shù)，由，得。 4. 答案： 解析： 由得或，而。 即或。