廣東省廉江市第三中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí) 探索性問題

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1、高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)（15）—探索性問題 一、選擇題（本題每小題5分，共60分） 1．集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}，f是A到B的映射，且滿足條件f(a)+f(b)+f(c)=0，這樣的映射共有 （ ） A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè) 2．在△ABC中，sinA>sinB是A>B成立的 （ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要

2、條件 3．直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有 （ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 4．設(shè)數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是 （ ） A． B． C． D． 5．PQ是異面直線a，b的公垂線，a^b，A?a，B?b，C在線段PQ上（異于P,Q），

3、則DABC 的形狀是 （ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定 6．用一張鋼板制作一容積為的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長×寬的尺寸如各選項(xiàng)所示，單位均為m），若既要夠用，又要所剩最少，則應(yīng)選鋼板的規(guī)格是 （ ） A．2×5 B．2×5.5 C．2×6.1 D．3×5 7．計(jì)算機(jī)是

4、將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如（1101）2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么將二進(jìn)制數(shù)（11…11）2（2020個(gè)1）轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是 （ ） A．22020－2 B．22020－2 C．22020－1 D．22003－1 8．?dāng)?shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項(xiàng)的值是 （ ） A．42 B．45 C．48 D．51 9．在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n－10的 （ ） A．第2項(xiàng)

5、 B．第11項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第24項(xiàng) 10．已知集合A={x|x2－2x－3>0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4則有（ ） A．a(chǎn)=3,b=4 B．a(chǎn)=3,b=－4 C．a(chǎn)=－3,b=4 D．a(chǎn)=－3,b=－4 11．不等式<2x+a(a>0)的解集是 （ ） A．{x|x>0或x< －a} B．{x| －

6、2上的射影恰好是該橢圓的右焦點(diǎn)，則此二面角的大小為 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空題（本題每小題4分，共16分） 13．已知定點(diǎn)A(－2，),F是橢圓+=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動，則當(dāng)|AM|+ 2|MF|取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 . 14．若(x2－)n的 展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(1－x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,則a1+a2+a3+…+a2n= . 15．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列

7、是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為________________ . 16．定義集合A和B的運(yùn)算：. 試寫出含有集合運(yùn)算符號“”、“”、“”，并對任意集合A和B都成立的一個(gè)等式：_______________. 三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）： 17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且 （1）求的值； （2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?若存在，求出這個(gè)的值；若不存在，說明理由.

8、 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)． （1）求證：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)； （2）若f(x)是R上的增函數(shù)，是否存在點(diǎn)P，使f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P中心對稱？如果存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并給出證明；如果不存在，請說明理由． 19．（本小題滿分12分）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得對

9、所有的均成立？若存在，則求出所有適合條件的實(shí)數(shù)；若不存在，試說明理由. 20．（本小題滿分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a,b,c，且b,a,c成等差數(shù)列，b≥c，已知B(－1,0),C(1,0)。 （1）求頂點(diǎn)A的軌跡L； （2）是否存在直線m，使m過點(diǎn)B并與曲線L交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且|PQ|恰好等于 原點(diǎn)到直線m的距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由.

10、 21．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）證明PA⊥平面ABCD； （2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大??； D P B A C E （3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.

11、 22．（本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}中，a1=4，an+1=，是否存在這樣的數(shù)列{bn}，bn=，其中A、B、C為實(shí)常數(shù)，使得{bn}是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你的結(jié)論，并求{an}的取值范圍. 答 案 一、選擇題（每小題5分，共60分）： (1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C 二、填空題（每小題4分，共16分） (13

12、). (2,) ； (14). 255； (15). 3 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， (16).；； ；… 三、解答題（共74分，按步驟得分） 17.解：（1）∵，∴，即， ∵，∴ （2）， 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，∵，∴這樣的不存在。 當(dāng)，即時(shí)，，這樣的不存在。 綜上得， . 18. 解：（1）∵ f(x)=(x－a)(x－b)(x－c) ＝ｘ3－（a+b +ｃ)x2＋(ab+bc+ac)x－abc f ′(x)=3 x2－2(a+b +ｃ)x＋(ab+bc+ac)

13、 =[ x2－ (a+b)x＋ab]＋[ x2－(a+c)x＋ac]＋[ x2－(b+c)x＋bc] =(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)． （2）∵f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，∴f ′(x)≥0，對x∈R恒成立， 即 3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0 對x∈R恒成立． ∴△≤0, 4(a+b+c)2－12(ab+bc+ca) ≤0， ∴ (a－b)2＋(a－c）2＋ (b－c)2≤0，∴ a=b=c． ∴ f(x)=(x－a)3 ， ∴f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱． 證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x，y)是 f(x)=

14、(x－a)3圖像上的任意一點(diǎn)，y=(x－a)3， 點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱的點(diǎn)P′(2a－x，－y)， ∵(2a－x－a)3=(2a－x)3= －(x－2a)3=－y ， ∴點(diǎn)P′在函數(shù)f(x)=(x－a)3的圖像上，即函數(shù)f(x)=(x－a)3關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱． 19. 解：因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，又在上是增函數(shù) 所以在R上也是增函數(shù)，且 因?yàn)? 所以 故 要使不等式對任意恒成立，只要大于函數(shù)的最大值即可。 令，則求函數(shù)的最大值， 方法1（求導(dǎo)） 解

15、得：，因 當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 故 ，因此 方法2（判別式）把函數(shù)變形為 設(shè)，即在上有解 當(dāng)時(shí)，必須且，矛盾； 當(dāng)時(shí)，或 或或 此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，必須且，矛盾； 方法3（不等式） ，此時(shí) 20. 解：（1）由題設(shè)知b+c=2a，|BC|=2, ∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又b≥c， 故由橢圓的定義知，點(diǎn)A的軌跡L是左半個(gè)橢圓（去掉左頂點(diǎn)）， 軌跡方程為：+=1（－2

16、4k2+3)x2+8k2x－12+4k2=0。 設(shè)P(x1,y1)Q(x2,y2)，則x1+x2= －，x1·x2=， 又∵x1≤0,x2≤0，即x1x2≥0, ∴k2≥3，∴ |PQ|== 設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為d，則d=, ∵|PQ|=,∴=，得k2=<3， 這與k2≥3矛盾，表明直線m不存在。 ②當(dāng)斜率不存在時(shí)，m的方程為x= －1，此時(shí)|PQ|=|y1－y2|=3,d=1，|PQ|≠， 所以不滿足題設(shè)。綜上，滿足題設(shè)的條件不存在。 21.證明： 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=

17、2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 從而 （Ⅲ）解法一 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 所以 設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則 令 得 解得 即 時(shí)， 亦即，F(xiàn)是PC

18、的中點(diǎn)時(shí)，、、共面. 又 BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC. 解法二 當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC，證明如下， 證法一 取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE. ① 由 知E是MD的中點(diǎn). 連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn). 所以 BM//OE. ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 證法二 因?yàn)? 所以 、、共面. 又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. 22.解：假設(shè)這樣的{bn}存在，則應(yīng)有 bn+1=== bn= 存在q≠0,q≠1,q為常數(shù)，使bn+1=qbn,對n∈N都成立，于是比較兩邊的分子和分母，有 由（1）可解得A=－1或－2，由（2）、（3）可解得B=－C或C=－2B。 1°若代入（2）知q=1（B、C不能為0，否則bn=0，不合題意要求）舍去。 2°若代入（2）得q= 3°當(dāng)時(shí)，q= 4°當(dāng)時(shí)，q=1（舍去） 故現(xiàn)只取A=－1，B=1，C=－2，q=（不必考慮時(shí)的情況，因?yàn)橹蛔C存在性）。 得bn= 所以滿足題設(shè)條件的數(shù)列存在.