2020高考數(shù)學(xué)熱點集錦 向量的運算

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1、向量的運算 【兩年真題重溫】 【2020新課標全國理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題： ：； ：； ：； ：． 其中的真命題是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】本題考查向量的基本運算和性質(zhì)． ，展開易得． 【2020新課標全國文，2】a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】 C 【解析】本題考查向量的坐

2、標運算和向量的夾角公式.因a＝(4,3)，b＝(x,y), 2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12. cos= 【命題意圖猜想】 1. 2020年新課標高考理對向量的考查體現(xiàn)在求向量的夾角和模的運算，難度中等，文科則表現(xiàn)在向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，較為簡單；2020年理科沒有涉及向量問題，而文科考查以【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1、平面向量的數(shù)量積： （1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做

3、與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝.④平面向量數(shù)量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0.如(13)設(shè)，則k＝_____時，A,B,C共線. 5、向量垂直的充要條件：.特別地. 則有 .方向上的單位向量，設(shè)則有AP平

4、分,又共線，所以O(shè)A平分.同理可證BO平分,CO平分,從而O是內(nèi)心. 3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用 向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點.命題方向有兩點：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 例4 設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且 C A B D E F 圖1 則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【解

5、法一】利用三角形的加法法則：幾何法.如圖1， 在 在 在 A.4 B.5 C.6 D.8 H N C(M) B A D 解析一：（幾何法） 對于幾何含義： 如圖所示，當和重合時，投影為正且最大. o M D N ， 則. 解析二：（代數(shù)法） 建立如圖的坐標系，則取得最大值6. 4.平面向量共線的坐標表示 (1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b的充要條件a＝λb與x1y2－x2y1＝0在本質(zhì)上是相同的，只是形式上有差異． (2)要記準

6、坐標公式特點，不要用錯公式． 5.求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角關(guān)系是鈍角． 6.如果高考單獨考查向量運算，如代數(shù)或幾何運算，一般試題難度較低，位置較為靠前，此時為得全分的題目；如果向量和其他知識相結(jié)合，考查最值問題，一般以后幾道選擇題出現(xiàn)，難度較大，此時應(yīng)充分考慮向量的幾何意義或坐標法進行解決.在利用坐標法解決問題時，可考慮一般問題特殊化，即恰當?shù)慕⒆鴺讼?，將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)運算.如果探求一些范圍問題，適當?shù)拇禉z驗是一個良策. （A）

7、 （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】在中，有因E為DC的中點，故因點F為BC的一個三分點，故故選D. 4.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 在中，，則 (A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 [答案]B 【答案】A 【解析】 因=，其中，，動點的軌跡所覆蓋的區(qū)域以為鄰邊的平行四邊形，則為內(nèi)切圓的半徑. 由余弦定理可知 又因為三角形的內(nèi)心，故到三角形各邊的距離均為此時三角形的面積可以分割為三個小三角形的面積的和，即答案：D 解析：由向量加法法則可知四邊形ABCD是平行四邊形，故選D 9.【山東省棗莊市2020

8、屆高三上學(xué)期期末測試試題】 若平面向量兩兩所成的角相等，則_______. 【答案】2或5 【解析】①三個向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為120o時， . ②三個向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為0o時，. 10.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 已知，，與的夾角為，，則與的夾角為 A． B． C． D． 【答案】B ，因 函數(shù)取得最大值故答案為C. A.－1 B．1 C. D．2 【答案】 B　 【解析】 |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故選B. 16.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測】 若非零向量滿足，則與的夾角為 ． 【答案】 【解析】如圖與構(gòu)成等邊三角形，則與的夾角為 17.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】 的最小值是_____________． 【答案】 【解析】因為點是的重心，所以， 因為，所以， 所以，