2020高考數(shù)學熱點集中營 熱點20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 新課標

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1、 【兩年真題重溫】 【2020新課標全國理，20】在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，··，點的軌跡為曲線． (Ⅰ) 求的方程； (Ⅱ) 為上的動點，為在點處的切線，求點到距離的最小值． ∴點到的距離===， 當時取等號，∴點到的距離的最小值為． 【2020新課標全國理，20】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數(shù)列。 則. 【2020新課標全國文，20】設(shè),分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦: , 化簡得 則 因為直線AB的斜率為1，所以即 . 則,解得. 【命題意圖猜想】

2、【最新考綱解讀】 1．圓錐曲線 (1)了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用． (2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)． (3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì)． (4)了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用． (5)理解數(shù)形結(jié)合的思想． 2．曲線與方程 結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想． 【回歸課本整合】 （1）若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。 的距離分別為，

3、焦點的面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論： ,. （3） 在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率. （4）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點,反之亦成立. 5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標系；“設(shè)”：設(shè)動點坐標. 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標. (1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設(shè)點. (2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當?shù)淖鴺讼? 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式. 寫出適合條件P的點M的集合P={

4、M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確. 3、“代”：代換 用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式. 要注意同解變形. 5、證明 證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點. 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍). 注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化. 【方法技巧提煉】 線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；

5、 （2）求最值問題：主要把握兩個轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設(shè)的條件，進行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題. x F P y A M 例2 已知P點為拋物線的動點，點P在軸上的射影是M，點A的坐標是，則的最小值是（ ） A. B.4 C. D.5 答案：C 解析:利用拋物線定義，把可轉(zhuǎn)化為. 因A在拋物線外，當P、A、F三點共線時，取得最小值.如圖3，焦點F, 當P、A、F三點共線時，取得最小值，此時故選C. A． B． C． D．

6、答案：B 解析一：采用向量問題坐標化， 設(shè)M, 又，代入可得 B x A O y M C D 解析二：如圖，考慮幾何性質(zhì)：, 因，可知三點共線,又，則四邊形OCMD為矩形. 如圖所示可知：利用三角形相似可知 又，可得 例4 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(0,1)，離心率e＝. (1)求橢圓C的方程； (2)在橢圓C上任取不同兩點A，B，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，當A，B變化時，如果直線AB經(jīng)過x軸上的定點(1,0)，問直線A′B是否也經(jīng)過x軸上的一個定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，說明理由． 【解答】 (1)依題意可得解得a＝2

7、，b＝1. 所以橢圓C的方程是＋y2＝1. ． 【解答】 (1)點A坐標代入圓C方程，得(3－m)2＋1＝5. ∵m＜3，∴m＝1. 圓C：(x－1)2＋y2＝5. 設(shè)直線PF1的斜率為k， 則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. ∵直線PF1與圓C相切，∴＝. 4．直線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行． 5．曲線與方程 (1)“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”，闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有點適合這個條件而毫無例外(純粹性)． (2)“以方程的解為坐標的點都在曲線上

8、”，闡明適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏(完備性)． (3)由(1)(2)兩個條件可知，曲線的點集與方程的解集之間是一一對應(yīng)的． 6．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”． 【新題預測演練】 1.【2020年河北省普通高考模擬考試】 已知圓C的方程為，過點作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，， ∴ = 當且僅當時取等號，則面積的最大值為1. ………..12分 依題意，直線與橢圓必相交于

9、兩點，設(shè)，， 則，. ……………………7分 又，， 所以 ………………………8分 解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即， 所以拋物線的方程為 . ……………4分 （I）求動點軌跡的方程; （II）過點的直線交曲線于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點. 解一：（1）由題知： …………2分 化簡得：……………………………4分 解三：由對稱性可知，若過定點，則定點一定在軸上， 設(shè)，:， 代入整理得…………

10、6分 ,，…………8分 （II）設(shè)直線：，，，，， 由得.…………6分 所以，. ……………………8分 而 ，，…………10分 ∴三點共線 ……………………………………12分 ，又. .……………………………………………………………8分 （Ⅱ）設(shè)的坐標分別為、、 則直線的方程為：………………………………………………6分 令得，同理得………………………………………8分 在橢圓上，所以………………………………10分 所以 所以為定值0. ………………………………………………………………12分 而 ……………

11、…………11分 由代入化簡得： 即；當且僅當時，取到最大值?！?3分 ， 由韋達定理，代入上式， 化簡整理得，即，故所求范圍是. 2分 （ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，. 由，. 2分 而 . 所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補， 故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形． 3分 8.【唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試】 中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)

12、過點C(2, 2),且·＝2 (I )求橢圓E的方程； (II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程. 解： 9.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預測】 在△ABC中，頂點A，B，動點D，E滿足：①；②，③共線. （Ⅰ）求△ABC頂點C的軌跡方程； （Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與頂點C的軌跡有兩個不同交點M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請說明理由. 解：(I)設(shè)C（x,y）,由得，動點的坐標為； 由得，動點E在y軸上，再結(jié)合與共線， 得，動點E的坐標為;

13、 …………2分 由的，， 整理得，. 當直線MN的斜率不存在時，可得，滿足. 綜上所述：存在圓滿足題意. …………12分 10.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測(二)】 ，求的取值范圍. （Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距是.依題意，得 . ………………1分 因為橢圓的離心率為， 所以，. ………………3分 故橢圓的方程為 . ………………4分 （Ⅱ）解：當軸時，顯然.

14、 ………………5分 12.【北京市東城區(qū)2020學年度高三數(shù)第一學期期末檢測】 已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，， 故橢圓方程為． 　　　　 …………5分 13.【河北省石家莊市2020屆高三上學期教學質(zhì)量檢測(一)】 已知焦點在軸上的橢圓C1：=1經(jīng)過A(1，0)點，且離心率為． (

15、I)求橢圓C1的方程； (Ⅱ)過拋物線C2：(h∈R)上P點的切線與橢圓C1交于兩點M、N，記線段MN與PA的中點分別為G、H，當GH與軸平行時，求h的最小值． 解：（Ⅰ）由題意可得，……………2分 解得， 當時，，當且僅當時取得等號，此時，滿足①式。 綜上，的最小值為1.………………12分 14.【唐山市2020學年度高三年級第一學期期末考試】 解： （Ⅰ）由橢圓方程，a＝，b＝1，c＝1，則點F為(－1，0)． 直線AB方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程，得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

16、2)，M(x0，y0)，則 x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝， 由點M在直線x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0， ∵k≠0，∴k＝1． …6分 （Ⅱ）將k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0， 不妨設(shè)x1＞x2，則x1＝0，x2＝－， …8分 記α＝∠ACF，β＝∠BCF，則 tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝， ∴α＝β， ∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分 15.【山東省德州市2020屆高三上學期期末考試數(shù)學試題】 而 故恒成立 （Ⅲ）時,曲線方程為，假設(shè)存在直線與直線垂直,設(shè)直線的方程為 ………………………………………………8分 設(shè)直線與橢圓交點 解析：（Ⅰ）因為滿足， ，…………2分