2020高考數(shù)學(xué)熱點集錦 組合體問題

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1、組合體問題 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國理，15】已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且，，則棱錐的體積為 ． 【答案】 【答案】 【答案】B 【解析】命題意圖：本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運算能力和空間形象能力. 根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為的正三棱柱，則其外接球的半徑為 ，球的表面積為，應(yīng)選B. 【2020新課標(biāo)全國文，7】設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 （A）3a2 （B）6a2 （C）1

2、2a2 （D） 24a2 【答案】B 【解析】本題考查長方體的外接球問題. 【命題意圖猜想】 【最新考綱解讀】 (1)認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． (2)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶)． 【回歸課本整合】 （4）側(cè)面積＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積＝底面周長×側(cè)棱長.全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2×底面積. 4.棱柱、棱錐與球的體積 6．圓柱、圓錐、圓臺 (1)圓柱、圓錐、圓臺的

3、概念 分別以矩形的一邊、直角三角形一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺． C B A D S O E 7.簡單幾何體與球的綜合問題 解得：.與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：. 2.正方體與球 （1）正方體的內(nèi)切球： 截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為，則. A11 F E G H O J C C1 A

4、B D D1 B1 （2）與正方體各棱相切的球： 截面圖為正方形EFGH的外接圓.則. B C C1 A1 A D1 E E1 DD O B1 （3）正方體的外接球：截面圖正方形ACA1C1的外接圓.則. C B A S O (2)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.(L為長方體的體對角線長). 5. 各面均為直角三角形三棱錐與球 如右圖，SA面ABC,ABBC,則可推出SBBC

5、,即此三棱錐的四個面全是直角三角形.取SC的中點為O,由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OS=0B=OC,所以O(shè)點為三棱錐的外接球的球心.. 【方法技巧提煉】 如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑． 是正三棱錐的高，即．是邊中點，在上，的邊長為， ∴．∴. 可以得到． 由等體積法，∴ 得：，∴．∴． cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； C A DV

6、 B ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體. P A B C E D F ①設(shè)正四面體的棱長為，則高為，斜高為，對棱間的距離為，體積為.側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面和底面所成的角為； ②正四面體與其截面:如圖所示點E為PA的中點，連接EB和EC.點F為BC中點，連接EF.則截面EBC⊥PA, EBC⊥面PAB, EBC⊥面PAC. EF為相

7、對棱的公垂線，其長度為相對棱的距離； ③正四面體可補形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個棱為正方體的面對角線.正方體的棱長是正四面體棱長的.利用這個補形為解題帶來很大的方便. 【考場經(jīng)驗分享】 和空間想象能力，尤其是與球相關(guān)的內(nèi)切與外接問題，具有一定的規(guī)律和常用的結(jié)論，故總結(jié)常用的類型，形成解題的套路和模式. 【新題預(yù)測演練】 1.[唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試] 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為 （ ） A． B． C． D． 【答案】

8、B 【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體為一個三棱錐，其中面， A B C D E O E為AC的中點，則有 設(shè)其外接球的球心為O,則它落在高線DE上， 則有 解得，故球的半徑為故答案為B. 2.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 3.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】 在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為 . 【答案】 5．【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 AA DA BA NA MA OA

9、CA 6.【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試】 已知正方形的邊長為，將沿對角線折起，使平面平面，得到如圖所示的三棱錐．若為邊的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點），且.設(shè)，則三棱錐的體積的函數(shù)圖象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由平面平面，為邊的中點可知平面,易知 故三棱錐的高為的面積為 8.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】

10、 已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球的半徑為 A．3 B．6 C．36 D．9 【答案】A 【解析】以為棱構(gòu)造長方體，則該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，則 9.【河南省南陽市2020屆高中三年級期終質(zhì)量評估】 A. B. C. D. 所以VS－ABC＝VS－ABD＋VC－ABD＝S△ABD·SC. 由于在直角三角形△SAC中∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝2，由于AD＝＝.同理在直角三角形△BSC中也有BD＝＝. 又AB＝，所以△ABD為正三角形， 所以VS－ABC＝S△ABD·SC＝××()2·sin60°×4＝，所以選C. 12.【惠州市2020屆高三第二次調(diào)研考試】 如圖，正方體的棱長為，過點作平面的垂線， 垂足為點，則以下命題中，錯誤的命題是（　　） Ａ．點是的垂心 Ｂ．的延長線經(jīng)過點 Ｃ．垂直平面 Ｄ．直線和所成角為 【答案】D