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1、專題八 探索性問題
近年來，隨著社會主義經(jīng)濟建設(shè)的迅速發(fā)展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面發(fā)展的開拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型問題隨之產(chǎn)生。于是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點問題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。
一般地，對于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過觀察、分析、歸納出結(jié)論或
2、判斷結(jié)論的問題（探索結(jié)論）；或者雖給出了問題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問題（探索條件），稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決問題。
探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。
猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結(jié)論時，需要從特殊情況入手，進行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、不完全歸納、猜想，探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對結(jié)論進行證明。其主要體現(xiàn)是解答數(shù)列中
3、等與n有關(guān)數(shù)學(xué)問題。
存在型問題是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來，可能不存在，則需要說明理由。解答這一類問題時，我們可以先假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在”類型的問題。
分類討論型問題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進行分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的問題，或者情況多種的問題。
探索性問題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)?，通常需要綜合運用歸納
4、與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習(xí)中要重視對這一問題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開拓能力。
【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡圖。
【分析】由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx＋y＝4的特點，對參數(shù)k分k>1、k＝1、01、k＝1、01時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在y軸上，a＝2，b＝;
② 當(dāng)k＝1時，
5、表示圓，圓心在原點，r＝2；
③ 當(dāng)0
6、
【分析】兩問都可以設(shè)直線L的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點坐標，再用韋達定理求解中點坐標等。
∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2
代入消y后的方程計算得到：△<0， ∴滿足題中條件的直線m不存在。
【注】本題綜合性比較強，將解析幾何知識進行了橫向綜合。對于直線與曲線的交點問題和有關(guān)交點弦長及其中點的問題，一般可以利用韋達定理和根的判別式求解。本題屬于存在型問題，其一般解法是：假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了關(guān)鍵作用。這類問題一般是先列出條件組，通過等價轉(zhuǎn)化解組。
【例
7、3】設(shè){a}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項的和為S，并且對于所有的自然數(shù)n，a與2的等差中項等于S與2的等比中項。 ① 寫出數(shù)列{a}的前3項； ② 求數(shù)列{a}的通項公式（寫出推證過程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。
【分析】由題意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通過觀察猜想a，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。求出a后，代入不難求出b，再按照要求求極限。
當(dāng)n＝k＋1時，由題意有＝＝
∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0
由a>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1時，結(jié)論也成立。
綜上所述，上述結(jié)論對所
8、有的自然數(shù)n都成立。
③ 設(shè)c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）
＝[（－1）＋(－1)]＝－
b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－
∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1
【注】本題求數(shù)列的通項公式，屬于猜想歸納型問題，其一般思路是：從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，推測出結(jié)論，再進行嚴格證明。第③問對極限的求解，使用了“裂項相消法”，設(shè)立新的數(shù)列c具有一定的技巧性。
此外，本題第②問數(shù)列通項公式的求解，屬于給出數(shù)列中S與a的函數(shù)關(guān)系式求a，對此類問題我們還可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項之間的遞推關(guān)系，再發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特征或者通過構(gòu)
9、造新的數(shù)列求解。具體的解答過程是：
由題意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)，
∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]
整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0
由題意a>0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4
∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列，其中a＝2，公差d＝4，即通項公式為a＝4n－2。
【例4】已知x>0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比較x與x的大小。
【分析】比較x與x的大小，采用“作差法”，判別差式的符號式，分情況討論。
【解】x－x＝－x＝
由x>0及數(shù)列{x}的定義可知，x>0，所以x－x與1－x的符號相同。
假定x<1，當(dāng)n＝1時，1－x>0；假設(shè)n＝k時1－x>0，那么當(dāng)n＝k＋1時，
所以，對一切自然數(shù)n都有x
2020高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第一部分專題八 探索性問題
