2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 十三 推理與證明 文

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1、高考專題訓(xùn)練十三　推理與證明 班級_______　姓名_______　時(shí)間：45分鐘　分值：75分　總得分_______ 一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上． 1．(2020·江西)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72020的末兩位數(shù)字為(　　) A．01　　　　　　　　　 B．43 C．07 D．49 解析：∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543…由此可知數(shù)列{7n＋1}的每項(xiàng)末兩位數(shù)字每隔4項(xiàng)出現(xiàn)一項(xiàng)循環(huán)

2、，又2020＝(4×502＋2)＋1， ∴72020的末兩位數(shù)字為43. 答案：B 2．(2020·鄭州市高中畢業(yè)班質(zhì)量預(yù)測)已知a，b，c∈R＋，若<<，則(　　) A．c0，因此有c－a<0，a－b<0，故c

3、in2020°)，d＝cos(cos2020°)，則a、b、c、d中最大的是(　　) A．a(chǎn)　　　B．b C．c　　　D．d 解析：注意到2020°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2020°＝－sin30°＝－，cos2020°＝－cos30°＝－，－<－<0，－<－<0,0<<<，cos>cos>0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin ＝－sin<0，c＝cos＝cos>d ＝cos＝cos>0，因此選C. 答案：C 4．(2020·江西師大附中、臨川一中高三聯(lián)考)若實(shí)數(shù)a，b，c成公差不為0的等差數(shù)列，則下列不等式不成立的是(　　) A．|b－a＋|

4、≥2 B．a(chǎn)3b＋b3c＋c3a≥a4＋b4＋c4 C．b2>ac D．|b|－|a|≤|c|－|b| 解析：設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d(d≠0)，則|b－a＋|＝|d＋|＝|d|＋||≥2 ＝2，因此A成立；b2－ac＝2－ac＝>0，因此C成立；由2b＝a＋c得|2b|＝|a＋c|≤|c|＋|a|，即|b|－|a|≤|c|－|b|，因此D成立；對于B，當(dāng)a＝－1，b＝－2，c＝－3時(shí)，a3b＋b3c＋c3a＝53，a4＋b4＋c4＝98，此時(shí)B不成立．綜上所述，選B. 答案：B 5．(2020·西安市五校第一次模擬考試)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，

5、(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個(gè)數(shù)對是(　　) A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1) 解析：依題意，就每組整數(shù)對的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對的和為n＋1，且每組共有n個(gè)整數(shù)對，這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)對，注意到<60<，因此第60個(gè)整數(shù)對處于第11組(每對整數(shù)對的和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對整數(shù)對的和為12的組中的各對數(shù)依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個(gè)整數(shù)對是(5,7)，選B. 答

6、案：B 6．(2020·江蘇鎮(zhèn)江模擬)用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度 C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度 解析：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B. 答案：B 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上． 7．(2020·南昌一模)觀察下列等式： 12＝1 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …， 由以上等

7、式推測到一個(gè)一般的結(jié)論：對于n∈N*， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________. 解析：注意到第n個(gè)等式的左邊有n項(xiàng)，右邊的結(jié)果的絕對值恰好等于左邊的各項(xiàng)的所有底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的絕對值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結(jié)果的符號的規(guī)律是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，符號為正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，符號為負(fù)，因此所填的結(jié)果是(－1)n＋1. 答案：(－1)n＋1 8．(2020·東北三省四市教研聯(lián)合體等值模擬診斷)設(shè)S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示．對于命題：如果O是線段AB上一點(diǎn)，則||·＋||·＝0.將

8、它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是三棱錐A－BCD內(nèi)一點(diǎn)，則有__________________________． 解析：由類比思想可得結(jié)論． 答案：VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0 9．(2020·蘇北四市調(diào)研(三))已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為R(定值)，分別按圖1、圖2作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖1作出的矩形的面積的最大值為R2tanα，則按圖2作出的矩形的面積的最大值為________． 解析：將圖1沿水平邊翻折作出如圖所示的圖形，則

9、內(nèi)接矩形的最大面積S＝2·R2·tanα＝R2·tanα，所以圖2中內(nèi)接矩形的面積的最大值為R2tan. 答案：R2tan 10．已知＝2，＝3，＝4，…，若 ＝6(a，t均為正實(shí)數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________. 解析：根據(jù)題中所列的前幾項(xiàng)的規(guī)律可知其通項(xiàng)應(yīng)為＝n，所以當(dāng)n＝6時(shí)，a＝6，t＝35，所以a＋t＝41. 答案：41 三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 11．(12分)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4an－2Sn＝1，數(shù)列{bn}滿足bn＝2logan，n∈N*. (1)求

10、函數(shù){an}的通項(xiàng)公式an與{bn}的前n項(xiàng)和Tn； (2)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Un，求證：0

11、證明：∵{an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，＝. ∴Un＝＋＋＋…＋＋， ③ Un＝＋＋＋…＋＋， ④ ③－④得Un＝4－－－－…－－， ∴Un＝. 易知U1＝U2＝4，當(dāng)n≥3時(shí)，Un－Un－1＝<0， ∴當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{Un}是遞減數(shù)列， ∴0