2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題33 拋物線及其性質(zhì) 理

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1、專題33 拋物線及其性質(zhì) 一、考綱要求： 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率). 2.理解數(shù)形結(jié)合思想. 3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)： 1.應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1）)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2）)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. 2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1）)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可. (2）)拋物線方程有四種標(biāo)

2、準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量. 3.研究拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，正確的求出p. 4.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法 (1）)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2）)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式. (3）)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等相關(guān)問題時(shí)，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法. 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. 三、高考考題題例分析

3、 例1.（2020課標(biāo)卷I）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則?=（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 例2.（2020課標(biāo)卷II）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 【答案】（1）y=x﹣1；（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=16． 【解析】：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足； 設(shè)直線AB的方程為：y=k（x

4、﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1， ∴直線l的方程y=x﹣1； 方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長(zhǎng)公式|AB|===8，解得：sin2θ=， ∴θ=，則直線的斜率k=1， ∴直線l的方程y=x﹣1； （2）過A，B分別向準(zhǔn)線x=﹣1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過D作DD1⊥準(zhǔn)線l，垂足為D，則|DD1|=（|AA1|+|BB1|） 由拋物線的定義可

5、知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4， 以AB為直徑的圓與x=﹣1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D， 由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4， 則D（3，2）， 過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16． 例7.(2020課標(biāo)卷II)已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則。 【答案】6 【解析】試題分析： 點(diǎn)A， 例8.(2020北京卷)已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P（1，1）.過點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直

6、線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn). （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn). 【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）詳見解析. ， 所以. 故A為線段BM的中點(diǎn). 例9.(2020浙江卷)如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 試題解析： （Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是． （Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點(diǎn)

7、Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|== |PQ|=，所以|PA||PQ|= 令，因?yàn)?，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值． 15．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝__________. 【答案】2　 16．已知直線l：y＝kx＋t與圓：x2＋(y＋1)2＝1相切，且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________________． 【答案】t>0或t<－3　 【解析】因?yàn)橹本€l與圓相切，所以＝1?k2＝t2＋2t.再把直線l的方程代入拋

8、物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0， 于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0， 解得t>0或t<－3. 三、解答題 17.如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)． (1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，求直線l的方程； (2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程． 【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0. 【解析】　(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y

9、0)， 則由得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4. 又y0＝2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1. 18．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程. 【答案】(1) y2＝4x；(2) x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 【解析】　(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，

10、則x1x2＝＝4， 因?yàn)椤ぃ絰1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2， 則拋物線的方程為y2＝4x. (2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M， 則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.① 又|AB|＝|y1－y2|＝.② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±， 所以直線l的方程為 x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連

11、接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由． 【答案】(1)2；(2)見解析 【解析】(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 20.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 【答案】(1) y2＝8x；(2) 24. 【解析】　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，

12、 ∴2p＝8， ∴拋物線方程為y2＝8x. 21．如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)． (1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，求直線l的方程； (2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程． 【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0. 【解析】(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)， 則由得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4. 又y0＝

13、2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1. 即x±2y－1＝0. 22．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)． (1)若＝2 ，求直線AB的斜率； (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值. 【答案】(1) ±2；(2)4 【解析】　(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得 y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 因?yàn)椋? ， 所以y1＝－2y2. 聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)， 所以當(dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.