高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.7 簡單幾何體的面積和體積 1.7.3 球的體積和表面積教案 北師大版必修2（通用）

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1、球的體積和表面積 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能：⑴通過對球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識。 ⑵能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問題。⑶培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力。 2、過程與方法：通過球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式Ｖ＝πR3和面積公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想。 3、情感與價值觀：通過學(xué)習(xí)，使我們對球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)

2、了我們探索問題和解決問題的信心。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。 難點(diǎn)：推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成。 三、學(xué)法和教法 1、學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，發(fā)揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。2、教法：探究討論法 四、教學(xué)過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 1、教師提出問題：球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。 2、教師設(shè)疑：球的大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的體積和面積？激發(fā)學(xué)生推

3、導(dǎo)球的體積和面積公式。 （二）、探究新知 1．球的體積： 如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小之時得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應(yīng)的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來進(jìn)行。 步驟：第一步：分割 如圖：把半球的垂直于底面的半徑ＯＡ作n等分，過這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。 如圖： 得 第二步：求和 第三步：化為準(zhǔn)確的和當(dāng)n→∞時， →0

4、 （同學(xué)們討論得出） 所以 得到定理：半徑是Ｒ的球的體積 練習(xí)：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度是7.9g/cm3) 2．球的表面積： 球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數(shù),由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導(dǎo)圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導(dǎo)球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”方法推導(dǎo)。 思考：推導(dǎo)過程是以什么量作為等量變換的？ 半徑為R的球的表面積為 Ｓ＝４πR2 練習(xí)：長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別為3、4、5，是它的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是

5、 。 （答案50元） （三）、典例分析：課本P47 例4和P29例5 （四）、鞏固深化、反饋矯正 1、正方形的內(nèi)切球和外接球的體積的比為 ，表面積比為 。 （答案： ；　3 ：1） 2、在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。 （答案：2500πcm2） 分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)求球的半徑 （五）、課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了球的體積和球的表面積公式的推導(dǎo)，以及利用公式解決相關(guān)的球的問題，了解了推導(dǎo)中的“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的解題方法。 （六）、 作業(yè) P30 練習(xí)1、3 ，B（1） 五、教后反思：