高中數(shù)學(xué)《平面直角坐標(biāo)系中的基本公式》如何避免直線問題中的斜率討論文字素材 新人教B版必修2

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1、如何避免直線問題中的斜率討論 直線一定有傾斜角，但不一定有斜率，很多利用直線斜率解決的問題，都要分斜率存在與不存在兩種情況討論．如果你輕視斜率不存在這種特殊情況，往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤；如果你避免設(shè)斜率而求解，有時(shí)又可能會(huì)出現(xiàn)妙解．下面介紹幾種避免對(duì)直線斜率討論的方法. 一﹑巧設(shè)直線方程 如果所求直線可能涉及到斜率不存在的情況，則可以將過點(diǎn)(x0，y0)的直線方程設(shè)為x－x0＝m(y－y0)，則可以避免對(duì)斜率的討論. 例1求經(jīng)過點(diǎn)(5，10)，且與原點(diǎn)的距離為5的直線方程. 解析：設(shè)x－5＝m(y－10)，即x－my－5＋10m＝0，則 由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝5，解得m＝或m＝0,

2、 故所求直線的方程為3x－4y＋25＝0或x＝5. 點(diǎn)評(píng)：從所求出的兩個(gè)m的值可以發(fā)現(xiàn)m＝0對(duì)應(yīng)的情形就是所求直線的斜率不存在的情形. 二﹑數(shù)形結(jié)合法 在直線方程的五種基本形式中，如果利用選用點(diǎn)斜式或斜截式方程，則還須對(duì)直線不存在的情況進(jìn)行補(bǔ)充.在解題時(shí)能作出圖形的盡量作圖，使隱含的條件直觀顯現(xiàn)，解答就會(huì)更加完備. 例2直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，且與兩點(diǎn)M(－2，－3)、N(4，5)的距離相等，求直線l的方程. 解析：因?yàn)镸、N到直線l的距離相等， 所以l∥MN或經(jīng)過MN的中點(diǎn)，如圖所示. 而kMN＝，且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)， 當(dāng)l∥MN時(shí)，直線l的方程為4x－3y＋2

3、＝0， 當(dāng)l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為x＝1， 綜上所述，所求直線l的方程為4x－3y＋2＝0或x＝1. 點(diǎn)評(píng)：本題若按常規(guī)解法，則應(yīng)當(dāng)考慮所求直線的斜率是否存在，存在時(shí)直接設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程. 三、利用向量垂直的充要條件 向量垂直的充要條件坐標(biāo)形式：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則⊥＝0?x1x2＋y1y2＝0.對(duì)于兩條直線互相垂直的問題，如果能根據(jù)直線上兩點(diǎn)分別確定出所在直線的一個(gè)向量，則利用向量垂直的條件可快速求解. 例3已知C(a，b)(ab≠0)是一定點(diǎn)，過C作兩條互相垂直的直線l1與l2，其中l(wèi)1交x軸于A，l2交y軸于B，求證：線段AB的中點(diǎn)M在一條定直

4、線上. 解析：如圖，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得A(2x，0)，B(0，2y)， 則＝(a－2x，b)，＝(a，b－2y)， ∵⊥，∴a(a－2x)＋b(b－2y)＝0， 整理，得2ax＋2by－a2－b2＝0，即點(diǎn)M在一條定直線上. 點(diǎn)評(píng)：由于題設(shè)條件中有一已知點(diǎn)C，則易考慮利用點(diǎn)斜式方程來解決，但考慮對(duì)直線l1與l2的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，而利用向量垂直的充要條件解答，奇妙無比. 四、利用直線系方程 主要的直線系方程：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系為：Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù))；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系為：Bx－Ay＋λ＝0(λ為

5、參數(shù))；(3)過已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系為程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(除去l2). 例4求過點(diǎn)(3，5)且與直線3mx＋(m＋5)y＋3m－7＝0垂直的直線方程. 解析：依題意，設(shè)所求直線方程為(m＋5)x－3my＋C＝0， 將點(diǎn)(3，5)代入所求方程，得(m＋5)×3－3m×5＋C＝0，解得C＝12m－15. 故所求直線方程為(m＋5)x－3my＋12m－15＝0. 點(diǎn)評(píng)：解此類問題時(shí)，當(dāng)已知直線的斜率確定時(shí)，可根據(jù)已知直線的斜率寫出所求直線的方程；當(dāng)已知直線的斜率不確定，方程中含有參數(shù)時(shí)，

6、為了避開討論，常常通過利用直線系方程來解決.本題若按利用斜率間關(guān)系求解，則必須同時(shí)考慮已知直線與所求直線的斜率是否存在的情況，其過程較繁. 五﹑利用兩條直線平行與垂直的充要條件 已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則(1)l1∥l2的充要條件是A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1，B1C2－B2C1中至少一個(gè)不等于零；(2) l1⊥l2的充要條件是A1B2－A2B1＝0. 例5已知直線l1：x＋2my－3＝0與直線l2：(3m－1)x－my＋5＝0互相平行，求實(shí)數(shù)m的值. 解析：由A1B2－A2B1＝0，得－m×1－(3m－1)×2m＝0，即

7、m(6m－1)＝0，解得m＝0或m＝. 當(dāng)m＝0時(shí)，A1C2－A2C1＝5×1－(3m－1)×(－3)＝2≠0，∴l(xiāng)1∥l2. 當(dāng)m＝時(shí)，B1C2－B2C1＝5×2m－(－m)×(－3)＝≠0，∴l(xiāng)1∥l2. 所以m的取值為0和. 點(diǎn)評(píng)：如果利用兩條平行直線之間的斜率關(guān)系解答，則須考慮兩條直線的斜率是否存在，而利用兩條直線平行的充要條件可避開. 六、利用“設(shè)而不求”法 “設(shè)而不求”就是指在解題過程中，根據(jù)題目的要求設(shè)出相關(guān)的量對(duì)應(yīng)的未知數(shù)，但整個(gè)過程中并不需要求出這些未知數(shù)就可以使問題順利解決. 例6已知一條直線l被兩條平行直線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y＋8＝0所

8、截得的線段長(zhǎng)為，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，求直線l的方程. 解析：設(shè)直線l1與l1﹑l2的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， 兩個(gè)方程相減，得3(x2－x1)＋4(y2－y1)＋15＝0，即y2－y1＝－(x2－x1)－， 由|AB|＝，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝()2，所以(x2－x1)2＋[(x2－x1)＋]2＝()2， 即5(x2－x1)2＋18(x2－x1)＝0，解得x2－x1＝0或x2－x1＝－. 由x2－x1＝0，得所求直線方程為x＝2， 由x2－x1＝－，得y2－y1＝－，所以所求直線的斜率為，直線方程為7x－24y＋58＝0. 綜上知，所求直線的方程為x＝2或7x－24y＋58＝0. 點(diǎn)評(píng)：本題通過利用設(shè)而不求將x2－x1與y2－y1作為整體求解，進(jìn)而確定所求直線的斜率，這種方法是解析幾何中常用的手段和技巧.“設(shè)而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設(shè)的一些參數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用.