高中數(shù)學 第2章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 平面與平面垂直的性質教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

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1、2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 平面與平面垂直的性質 皰丁巧解牛 知識·巧學 一、直線與平面垂直的性質：垂直于同一平面的兩條直線平行. 符號語言：a⊥α,b⊥α a∥b. 直線與平面垂直的性質可以作為線線平行的判定定理.同時有如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線上各點到平面的距離相等. 二、面面垂直的性質：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 符號語言：α⊥β,α∩β=l,aβ,a⊥la⊥β. 只要有兩個平面垂直，那么向交線作垂線便得線面垂直，進一步更有線與線的垂直.平面與平面垂直的判定與性質相互結合，為

2、證明線線垂直、線面垂直提供了更多的技巧. 簡言之:面面垂直,則線面垂直. 三、線線、線面、面面垂直關系的轉化： 運用兩個平面垂直的性質定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直. 平面與平面的垂直,一般將直線與直線垂直、直線與平面垂直三者結合在一起. 問題·探究 問題1 在一個工件上同時鉆很多孔時，常用多頭鉆，多頭鉆桿都是互相平行的.在工作時，只要調整工件表面和一個鉆桿垂直，工件表面就和其他鉆桿都垂直，為什么？ 探究:根據(jù)兩平行線中有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于此平面，可推出若干平

3、行桿都和工件表面垂直. 問題2 應用兩平面垂直的性質證題時，有哪些需要注意的地方？ 探究:需要注意的地方有三個：(1)兩個垂直的平面；(2)兩垂直平面的交線；(3)在其中一個平面內作垂直于交線的直線. 典題·熱題 例1 如圖2-3-12，在△ABC中，∠BAC=60°，線段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H為垂足. 圖2-3-12 求證：H不可能是△BCD的垂心. 思路解析：證明“不可能”無法下手，從反面“可能”考慮，用反證法. 證明：假設H是△BCD的垂心，則BH⊥CD. ∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC，∴AH⊥DC. ∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面A

4、BH. 又AB平面ABH，∴AB⊥CD. ∵AD⊥平面ABC，AB平面ABC，∴AD⊥AB. 由于AD∩CD=D， ∴AB⊥平面ACD. ∵AC平面ACD， ∴AB⊥AC. 這與已知中∠BAC=60°相矛盾. ∴假設不成立.故H不可能是△BCD的垂心. 誤區(qū)警示 證明“不可能”“至多”“至少”“沒有”“不等”等類型的問題，直接證明不好入手，通常采用反證法.要掌握反證法證題的基本步驟. 例2 如圖2-3-13，在四面體ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求證:AC⊥BD. 圖2-3-13 思路解析：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直

5、的定義(或性質)得出線線垂直. 證明：過A作AO⊥平面BCD，垂足為O， 則AO⊥CD. ∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO. ∵BO平面ABO，∴CD⊥BO. 同理,BC⊥DO. 則O為△BCD的垂心， ∴CO⊥BD. ∵AO⊥BD，CO∩AO=O， ∴BD⊥平面ACO. 又∵AC平面ACO，∴AC⊥BD. 深化升華 從本例可以進一步體會線面位置關系的相互轉化在解(證)題中的作用. 例3 如圖2-3-14,空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，∠PBA=45°，∠PBC=60°，M為AB的中點.(1)

6、求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB⊥平面PMC. 圖2-3-14 思路解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路. 證明：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°. 在Rt△APB中，∵∠ABP=45°，設PA=a， 則PB=a，AB=.∵PB⊥PC，在Rt△PBC中， ∵∠PBC=60°，PB=a,∴BC=2a，PC=. ∵AP⊥PC,∴在Rt△APC中，AC==2a. (1)∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB. ∴BC在平面PAB上的射影是BP, ∠CBP是CB與平面PAB所成的角. ∵∠PBC=60°，∴BC與平面

7、PBA所成的角為60°. (2)由上知，PA=PB=a，AC=BC=2a, ∴M為AB的中點，則AB⊥PM，AB⊥CM. ∴AB⊥平面PCM. 深化升華 本題關鍵要清楚線面的垂直關系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點，發(fā)現(xiàn)解題捷徑. 例4 如圖2-3-15，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足. (1)求證：PA⊥平面ABC； (2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形. 圖2-3-15 思路解析：已知條件“平面PAB⊥平面ABC，…”，使我們想到面面垂直的性質定理，便有如下解法. 證明：(1)在平面ABC內取一

8、點D，作DF⊥AC于F. 平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G.同理，可證DG⊥AP. DG、DF都在平面ABC內， ∴PA⊥平面ABC. (2)連結BE并延長交PC于H. ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AB. ∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. 方法歸納 (1)已知兩個平面垂直時，通常利用面面垂直的性質定理，

9、過其中一個平面內的一點作交線的垂線，則此直線垂直于另一個平面.于是面面垂直轉化為線面垂直.由此得到結論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面. (2)的關鍵是要靈活利用(1)題的結論. 例5 已知平面α∩平面β=直線a，α、β同垂直于平面γ，又同平行于直線b，如圖2-3-16，求證：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ. 思路解析：由求證想判定，欲證線面垂直可轉證線線垂直或面面垂直.由已知想性質，面面垂直必能得到線面垂直. 證明：(1)設α∩γ=AB，β∩γ=AC，在γ內作直線PM⊥AB，PN⊥AC. 圖2-3-16 ∵γ⊥α，∴PM⊥α.

10、而aα，∴PM⊥a. 同理，PN⊥a.又PMγ,PNγ, ∴a⊥γ. (2)在直線a上任取一點Q，過b與Q作一個平面交α于直線a1，交β于直線a2. ∵b∥α,∴b∥a1. 同理,b∥a2.又∵a1、a2都過點Q且平行于b, ∴a1與a2重合.又a1α,a2β,∴a1與a2重合且是α、β的交線，重合于a. ∵b∥a1，∴b∥a.∵a⊥γ，∴b⊥γ. 深化升華 證明線面垂直不僅可利用線面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性質定理. 例6 等邊△ABC的邊長為a，沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，設點A到直線PQ的距離為x，AB的距離為d.

11、 (1)x為何值時，d2取得最小值?最小值是多少？ (2)若∠BAC=θ，求cosθ的最小值. 思路解析：要注意作出正確的圖形，構造恰當?shù)暮瘮?shù)模型. 解：(1)圖2-3-17(1)為折疊前的對照圖，圖2-3-17(2)為折疊后的空間圖形. (1) (2) 圖2-3-17 ∵平面APQ⊥平面PBCQ，AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ. ∴AR⊥RB. BR2=BD2+RD2=()2+()2,AR2=x2. 故d2=BR2+AR2=(). ∴當x=時.

12、 d2取得最小值. (2)∵AB=AC=d,BC=a， ∴在等腰△ABC中，由余弦定理得cosθ=, 即cosθ=.當d2=時，cosθ取得最小值. 方法歸納 (1)一般地,求最值問題首先要得到目標函數(shù)(求誰的最值，即推誰為目標函數(shù)，如本題中的d2和cosθ)，然后再借助于函數(shù)求最值的方法(如配方法、平均值法、判別式法、三角法、反函數(shù)法及構造法等). (2)求角度問題、求距離問題是立體幾何中的兩大類計算題，它從數(shù)量關系上刻畫空間圖形位置關系.立體幾何中涉及到的距離有七種：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平面內兩平行線間的距離、兩條異面直線間的距離(不作研究，了解即可)、與平面平行的直線到平面的距離、兩平行平面間的距離.