高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題
《高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題(37頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題 1. 選擇題 1.已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),則∠APB為( ) A.鈍角B.直角C.銳角D.都有可能 2.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,一直線交雙曲線于P.Q兩點(diǎn),交l于R點(diǎn).則( ?。? A.∠PFR>∠QFR B ∠PFR=∠QFR C.∠PFR<∠QFR D.∠PFR與∠AFR的大小不確定 3.設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在y軸上,直線PF交橢圓于M、N,,則實(shí)數(shù)λ1+λ2=( ) A. B. C. D. 4.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C1的離心率為e,直線l與雙曲線C1交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)M在一象限且在拋物線y2=2px(p>0)上,且M到拋物線焦點(diǎn)的距離為p,則l的斜率為( ?。? A. B. e2﹣1 C. D. e2+1 5.已知P為橢圓上的一點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x﹣3)2+y2=4上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為( ?。? A.5 B.7 C.13 D.15 6.過雙曲線﹣=0(b>0,a>0)的左焦點(diǎn)F(﹣c,0)(c>0),作圓x2+y2=的切線,切點(diǎn)為E,延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若=(+),則雙曲線的離心率為( ?。? A. B. C. D. 7.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,在x軸上F的右側(cè)有一點(diǎn)A,以FA為直徑的圓與橢圓在x軸上方部分交于M、N兩點(diǎn),則的值為( ?。? A. B. C. D. 8.已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線l:x=﹣1,在l上有兩動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)且滿足,另有動(dòng)點(diǎn)P,滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為( ?。? A.y2=4x B.y2=4x(x≠0) C.y2=﹣4x D.y2=﹣4x(x≠0) 9.已知拋物線過點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),且以圓x2+y2=4的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程( ) A. +=1(y≠0) B. +=1(y≠0) C. ﹣=1(y≠0) D. ﹣=1(y≠0) 10.如圖,已知半圓的直徑|AB|=20,l為半圓外一直線,且與BA的延長線交于點(diǎn)T,|AT|=4,半圓上相異兩點(diǎn)M、N與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件,則|AM|+|AN|的值為( ?。? A.22 B.20 C.18 D.16 11.橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),則cos∠F1PF2=( ) A. B. C. D. 12.曲線(|x|≤2)與直線y=k(x﹣2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ) A. B. (,+∞) C. D. 13.設(shè)拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且,則|AF|+|BF|=( ?。? A. B. C. 8 D. 14.已知雙曲線上的一點(diǎn)到其左、右焦點(diǎn)的距離之差為4,若已知拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且,則m的值為( ?。? A. B. C. D. 15.已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且MN的中點(diǎn)在拋物線y2=9x上,則實(shí)數(shù)m的值為( ?。? A. 4 B. ﹣4 C. 0或4 D. 0或﹣4 1.已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),則∠APB為( ?。? A. 鈍角 B. 直角 C. 銳角 D. 都有可能 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 壓軸題. 分析: 根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出以AB為直徑的圓與右準(zhǔn)線相離.由此可知∠APB為銳角. 解答: 解:如圖,設(shè)M為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M1,分別過A、B作AA1、BB1垂直于準(zhǔn)線于A1、B1兩點(diǎn). 則 ∴以AB為直徑的圓與右準(zhǔn)線相離. ∴∠APB為銳角. 點(diǎn)評(píng): 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)作出圖形,數(shù)形結(jié)合,往往能收到事半功倍之效果. 2.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,一直線交雙曲線于P.Q兩點(diǎn),交l于R點(diǎn).則( ?。? A. ∠PFR>∠QFR B. ∠PFR=∠QFR C. ∠PFR<∠QFR D. ∠PFR與∠AFR的大小不確定 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 設(shè)Q、P到l 的距離分別為d1,d2,垂足分別為 M,N,則PN∥MQ,=,又由雙曲線第二定義可知,由此能夠推導(dǎo)出RF是∠PFQ的角平分線,所以∠PFR=∠QFR. 解答: 解:設(shè)Q、P到l 的距離分別為d1,d2,垂足分別為 M,N, 則PN∥MQ, ∴=, 又由雙曲線第二定義可知, ∴,, ∴, ∴RF是∠PFQ的角平分線, ∴∠PFR=∠QFR 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)利用雙曲線第二定義綜合平面幾何知識(shí)求解. 3.設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在y軸上,直線PF交橢圓于M、N,,則實(shí)數(shù)λ1+λ2=( ) A. B. C. D. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: 設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程是y=k(x﹣c).將直線l的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0.然后利用向量關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系,可求得λ1+λ2的值. 解答: 解:設(shè)M,N,P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0), 又不妨設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0). 顯然直線l存在斜率,設(shè)直線l的斜率為k, 則直線l的方程是y=k(x﹣c). 將直線l的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0. ∴,. 又∵, 將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , =. 故選C. 點(diǎn)評(píng): 本題以向量為載體,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,是橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用題,解題時(shí)要注意公式的合理選取和靈活運(yùn)用. 4.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C1的離心率為e,直線l與雙曲線C1交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)M在一象限且在拋物線y2=2px(p>0)上,且M到拋物線焦點(diǎn)的距離為p,則l的斜率為( ?。? A. B. e2﹣1 C. D. e2+1 考點(diǎn): 圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 利用拋物線的定義,確定M的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法將線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,即可求得結(jié)論. 解答: 解:∵M(jìn)在拋物線y2=2px(p>0)上,且M到拋物線焦點(diǎn)的距離為p, ∴M的橫坐標(biāo)為,∴M(,p) 設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則 , 兩式相減,并將線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,可得 ∴ ∴ 故選A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查雙曲線與拋物線的綜合,考查點(diǎn)差法的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題. 5.已知P為橢圓上的一點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x﹣3)2+y2=4上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為( ) A. 5 B. 7 C. 13 D. 15 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合;橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 由題意可得:橢圓的焦點(diǎn)分別是兩圓(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圓心,再結(jié)合橢圓的定義與圓的有關(guān)性質(zhì)可得答案. 解答: 解:依題意可得,橢圓的焦點(diǎn)分別是兩圓(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圓心, 所以根據(jù)橢圓的定義可得:(|PM|+|PN|)min=25﹣1﹣2=7, 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查圓的性質(zhì)及其應(yīng)用,以及橢圓的定義,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的合理運(yùn)用. 6.過雙曲線﹣=0(b>0,a>0)的左焦點(diǎn)F(﹣c,0)(c>0),作圓x2+y2=的切線,切點(diǎn)為E,延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若=(+),則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: 由=(+),知E為PF的中點(diǎn),令右焦點(diǎn)為F′,則O為FF′的中點(diǎn),則PF′=2OE=a,能推導(dǎo)出在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2,由此能求出離心率. 解答: 解:∵若=(+), ∴E為PF的中點(diǎn),令右焦點(diǎn)為F′,則O為FF′的中點(diǎn), 則PF′=2OE=a, ∵E為切點(diǎn), ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′=2a ∴PF=PF′+2a=3a 在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2 即9a2+a2=4c2 ∴離心率e==. 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查圓與圓錐曲線的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件. 7.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,在x軸上F的右側(cè)有一點(diǎn)A,以FA為直徑的圓與橢圓在x軸上方部分交于M、N兩點(diǎn),則的值為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 若以FA為直徑的圓與橢圓大x軸上方的部分交于短軸端點(diǎn),則M、N重合(設(shè)為M),此時(shí)A為橢圓的右焦點(diǎn),由此可知=,從而能夠得到結(jié)果. 解答: 解:若以FA為直徑的圓與橢圓大x軸上方的部分交于短軸端點(diǎn), 則M、N重合(設(shè)為M),此時(shí)A為橢圓的右焦點(diǎn),則 ==. 故選A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意合理地選取特殊點(diǎn). 8.已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線l:x=﹣1,在l上有兩動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)且滿足,另有動(dòng)點(diǎn)P,滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為( ?。? A. y2=4x B. y2=4x(x≠0) C. y2=﹣4x D. y2=﹣4x(x≠0) 考點(diǎn): 圓錐曲線的軌跡問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 設(shè)P(x,y),欲動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,即尋找x,y之間 的關(guān)系式,利用向量間的關(guān)系求出向量、的坐標(biāo)后垂直條件即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 解答: 解:設(shè)P(x,y),E(﹣1,y1),F(xiàn)(﹣1,y2)(y1,y2均不為零) 由∥?y1=y,即E(﹣1,y). 由∥?. 由y2=4x(x≠0). 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了軌跡方程的問題.本題解題的關(guān)鍵是利用了向量平行和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得軌跡方程. 9.已知拋物線過點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),且以圓x2+y2=4的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程( ?。? A. +=1(y≠0) B. +=1(y≠0) C. ﹣=1(y≠0) D. ﹣=1(y≠0) 考點(diǎn): 圓錐曲線的軌跡問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: 設(shè)出切線方程,表示出圓心到切線的距離求得a和b的關(guān)系,再設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)A,B到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離,然后兩式平方后分別相加和相減,聯(lián)立后,即可求得x和y的關(guān)系式. 解答: 解:設(shè)切線ax+by﹣1=0,則圓心到切線距離等于半徑 ∴=2 ∴, ∴a2+b2= 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為(x,y),根據(jù)拋物線定義可得 平方相加得:x2+1+y2=4(a2+1)① 平方相減得:x=4a, ∴② 把②代入①可得:x2+1+y2=4(+1) 即: ∵焦點(diǎn)不能與A,B共線 ∴y≠0 ∴ ∴拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題以圓為載體,考查拋物線的定義,考查軌跡方程,解題時(shí)利用圓的切線性質(zhì),拋物線的定義是關(guān)鍵. 10.如圖,已知半圓的直徑|AB|=20,l為半圓外一直線,且與BA的延長線交于點(diǎn)T,|AT|=4,半圓上相異兩點(diǎn)M、N與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件,則|AM|+|AN|的值為( ?。? A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合;拋物線的定義.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 先以AT的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AT的中垂線為y軸,可得半圓方程為(x﹣12)2+y2=100,根據(jù)條件得出M,N在以A為焦點(diǎn),PT為準(zhǔn)線的拋物線上,聯(lián)立半圓方程和拋物線方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,利用拋物線的定義即可求得答案. 解答: 解:以AT的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AT的中垂線為y軸, 可得半圓方程為(x﹣12)2+y2=100 又,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), M,N在以A為焦點(diǎn),PT為準(zhǔn)線的拋物線上;以AT的垂直平分線為y軸,TA方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系,則有 拋物線方程為y2=8x(y≥0),聯(lián)立半圓方程和拋物線方程, 消去y得:x2﹣16x+44=0 ∴x1+x2=16, |AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本小題主要考查拋物線的定義、圓的方程、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題. 11.橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),則cos∠F1PF2=( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn): 圓錐曲線的共同特征.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 利用雙曲線、橢圓的定義,建立方程,求出|PF1|=,|PF2|=,再利用余弦定理,即可求得結(jié)論. 解答: 解:不妨令P在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2 ① 由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2 ② 由①②可得|PF1|=,|PF2|= ∵|F1F2|=4 ∴cos∠F1PF2== 故選A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查圓錐曲線的共同特征,利用雙曲線、橢圓的定義,建立方程是關(guān)鍵. 12.曲線(|x|≤2)與直線y=k(x﹣2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ?。? A. B. (,+∞) C. D. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 如圖,求出 BC的斜率,根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑,求得切線BE的斜率k′,由題意可知,k′<k≤KBC,從而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解答: 解:曲線 即 x2+(y﹣1)2=4,(y≥1),表示以A(0,1)為圓心,以2為半徑的圓位于直線 y=1 上方的部分(包含圓與直線y=1 的交點(diǎn)C和 D),是一個(gè)半圓,如圖: 直線y=k(x﹣2)+4過定點(diǎn)B(2,4),設(shè)半圓的切線BE的切點(diǎn)為E,則 BC的斜率為 KBC==. 設(shè)切線BE的斜率為k′,k′>0,則切線BE的方程為 y﹣4=k′(x﹣2),根據(jù)圓心A到線BE距離等于半徑得 2=,k′=, 由題意可得 k′<k≤KBC,∴<k≤, 故選 A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,傾斜角和斜率的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,判斷 k′<k≤KBC,是解題的關(guān)鍵. 13.設(shè)拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且,則|AF|+|BF|=( ) A. B. C. 8 D. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 根據(jù)向量關(guān)系,用坐標(biāo)進(jìn)行表示,求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再利用拋物線的定義,可求|AF|+|BF|. 解答: 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 ∵P(1,0) ∴=(1﹣x2,﹣y2),=(x1﹣1,y1) ∵, ∴2(1﹣x2,﹣y2)=(x1﹣1,y1) ∴ 將A(x1,y1),B(x2,y2)代入拋物線y2=12x,可得, 又∵﹣2y2=y1 ∴4x2=x1又∵x1+2x2=3 解得 ∵|AF|+|BF|= 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題重點(diǎn)考查拋物線的定義,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo). 14.已知雙曲線上的一點(diǎn)到其左、右焦點(diǎn)的距離之差為4,若已知拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且,則m的值為( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: y1=2x12,y2=2x22,A點(diǎn)坐標(biāo)是(x1,2x12),B點(diǎn)坐標(biāo)是(x2,2x22) A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)是(,) 因?yàn)锳,B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,所以A,B的中點(diǎn)在直線上,且AB與直線垂直 =+m,由此能求得m. 解答: 解:y1=2x12,y2=2x22, A點(diǎn)坐標(biāo)是(x1,2x12),B點(diǎn)坐標(biāo)是(x2,2x22), A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)是(,), 因?yàn)锳,B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱, 所以A,B的中點(diǎn)在直線上, 且AB與直線垂直 =+m,, x12+x22═+m,x2+x1=﹣, 因?yàn)椋? 所以xx12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=, 代入得 ,求得m=. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 15.已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且MN的中點(diǎn)在拋物線y2=9x上,則實(shí)數(shù)m的值為( ?。? A. 4 B. ﹣4 C. 0或4 D. 0或﹣4 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: 根據(jù)雙曲線上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,求出MN中點(diǎn)P(﹣,m),利用MN的中點(diǎn)在拋物線y2=9x上,即可求得實(shí)數(shù)m的值. 解答: 解:∵M(jìn)N關(guān)于y=x+m對(duì)稱∴MN垂直直線y=x+m,MN的斜率﹣1,MN中點(diǎn)P(x0,x0+m)在y=x+m上,且在MN上 設(shè)直線MN:y=﹣x+b,∵P在MN上,∴x0+m=﹣x0+b,∴b=2x0+m 由消元可得:2x2+2bx﹣b2﹣3=0 ∴Mx+Nx=﹣b,∴x0=﹣,∴b= ∴MN中點(diǎn)P(﹣,m) ∵M(jìn)N的中點(diǎn)在拋物線y2=9x上, ∴ ∴m=0或4 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查對(duì)稱性,考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題的關(guān)鍵是確定MN中點(diǎn)P的坐標(biāo). 二.解答題(共15小題) 16.已知橢圓C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn),離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)(3,1) (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若A1,A2分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn),Q為橢圓上動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線A1Q斜率為k,且,求直線A2Q斜率的取值范圍; (3)若Q為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求cos∠F1QF2的最小值. 考點(diǎn): 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì);橢圓的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (1)根據(jù)橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)(3,1),求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)A2Q的斜率為k,Q(x0,y0),則可得kk==,利用,即可求直線A2Q斜率的取值范圍; (3)利用橢圓的定義、余弦定理,及基本不等式,即可求cos∠F1QF2的最小值. 解答: 解:(1)∵橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)(3,1),建立方程,求出幾何量,即可 ∴, ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…(3分) (2)設(shè)A2Q的斜率為k,Q(x0,y0),則,…(5分) ∴kk=及…(6分) 則kk== 又…(7分) ∴, 故A2Q斜率的取值范圍為() …(8分) (3)設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a,b,c,則有, 由橢圓定義,有…(9分) ∴cos∠F1QF2=…(10分) =…(11分) ≥…(12分) ==…(13分) ∴cos∠F1QF2的最小值為.(當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|=|QF2|時(shí),即Q取橢圓上下頂點(diǎn)時(shí),cos∠F1QF2取得最小值) …(14分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查基本不等式的運(yùn)用,綜合性強(qiáng). 17.已知橢圓x2+=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B.雙曲線C的方程為x2﹣=1.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T. (Ⅰ)設(shè)P,T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,證明x1?x2=1; (Ⅱ)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為S1與S2,且?≤15,求S﹣S的取值范圍. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的關(guān)系;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (Ⅰ)設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立,確定P、T的橫坐標(biāo),即可證得結(jié)論; (Ⅱ)利用?≤15,結(jié)合點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),可得1<x1≤2,利用三角形的面積公式求面積,從而可得S﹣S的不等式,利用換元法,再利用導(dǎo)數(shù)法,即可求S﹣S的取值范圍. 解答: (Ⅰ)證明:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直線AP的斜率為k(k>0), 則直線AP的方程為y=k(x+1), 代入橢圓方程,消去y,整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2﹣4=0, 解得x=﹣1或x=,故x2=. 同理可得x1=. 所以x1?x2=1. (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2), 則=(﹣1﹣x1,y1),=(1﹣x1,y1). 因?yàn)?≤15,所以(﹣1﹣x1)(1﹣x1)+y12≤15,即x12+y12≤16. 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,所以,所以x12+4x12﹣4≤16,即x12≤4. 因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),所以1<x1≤2. 因?yàn)镾1=|y2|,S2=, 所以S﹣S== 由(Ⅰ)知,x1?x2=1,即. 設(shè)t=,則1<t≤4,S﹣S=5﹣t﹣. 設(shè)f(t)=5﹣t﹣,則f′(t)=﹣1+=, 當(dāng)1<t<2時(shí),f(t)>0,當(dāng)2<t≤4時(shí),f(t)<0, 所以函數(shù)f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,4]上單調(diào)遞減. 因?yàn)閒(2)=1,f(1)=f(4)=0, 所以當(dāng)t=4,即x1=2時(shí),S﹣S的最小值為f(4)=0,當(dāng)t=2,即x1=時(shí),S﹣S的最大值為f(2)=1. 所以S﹣S的取值范圍為[0,1]. 點(diǎn)評(píng): 本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 18.設(shè)橢圓D:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,上頂點(diǎn)為A,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B,滿足,且AB⊥AF2. (Ⅰ)若過A、B、F2三點(diǎn)的圓C恰好與直線l:x﹣y﹣3=0相切,求圓C方程及橢圓D的方程; (Ⅱ)若過點(diǎn)T(3,0)的直線與橢圓D相交于兩點(diǎn)M、N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)t取值范圍. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (Ⅰ)利用,可得F1為BF2的中點(diǎn),根據(jù)AB⊥AF2,可得a,c的關(guān)系,利用過A、B、F2三點(diǎn)的圓C恰好與直線l:相切,求出a,即可求出橢圓的方程與圓的方程; (Ⅱ)設(shè)直線MN方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及向量知識(shí),即可求實(shí)數(shù)t取值范圍. 解答: 解:(Ⅰ)由題意知F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b). 因?yàn)锳B⊥AF2,所以在Rt△ABF2中,, 又因?yàn)?,所以F1為BF2的中點(diǎn), 所以 又a2=b2+c2,所以a=2c. 所以F2(,0),B(﹣,0), Rt△ABF2的外接圓圓心為F1(﹣,0),半徑r=a, 因?yàn)檫^A、B、F2三點(diǎn)的圓C恰好與直線l:相切, 所以=a,解得a=2,所以c=1,b=. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,圓的方程為(x+1)2+y2=1; (Ⅱ)設(shè)直線MN方程為y=k(x﹣3),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),則 直線方程代入橢圓方程,消去y可得(4k2+3)x2﹣24k2x+36k2﹣12=0, ∴△=(24k2)﹣4(4k2+3)(36k2﹣12)>0, ∴k2<, x1+x2=,x1x2=, ∵, ∴x1+x2=tx,y1+y2=ty, ∴tx=,ty=, ∴x=,y=, 代入橢圓方程可得3[]2+4[]2=12, 整理得= ∵k2<, ∴0<t2<4, ∴實(shí)數(shù)t取值范圍是(﹣2,0)∪(0,2). 點(diǎn)評(píng): 本題考查橢圓方程與圓的方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,難度大 19.已知F1、F2為橢圓C:的左,右焦點(diǎn),M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且?的最大值為1,最小值為﹣2. (1)求橢圓C的方程; (2)過點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M,N兩點(diǎn),A為橢圓的左頂點(diǎn).試判斷∠MAN是否為直角,并說明理由. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (1)設(shè)M(x,y),化簡(jiǎn)?=x2+2b2﹣a2(﹣a≤x≤a),從而求最值,進(jìn)而求橢圓方程; (2)設(shè)直線MN的方程為x=ky﹣6并與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求?的值,從而說明是直角. 解答: 解:(1)設(shè)M(x,y), 則y2=b2﹣x2, ?=x2+2b2﹣a2(﹣a≤x≤a), 則當(dāng)x=0時(shí),?取得最小值2b2﹣a2=﹣2, 當(dāng)x=a時(shí),?取得最大值b2=1, ∴a2=4, 故橢圓的方程為. (2)設(shè)直線MN的方程為x=ky﹣, 聯(lián)立方程組可得, 化簡(jiǎn)得:(k2+4)y2﹣2.4ky﹣=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則y1+y2=,y1y2=﹣, 又A(﹣2,0), ?=(x1+2,y1)?(x2+2,y2) =(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+= =﹣(k2+1)+k+=0, 所以∠MAN為直角. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系應(yīng)用,同時(shí)考查了向量的應(yīng)用,屬于難題. 20.如圖,P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B,C在y軸上,圓(x﹣1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC,求△PBC面積的最小值. 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 設(shè)P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),設(shè)b>c.直線PB:y﹣b=,化簡(jiǎn),得(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0,由圓心(1,0)到直線PB的距離是1,知,由此導(dǎo)出(x0﹣2)b2+2y0b﹣x0=0,同理,(x0﹣2)c2+2y0c﹣x0=0,所以(b﹣c)2=,從而得到S△PBC=,由此能求出△PBC面積的最小值. 解答: 解:設(shè)P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),設(shè)b>c. 直線PB的方程:y﹣b=, 化簡(jiǎn),得(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0, ∵圓心(1,0)到直線PB的距離是1, ∴, ∴(y0﹣b)2+x02=(y0﹣b)2+2x0b(y0﹣b)+x02b2, ∵x0>2,上式化簡(jiǎn)后,得 (x0﹣2)b2+2y0b﹣x0=0, 同理,(x0﹣2)c2+2y0c﹣x0=0, ∴b+c=,bc=, ∴(b﹣c)2=, ∵P(x0,y0)是拋物線上的一點(diǎn), ∴, ∴(b﹣c)2=,b﹣c=, ∴S△PBC= = =(x0﹣2)++4 ≥2+4=8. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào). 此時(shí)x0=4,y0=. ∴△PBC面積的最小值為8. 點(diǎn)評(píng): 本昰考查三角形面積的最小值的求法,具體涉及到拋物線的性質(zhì)、拋物線和直線的位置關(guān)系、圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、均值定理等基本知識(shí),綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)數(shù)學(xué)思想的要求較高,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用. 21.已知直L1:2x﹣y=0,L2:x﹣2y=0.動(dòng)圓(圓心為M)被L1L2截得的弦長分別為8,16. (Ⅰ)求圓心M的軌跡方程M; (Ⅱ)設(shè)直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A,B兩點(diǎn).如果拋物y2=﹣2x上存在點(diǎn)N使得|NA|=|NB|成立,求k的取值范圍. 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合;直線與圓相交的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: (Ⅰ)設(shè)M(x,y),M到L1,L2的距離分別為d1,d2,則d12+42=d22+82.所以,由此能求出圓心M的軌跡方程. (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(1﹣k2)x2﹣20kx﹣180=0.AB的中點(diǎn)為,AB的中垂線為,由,得.由此能求出k的取值范圍. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),M到L1,L2的距離分別為d1,d2,則d12+42=d22+82.…(2分) ∴, ∴x2﹣y2=80,即圓心M的軌跡方程M:x2﹣y2=80. …(4分) (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由, 得(1﹣k2)x2﹣20kx﹣180=0. ① ∴AB的中點(diǎn)為,…(6分) ∴AB的中垂線為,即,…(7分) 由,得 ②…(8分) ∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是:①有相異二解,并且②有解. …(9分) ∵①有相異二解的條件為, ∴?且k≠1.③…(10分) ②有解的條件是,∴,④…(11分) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得時(shí),k3﹣k+40>0, 因此,由③④可得N點(diǎn)存在的條件是:﹣1或1<k<. …(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想. 22.已知直線l1:ax﹣by+k=0;l2:kx﹣y﹣1=0,其中a是常數(shù),a≠0. (1)求直線l1和l2交點(diǎn)的軌跡,說明軌跡是什么曲線,若是二次曲線,試求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率. (2)當(dāng)a>0,y≥1時(shí),軌跡上的點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,b)距離的最小值是否存在?若存在,求出這個(gè)最小值. 考點(diǎn): 圓錐曲線的軌跡問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題;分類討論;轉(zhuǎn)化思想. 分析: (1)聯(lián)立直線l1和l2的方程,消去參數(shù)即可得到交點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)a的取值a>0,﹣1<a<0,a=﹣1,a<﹣1說明軌跡曲線,利用二次曲線判斷形狀,直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率. (2)通過a>0,y≥1時(shí),說明軌跡的圖形,求出軌跡上的點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,b)距離的表達(dá)式,通過配方討論b與的大小,求出|PA|的最小值. 解答: 解:(1)由 消去k,得y2﹣ax2=1 ①當(dāng)a>0時(shí),軌跡是雙曲線,焦點(diǎn)為,離心率; ②當(dāng)﹣1<a<0時(shí),軌跡是橢圓,焦點(diǎn)為,離心率; ③當(dāng)a=﹣1時(shí),軌跡是圓,圓心為(0,0),半徑為1; ④當(dāng)a<﹣1時(shí),軌跡是橢圓,焦點(diǎn)為,離心率 (2)當(dāng)a>0時(shí),y≥1時(shí),軌跡是雙曲線y2﹣ax2=1的上半支. ∵|PA|2=x2+(y﹣b)2= = ①當(dāng)b>時(shí),|PA|的最小值為; ②當(dāng) b≤時(shí),|PA|的最小值為|1﹣b| 點(diǎn)評(píng): 本題考查知識(shí)點(diǎn)比較多,涉及參數(shù)方程,雙曲線方程橢圓方程,圓的方程,兩點(diǎn)的距離公式等等,涉及分類討論思想二次函數(shù)的最值,是難度比較大,容易出錯(cuò)的題目,考試常靠題型,多以壓軸題為主. 23.如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動(dòng)直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上,記為B;折痕與AB交于點(diǎn)E,以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB.若以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖): (Ⅰ).求點(diǎn)M的軌跡方程; (Ⅱ).若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的,等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點(diǎn)P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值. 考點(diǎn): 圓錐曲線的軌跡問題;向量在幾何中的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: (1)設(shè)出M的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直,且兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量等于兩鄰邊對(duì)應(yīng)向量的和得到點(diǎn)M的軌跡方程; (2)利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率,求出腰A1B1的方程,分別令y=0和y=1求出與兩底的交點(diǎn)橫坐標(biāo),利用梯形的面積公式表示出梯形A1B1C1D1面積,利用基本不等式求出其最小值. 解答: 解:(1)如圖,設(shè)M(x,y),B′(x0,2),又E(0,b) 顯然直線l的斜率存在,故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b,則 而BB′的中點(diǎn)在直線l上, 故,① 由于?代入①即得,又0≤x0≤2點(diǎn)M的軌跡方程(0≤x≤2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分) (2)易知曲線S的方程為(﹣2≤x≤2) 設(shè)梯形A1B1C1D1的面積為s,點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 由題意得,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1),直線B1C1的方程為y=1. 對(duì)于有 ∴ ∴直線A1B1的方程為, 即:令y=0得,, ∴. 令y=1得,, ∴ 所以 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取“=”且,時(shí), s有最小值為.梯形A1B1C1D1的面積的最小值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱的充要條件;向量運(yùn)算的幾何意義;曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率;利用基本不等式求函數(shù)的最值.屬于一道難題. 24.(1)已知一個(gè)圓錐母線長為4,母線與高成45角,求圓錐的底面周長. (2)已知直線l與平面α成φ,平面α外的點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)B在平面α上,且AB與直線l成θ, ①若φ=60,θ=45,求點(diǎn)B的軌跡; ②若任意給定φ和θ,研究點(diǎn)B的軌跡,寫出你的結(jié)論,并說明理由. 考點(diǎn): 圓錐曲線的軌跡問題;旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: (1)由圓錐的母線長為4,母線與高成45角,知高和底面半徑與母線構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形,由勾股定理可知底面半徑為2,由圓周公式2πR可算出底面周長. (2)①設(shè)l∩α=C,點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O.建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)|AC|=a,有A(0,0,asin60),C(0,﹣acos60).設(shè)B(x,y,0),則=(0,﹣acos60,﹣asin60).=(x,y,﹣asin60).所以.又由|?cos45,知﹣acos60?y+a2sin60=a,平方整理得,由此知點(diǎn)B的軌跡. ②設(shè)l∩α=C,點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)|AC|=a,有A(0,0,asinφ),C(0,﹣acosφ),(0<φ<).設(shè)B(x,y,0),則(6分)=(0,﹣acosφ,﹣asinφ).=(x,y,﹣asinφ).所以φ.由|?cosθ=a??cosθ.知cos2θ?x2+(cos2θ﹣cos2φ)y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ(cos2θ﹣sin2φ)=0.故當(dāng)φ=時(shí),點(diǎn)B的軌跡為圓;當(dāng)θ<φ<時(shí),點(diǎn)B的軌跡為橢圓;當(dāng)θ=φ<時(shí),點(diǎn)B的軌跡為拋物線;當(dāng)θ>φ時(shí),點(diǎn)B的軌跡為雙曲線. 解答: 解:(1)∵圓錐的母線長為4,母線與高成45角, 高和底面半徑與母線構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形, 即高和底面半徑長度一樣, 則由勾股定理可知底面半徑為2, 則由圓周公式2πR可算出底面周長4π; (2分) (2)①設(shè)l∩α=C,點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O.如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|AC|=a,有A(0,0,asin60),C(0,﹣acos60). 設(shè)B(x,y,0),則=(0,﹣acos60,﹣asin60). =(x,y,﹣asin60). ∴. 又∵|?cos45=a?. ∴﹣acos60?y+a2sin60=a. (11分) 平方整理得cos245?x2+(cos245﹣cos260)y2+a2ysin60sin120+a2sin260(cos245﹣sin260)=0. 即, ∴點(diǎn)B的軌跡橢圓; (4分) ②設(shè)l∩α=C,點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O.如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|AC|=a,有A(0,0,asinφ),C(0,﹣acosφ),(0<φ<).設(shè)B(x,y,0),則(6分)=(0,﹣acosφ,﹣asinφ). =(x,y,﹣asinφ). ∴φ. 又∵|?cosθ=a??cosθ. ∴﹣acosφ?y+a2sinφ=a. (11分) 平方整理得cos2θ?x2+(cos2θ﹣cos2φ)y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ(cos2θ﹣sin2φ)=0. i.當(dāng)cos2θ﹣cos2φ=0,即θ=φ時(shí),上式為拋物線方程; ii.當(dāng)cos2θ﹣cos2φ>0,即θ<φ時(shí),上式為橢圓方程; iii.當(dāng)cos2θ﹣cos2φ<0,即θ>φ時(shí),上式為雙曲線方程.(14分) 故當(dāng)φ=時(shí),點(diǎn)B的軌跡為圓; 當(dāng)θ<φ<時(shí),點(diǎn)B的軌跡為橢圓; 當(dāng)θ=φ<時(shí),點(diǎn)B的軌跡為拋物線; 當(dāng)θ>φ時(shí),點(diǎn)B的軌跡為雙曲線. (16分) 點(diǎn)評(píng): 第(1)題考查圓錐的性質(zhì)和應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答. 第(2)題考查圓錐曲線的軌跡的求法和判斷,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”,以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定,本題有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò). 25.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),且長軸長與短軸長的比是. (1)求橢圓C的方程; (2)若橢圓C在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A,B,求證:直線AB的斜率為定值; (3)求△PAB面積的最大值. 考點(diǎn): 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線的斜率;直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 壓軸題. 分析: (1)待定系數(shù)法求橢圓的方程. (2)設(shè)出A、B坐標(biāo),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出A、B橫坐標(biāo)之差,縱坐標(biāo)之差,從而求出AB斜率. (3)設(shè)出AB直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長度,計(jì)算P到AB的距離,計(jì)算△PAB面積, 使用基本不等式求最大值. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為. 由題意,解得a2=4,b2=2. 所以,橢圓C的方程為.故點(diǎn)P(1,) (Ⅱ)由題意知,兩直線PA,PB的斜率必存在,設(shè)PB的斜率為k, 則PB的直線方程為. 由 得,. 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則,同理可得. 則,. 所以直線AB的斜率為定值. (Ⅲ)設(shè)AB的直線方程為,由得 . 由,得m2<8.此時(shí),. 由橢圓的方程可得點(diǎn)P(1,),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得P到AB的距離為, 由兩點(diǎn)間的距離公式可得 =, 故 == =≤=. 因?yàn)閙2=4使判別式大于零,所以當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)取等號(hào),所以△PAB面積的最大值為. 點(diǎn)評(píng): 直線與圓錐曲線的綜合問題,注意應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,式子的化簡(jiǎn)變形,是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵. 26.已知點(diǎn)B(0,1),A,C為橢圓上的兩點(diǎn),△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形. (I)當(dāng)a=4時(shí),求線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍. (II)△ABC能否為等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個(gè)? 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題;圓錐曲線中的最值與范圍問題. 分析: (I)依題意,可知橢圓的方程為:+y2=1,設(shè)C(4cosθ,sinθ),可求得直線l的方程為y=﹣x++,令y=0得x==cosθ(cosθ≠0),利用余弦cosθ的有界性即可求得線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍; (II)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛BC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí),設(shè)出AB的方程為y=kx+1(k>0),BC的方程為y=﹣x+1,利用直線與方程與橢圓方程聯(lián)立,利用等腰直角三角形ABC中的兩腰|AB|=|BC|,借助基本不等式即可求得a的取值范圍;同理可求兩條腰AB與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)a的取值范圍. 解答: 解:(I)∵a=4, ∴橢圓的方程為:+y2=1,故B(0,1), 設(shè)C(4cosθ,sinθ), 則BC的中點(diǎn)M(2cosθ,), ∵BC的斜率kBC=, ∴線段BC的中垂線l的斜率k=﹣=﹣, ∴直線l的方程為:y﹣=﹣(x﹣2cosθ), ∴y=﹣x++, 令y=0得:x==cosθ(cosθ≠0) ∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0, ∴﹣≤x=cosθ≤且x≠0, ∴線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍為[﹣,0)∪(0,]. (II)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛BC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí),作圖如右, 設(shè)此時(shí)過B(0,1)的AB的方程為y=kx+1(k>0),則BC的方程為y=﹣x+1, 由得:(a2k2+1)x2+2a2kx=0, 設(shè)該方程兩根為x1,x2,則x1+x2=﹣,x1x2=0, 則|AB|= =|x1﹣x2|? =? =?||, 同理可求,|BC|=?||=?||, ∵|AB|=|BC|, ∴?||=?||, 約分后整理得:k3﹣a2k2+a2k﹣1=0, 即a2k(k﹣1)=(k﹣1)(k2+k+1), 當(dāng)k=1時(shí),AB的方程為y=x+1,BC的方程為y=﹣x+1,此時(shí)兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱,與所設(shè)不符,故k≠1; ∴a2==k++1≥3(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)),又k≠1, ∴a2>3, ∴a>,即當(dāng)a>時(shí),如圖的不關(guān)于y軸對(duì)稱等腰直角三角形ABC存在, 又不關(guān)于y軸對(duì)稱的還有另一個(gè),關(guān)于y軸對(duì)稱的必有一個(gè), 因此,當(dāng)a>時(shí),以B為直角頂點(diǎn)的等腰三角ABC共三個(gè). 當(dāng)1<a≤時(shí),以B為直角頂點(diǎn)的等腰三角ABC只有一個(gè),此時(shí)兩腰關(guān)于y軸對(duì)稱. 點(diǎn)評(píng): 本題考查橢圓的性質(zhì),著重考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用,考查直線的點(diǎn)斜式、截距的綜合應(yīng)用,突出考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用,考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、綜合運(yùn)算能力,屬于難題. 27.如圖,P是拋物線C:x2=2y上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),直線l過點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2). (1)若l經(jīng)過點(diǎn)F,求弦長|PQ|的最小值; (2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0)與x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)T ①求證: ②求的取值范圍. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 綜合題;壓軸題. 分析: (1)由拋物線的方程求出拋物線的焦點(diǎn),寫出過焦點(diǎn)的直線l的方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系求出P,Q的橫坐標(biāo)的和,借助于拋物線的定義把弦長|PQ|轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)式,利用不等式求弦長|PQ|的最小值; (2)①分別過P,Q作PP′⊥x軸,QQ′⊥x軸,利用平行線截線段成比例定理把要證的等式的左邊轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的比,從而得到要證得結(jié)論; ②聯(lián)立,消去x,得y2﹣2(k2+b)y+b2=0,利用根與系數(shù)關(guān)系得到P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積,結(jié)合基本不等式代入①后得到結(jié)論,或利用分類討論的方法求解的取值范圍. 解答: (1)解:∵F為拋物線的焦點(diǎn),∴ 設(shè)直線, 聯(lián)立,得x2﹣2kx﹣1=0(﹡) 則|PQ|=. 由(﹡)得x1+x2=2k,帶入上式得|PQ|=2k2+2≥2,當(dāng)僅當(dāng)k=0時(shí)|PQ|的最小值為2; (2)證明:如圖, ①分別過P,Q作PP′⊥x軸,QQ′⊥x軸,垂足分別為P′,Q′, 則 ②聯(lián)立,消去x,得y2﹣2(k2+b)y+b2=0(﹟) 則. (方法1) 而 而y1,y2可取一切不相等的正數(shù)∴的取值范圍為(2,+∞). (方法2) 當(dāng)b>0時(shí),上式=; 當(dāng)b<0時(shí),上式=. 由(﹟)式△>0得k2+2b>0即k2>﹣2b 于是 綜上,的取值范圍為(2,+∞). 點(diǎn)評(píng): 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合題,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,直線與圓錐曲線關(guān)系問題,常采用直線與曲線聯(lián)立,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解,這是處理這類問題的最為常用的方法,但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大,要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力,是難題. 28.過點(diǎn)F(0,1)作直線l與拋物線x2=4y相交于兩點(diǎn)A、B,圓C:x2+(y+1)2=1 (1)若拋物線在點(diǎn)B處的切線恰好與圓C相切,求直線l的方程; (2)過點(diǎn)A、B分別作圓C的切線BD、AE,試求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范圍. 考點(diǎn): 圓與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題: 計(jì)算題;綜合題;壓軸題. 分析: (1)先求拋物線過點(diǎn)B的切線方程,利用點(diǎn)B處的切線恰好與圓C相切及點(diǎn)B在拋物線即可求得點(diǎn)B坐標(biāo),從而可求直線方程; (2)由已知,直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為:y=kx+1,與x2=4y聯(lián)立,再分別表示出各線段長,即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
15 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 高中數(shù)學(xué) 解析幾何 壓軸
鏈接地址:http://m.appdesigncorp.com/p-10885268.html