高中數(shù)學(xué)解析幾何突破
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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://www.shuxuefudao.com/ 五、解析幾何 一、選擇題 1.(重慶理8)在圓內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為 A. B. C. D. 【答案】B 2.(浙江理8)已知橢圓與雙曲線有公共的焦點,的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點,若恰好將線段三等分,則 A. B. C. D. 【答案】C 3.(四川理10)在拋物線上取橫坐標(biāo)為,的兩點,過這兩點引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切,則拋物線頂點的坐標(biāo)為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知的割線的坐標(biāo),設(shè)直線方程為,則 又 4.(陜西理2)設(shè)拋物線的頂點在原點,準(zhǔn)線方程為,則拋物線的方程是 A. B. C. D. 【答案】B 5.(山東理8)已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為 A. B. C. D. 【答案】A 6.(全國新課標(biāo)理7)已知直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,為C的實軸長的2倍,C的離心率為 (A) (B) (C) 2 (D) 3 【答案】B 7.(全國大綱理10)已知拋物線C:的焦點為F,直線與C交于A,B兩點.則= A. B. C. D. 【答案】D 8.(江西理9)若曲線:與曲線:有四個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是 A.(,) B.(,0)∪(0,) C.[,] D.(,)∪(,+) 【答案】B 9.(湖南理5)設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則的值為 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 10.(湖北理4)將兩個頂點在拋物線上,另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n,則 A.n=0 B.n=1 C. n=2 D.n 3 【答案】C 11.(福建理7)設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,若曲線r上存在點P滿足=4:3:2,則曲線r的離心率等于 A. B.或2 C.2 D. 【答案】A 12.(北京理8)設(shè),,,.記為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù),其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點,則函數(shù)的值域為 A. B. C. D. 【答案】C 13.(安徽理2)雙曲線的實軸長是 (A)2 (B) 2 (C) 4 (D)4 【答案】C 14.(遼寧理3)已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 (A) (B)1 (C) (D) 【答案】C 二、填空題 15.(湖北理14)如圖,直角坐標(biāo)系所在的平面為,直角坐標(biāo)系(其中軸一與 軸重合)所在的平面為,。 (Ⅰ)已知平面內(nèi)有一點,則點在平面內(nèi)的射影的 坐標(biāo)為 ; (Ⅱ)已知平面內(nèi)的曲線的方程是,則曲線在平面內(nèi)的射影的方程是 。 【答案】(2,2) 16.(浙江理17)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,若;則點的坐標(biāo)是 . 【答案】 17.(上海理3)設(shè)為常數(shù),若點是雙曲線的一個焦點,則 。 【答案】16 18.(江西理14)若橢圓的焦點在軸上,過點(1,)作圓的切線,切點分別為A,B,直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓方程是 【答案】 19.(北京理14)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論: ① 曲線C過坐標(biāo)原點; ② 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱; ③若點P在曲線C上,則△FPF的面積大于a。 其中,所有正確結(jié)論的序號是 。 【答案】②③ 20.(四川理14)雙曲線P到左準(zhǔn)線的距離是 . 【答案】 【解析】,點顯然在雙曲線右支上,點到左焦點的距離為14,所以 21.(全國大綱理15)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點,點A∈C,點M的坐標(biāo)為(2,0),AM為∠F1AF2∠的平分線.則|AF2| = . 【答案】6 22.(遼寧理13)已知點(2,3)在雙曲線C:上,C的焦距為4,則它的離心率為 . 【答案】2 23.(重慶理15)設(shè)圓C位于拋物線與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi),則圓C的半徑能取到的最大值為__________ 【答案】 24.(全國新課標(biāo)理14)(14) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點在x軸上,離心率為.過點的直線l交C于A,B兩點,且的周長為16,那么C的方程為_________. 【答案】 25.(安徽理15)在平面直角坐標(biāo)系中,如果與都是整數(shù),就稱點為整點, 下列命題中正確的是_____________(寫出所有正確命題的編號). ①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點 ②如果與都是無理數(shù),則直線不經(jīng)過任何整點 ③直線經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個不同的整點 ④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:與都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線 【答案】①,③,⑤ 三、解答題 26.(江蘇18)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M、N分別是橢圓的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k (1)當(dāng)直線PA平分線段MN,求k的值; (2)當(dāng)k=2時,求點P到直線AB的距離d; (3)對任意k>0,求證:PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和推理論證能力,滿分16分. 解:(1)由題設(shè)知,所以線段MN中點的坐標(biāo)為,由于直線PA平分線段MN,故直線PA過線段MN的中點,又直線PA過坐標(biāo)原點,所以 (2)直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 (3)解法一: 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二: 設(shè). 設(shè)直線PB,AB的斜率分別為因為C在直線AB上,所以 從而 因此 27.(安徽理21)設(shè),點的坐標(biāo)為(1,1),點在拋物線上運動,點滿足,經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點,點滿足,求點的軌跡方程。 本題考查直線和拋物線的方程,平面向量的概念,性質(zhì)與運算,動點的軌跡方程等基本知識,考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力,全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng). 解:由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上,故可設(shè) ① 再設(shè) 解得 ② 將①式代入②式,消去,得 ③ 又點B在拋物線上,所以,再將③式代入,得 故所求點P的軌跡方程為 28. (北京理19) 已知橢圓.過點(m,0)作圓的切線I交橢圓G于A,B兩點. (I)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率; (II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值. (19)(共14分) 解:(Ⅰ)由已知得 所以 所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為 離心率為 (Ⅱ)由題意知,. 當(dāng)時,切線l的方程,點A、B的坐標(biāo)分別為 此時 當(dāng)m=-1時,同理可得 當(dāng)時,設(shè)切線l的方程為 由 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為,則 又由l與圓 所以 由于當(dāng)時, 所以. 因為 且當(dāng)時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2. 29.(福建理17)已知直線l:y=x+m,m∈R。 (I)若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切與點P,且點P在y軸上,求該圓的方程; (II)若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為,問直線與拋物線C:x2=4y是否相切?說明理由。 本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。 解法一: (I)依題意,點P的坐標(biāo)為(0,m) 因為,所以, 解得m=2,即點P的坐標(biāo)為(0,2) 從而圓的半徑 故所求圓的方程為 (II)因為直線的方程為 所以直線的方程為 由 (1)當(dāng)時,直線與拋物線C相切 (2)當(dāng),那時,直線與拋物線C不相切。 綜上,當(dāng)m=1時,直線與拋物線C相切; 當(dāng)時,直線與拋物線C不相切。 解法二: (I)設(shè)所求圓的半徑為r,則圓的方程可設(shè)為 依題意,所求圓與直線相切于點P(0,m), 則 解得 所以所求圓的方程為 (II)同解法一。 30.(廣東理19) 設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切,另一個外切。 (1)求C的圓心軌跡L的方程; (2)已知點M,且P為L上動點,求的最大值及此時點P的坐標(biāo). (1)解:設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為,由題設(shè)條件知 化簡得L的方程為 (2)解:過M,F(xiàn)的直線方程為,將其代入L的方程得 解得 因T1在線段MF外,T2在線段MF內(nèi),故 ,若P不在直線MF上,在中有 故只在T1點取得最大值2。 31.(湖北理20) 平面內(nèi)與兩定點,連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡,加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線. (Ⅰ)求曲線的方程,并討論的形狀與值得關(guān)系; (Ⅱ)當(dāng)時,對應(yīng)的曲線為;對給定的,對應(yīng)的曲線為,設(shè)、是的兩個焦點。試問:在撒謊個,是否存在點,使得△的面積。若存在,求的值;若不存在,請說明理由。 本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識,同時考查推理運算的能力,以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。(滿分14分) 解:(I)設(shè)動點為M,其坐標(biāo)為, 當(dāng)時,由條件可得 即, 又的坐標(biāo)滿足 故依題意,曲線C的方程為 當(dāng)曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓; 當(dāng)時,曲線C的方程為,C是圓心在原點的圓; 當(dāng)時,曲線C的方程為,C是焦點在x軸上的橢圓; 當(dāng)時,曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。 (II)由(I)知,當(dāng)m=-1時,C1的方程為 當(dāng)時, C2的兩個焦點分別為 對于給定的, C1上存在點使得的充要條件是 ② ① 由①得由②得 當(dāng) 或時, 存在點N,使S=|m|a2; 當(dāng) 或時, 不存在滿足條件的點N, 當(dāng)時, 由, 可得 令, 則由, 從而, 于是由, 可得 綜上可得: 當(dāng)時,在C1上,存在點N,使得 當(dāng)時,在C1上,存在點N,使得 當(dāng)時,在C1上,不存在滿足條件的點N。 32.(湖南理21) 如圖7,橢圓的離心率為,x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。 (Ⅰ)求C1,C2的方程; (Ⅱ)設(shè)C2與y軸的焦點為M,過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E. (i)證明:MD⊥ME; (ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問:是否存在直線l,使得?請說明理由。 解 :(Ⅰ)由題意知 故C1,C2的方程分別為 (Ⅱ)(i)由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為. 由得 . 設(shè)是上述方程的兩個實根,于是 又點M的坐標(biāo)為(0,—1),所以 故MA⊥MB,即MD⊥ME. (ii)設(shè)直線MA的斜率為k1,則直線MA的方程為解得 則點A的坐標(biāo)為. 又直線MB的斜率為, 同理可得點B的坐標(biāo)為 于是 由得 解得 則點D的坐標(biāo)為 又直線ME的斜率為,同理可得點E的坐標(biāo)為 于是. 因此 由題意知, 又由點A、B的坐標(biāo)可知, 故滿足條件的直線l存在,且有兩條,其方程分別為 33.(遼寧理20) 如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左、右端點M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D. (I)設(shè),求與的比值; (II)當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由. 解:(I)因為C1,C2的離心率相同,故依題意可設(shè) 設(shè)直線,分別與C1,C2的方程聯(lián)立,求得 ………………4分 當(dāng)表示A,B的縱坐標(biāo),可知 ………………6分 (II)t=0時的l不符合題意.時,BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即 解得 因為 所以當(dāng)時,不存在直線l,使得BO//AN; 當(dāng)時,存在直線l使得BO//AN. ………………12分 34.(全國大綱理21) 已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點,點P滿足 (Ⅰ)證明:點P在C上; (Ⅱ)設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上. 解: (I)F(0,1),的方程為, 代入并化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點P的坐標(biāo)為 經(jīng)驗證,點P的坐標(biāo)為滿足方程 故點P在橢圓C上。 …………6分 (II)由和題設(shè)知, PQ的垂直平分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點為M,則,AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點為。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心,NA為半徑的圓上 …………12分 35.(全國新課標(biāo)理20) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知點A(0,-1),B點在直線上,M點滿足,,M點的軌跡為曲線C. (I)求C的方程; (II)P為C上動點,為C在點P處的切線,求O點到距離的最小值. (20)解: (Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). 再由題意可知(+)?=0, 即(-x,-4-2y)?(x,-2)=0. 所以曲線C的方程式為y=x-2. (Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C:y=x-2上一點,因為y=x,所以的斜率為x 因此直線的方程為,即. 則O點到的距離.又,所以 當(dāng)=0時取等號,所以O(shè)點到距離的最小值為2. 36.(山東理22) 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點,且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點. (Ⅰ)證明和均為定值; (Ⅱ)設(shè)線段PQ的中點為M,求的最大值; (Ⅲ)橢圓C上是否存在點D,E,G,使得?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請說明理由. (I)解:(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,P,Q兩點關(guān)于x軸對稱, 所以 因為在橢圓上, 因此 ① 又因為 所以 ② 由①、②得 此時 (2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為 由題意知m,將其代入,得 , 其中 即 …………(*) 又 所以 因為點O到直線的距離為 所以 又 整理得且符合(*)式, 此時 綜上所述,結(jié)論成立。 (II)解法一: (1)當(dāng)直線的斜率存在時, 由(I)知 因此 (2)當(dāng)直線的斜率存在時,由(I)知 所以 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立. 綜合(1)(2)得|OM||PQ|的最大值為 解法二: 因為 所以 即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 因此 |OM||PQ|的最大值為 (III)橢圓C上不存在三點D,E,G,使得 證明:假設(shè)存在, 由(I)得 因此D,E,G只能在這四點中選取三個不同點, 而這三點的兩兩連線中必有一條過原點, 與矛盾, 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D,E,G. 37.(陜西理17) 如圖,設(shè)P是圓上的動點,點D是P在x軸上的攝影,M為PD上一點,且 (Ⅰ)當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程; (Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度 解:(Ⅰ)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)P的坐標(biāo)為(xp,yp) 由已知得 ∵P在圓上,∴,即C的方程為 (Ⅱ)過點(3,0)且斜率為的直線方程為, 設(shè)直線與C的交點為 將直線方程代入C的方程,得 即 ∴ ∴線段AB的長度為 注:求AB長度時,利用韋達定理或弦長公式求得正確結(jié)果,同樣得分。 38.(上海理23) 已知平面上的線段及點,在上任取一點,線段長度的最小值稱為點到線段的距離,記作。 (1)求點到線段的距離; (2)設(shè)是長為2的線段,求點集所表示圖形的面積; (3)寫出到兩條線段距離相等的點的集合,其中 , 是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種,滿分分別是①2分,② 6分,③8分;若選擇了多于一種的情形,則按照序號較小的解答計分。 。 ② 。 ③ 。 解:⑴ 設(shè)是線段上一點,則 ,當(dāng)時,。 ⑵ 設(shè)線段的端點分別為,以直線為軸,的中點為原點建立直角坐標(biāo)系, 則,點集由如下曲線圍成 , 其面積為。 ⑶ ① 選擇, ② 選擇。 ③ 選擇。 39.(四川理21) 橢圓有兩頂點A(-1,0)、B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點,并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q. (I)當(dāng)|CD | = 時,求直線l的方程; (II)當(dāng)點P異于A、B兩點時,求證:為定值。 解:由已知可得橢圓方程為,設(shè)的方程為為的斜率。 則 的方程為 40.(天津理18)在平面直角坐標(biāo)系中,點為動點,分別為橢圓的左右焦點.已知△為等腰三角形. (Ⅰ)求橢圓的離心率; (Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡方程. 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. (I)解:設(shè) 由題意,可得 即 整理得(舍), 或所以 (II)解:由(I)知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理,得 解得 得方程組的解 不妨設(shè) 設(shè)點M的坐標(biāo)為, 由 于是 由 即, 化簡得 將 所以 因此,點M的軌跡方程是 41.(浙江理21) 已知拋物線:=,圓:的圓心為點M (Ⅰ)求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離; (Ⅱ)已知點P是拋物線上一點(異于原點),過點P作圓的兩條切線,交拋物線于A,B兩點,若過M,P兩點的直線垂直于AB,求直線的方程 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 (I)解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為: 所以圓心M(0,4)到準(zhǔn)線的距離是 (II)解:設(shè), 則題意得, 設(shè)過點P的圓C2的切線方程為, 即 ① 則 即, 設(shè)PA,PB的斜率為,則是上述方程的兩根,所以 將①代入 由于是此方程的根, 故,所以 由,得, 解得 即點P的坐標(biāo)為, 所以直線的方程為 42.(重慶理20)如題(20)圖,橢圓的中心為原點,離心率,一條準(zhǔn)線的方程為. (Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)設(shè)動點滿足:,其中是橢圓上的點,直線與的斜率之積為,問:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 解:(I)由 解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (II)設(shè),則由 得 因為點M,N在橢圓上,所以 , 故 設(shè)分別為直線OM,ON的斜率,由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點是橢圓上的點,設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值,又因,因此兩焦點的坐標(biāo)為 全 品中考網(wǎng) 京翰教育網(wǎng) http://www.zgjhjy.com/- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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