2022年高中物理教科版必修2教學案：第一章 第2節(jié) 運動的合成與分解(含解析)

2022年高中物理教科版必修2教學案：第一章 第2節(jié) 運動的合成與分解(含解析) 1物體的實際運動為合運動，物體同時參與的幾 個運動為分運動。2將幾個運動合成為一個運動叫做運動的合成；將一個運動分解為幾個運動叫做運動的分解。運動的合成與分解包括位移、速度、加速度的合成與分解。3合運動的位移、速度、加速度與分運動的位移、速度、加速度間遵循平行四邊形定則。一、位移和速度的合成與分解1合運動與分運動小船渡河時，同時參與了垂直于河岸的運動和沿河岸順流而下的運動，這兩個運動叫分運動，實際的運動叫合運動。2位移的合成與分解(1)位移的合成：由分位移求合位移。(2)位移的分解：由合位移求分位移。(3)位移的合成與分解遵循平行四邊形定則。3速度的合成與分解(1)合運動與分運動對應(yīng)的時間是相同的。(2)速度的合成與分解也遵循平行四邊形定則。二、運動的合成與分解的應(yīng)用1運動的合成與分解分運動合運動2運動的合成與分解的基本法則與意義(1)基本法則：平行四邊形定則。(2)意義：物體實際參與的曲線運動可轉(zhuǎn)化為兩個方向上的直線運動來處理。1自主思考判一判(1)合運動位移、速度、加速度等于各分運動的位移、速度、加速度的代數(shù)和。(×)(2)合運動位移、速度、加速度與各分運動的位移、速度、加速度間遵循平行四邊形定則。()(3)一個物體，同時參與的兩個分運動方向必須相互垂直。(×)(4)合運動的時間一定比分運動的時間長。(×)(5)合運動和分運動具有等時性，即同時開始、同時結(jié)束。()2合作探究議一議(1)有些物體的運動較為復(fù)雜，直接研究它的運動很難，甚至無法研究，那么，可以采用什么方法來進行研究？提示：把物體的運動分解為幾個較為簡單的運動進行研究。(2)運動的合成與分解為什么都遵循平行四邊形定則？提示：運動的合成與分解其實都是對物體的位移、速度或加速度進行合成與分解，而它們都是矢量，所以運動的合成與分解遵循平行四邊形定則。(3)微風吹來，鵝毛大雪正在緩緩降落，為寒冷的冬天增加了一道美麗的風景線，試問雪花在降落時同時參與了哪兩個方向上的運動？圖1­2­1提示：雪花同時參與了豎直向下和水平方向上的兩個分運動。合運動與分運動的關(guān)系1合運動與分運動的關(guān)系等時性各分運動與合運動同時發(fā)生，同時結(jié)束，經(jīng)歷的時間相同等效性各分運動的共同效果與合運動的效果相同同體性各分運動與合運動是同一物體的運動獨立性各分運動之間互不相干，彼此獨立，互不影響2互成角度的兩個直線運動的合成兩直線運動的性質(zhì)合運動的性質(zhì)說明兩個都是勻速直線運動一定是勻速直線運動當v1、v2互成角度時，v合由平行四邊形定則求解兩個初速度均為0的勻加速直線運動一定是勻加速直線運動合運動的初速度為0，a合由平行四邊形定則求解一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動一定是勻變速曲線運動合速度由平行四邊形定則求得，合運動的加速度為分運動的加速度兩個勻變速直線運動勻變速直線運動或者勻變速曲線運動當合加速度與合初速度共線時，合運動為勻變速直線運動；當合加速度與合初速度不共線時，合運動為勻變速曲線運動典例如圖1­2­2為一架直升機運送物資，該直升機A用長度足夠長的懸索(其重力可忽略)系住一質(zhì)量m50 kg的物資B。直升機A和物資B以v10 m/s的速度一起沿水平方向勻速運動，某時刻開始將物資放下，在t5 s時間內(nèi)，物資在豎直方向上移動的距離按y2t2(單位：m)的規(guī)律變化。求：(1)在t5 s時間內(nèi)物資位移大??；(2)在t5 s末物資的速度大小。圖1­2­2思路點撥(1)物資在水平方向上勻速運動，在豎直方向上加速運動，分別求出水平和豎直方向上的位移的大小，根據(jù)平行四邊形定則可以求得合位移的大小。(2)在t5 s末物資的速度是物資的合速度的大小，分別求出在水平和豎直方向上的速度，再根據(jù)平行四邊形定則可以求得合速度的大小。解析(1)由y2t2可知t5 s內(nèi)y50 mxvt50 m因此s50 m70.7 m。(2)由y2t2可知：a4 m/s2t5 s時，vyat20 m/svxv10 m/sv510 m/s22.4 m/s。答案(1)70.7 m(2)22.4 m/s(1)利用運動的合成分析問題時，一定要分清分運動和合運動，且各運動的參照物要統(tǒng)一。(2)運動的分解像力的分解一樣，若無約束條件，一個運動可以分解為無數(shù)組分運動，但具體分解運動時，常按運動的效果分解或正交分解。1.如圖1­2­3所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向運動，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板為參照物()圖1­2­3A帆船朝正東方向航行，速度大小為vB帆船朝正西方向航行，速度大小為vC帆船朝南偏東45°方向航行，速度大小為vD帆船朝北偏東45°方向航行，速度大小為v解析：選D以帆板為參照物，帆船具有朝正東方向的速度v和朝正北方向的速度v，兩速度的合速度大小為v，方向朝北偏東45°，故選項D正確。2飛機在航空測量，它的航線要嚴格地從西到東，如果飛機的速度是80 km/h，風從南面吹來，風的速度是40 km/h，那么，(1)飛機應(yīng)朝什么方向飛行？(2)如果所測地區(qū)長度為80 km，所需時間是多少？解析： (1)由題意可知，因風的影響，若飛機仍沿著從西到東，根據(jù)運動的合成可知，會偏向北，為了嚴格地從西到東，則飛機必須朝東偏南方向為角度飛行，則有：v風v機sin ，解得：sin ，則有：30°。(2)所測地區(qū)長度為80 km，所需時間是t h2 h。答案：(1)飛機應(yīng)朝東偏南30° 角方向飛行(2)2 h小船渡河問題小船相對于河岸的運動是小船的實際運動，也是合運動，可分解為小船相對靜水的運動和隨水下漂的運動兩個分運動。此類問題常常討論以下兩個情況：1渡河時間最短若要渡河時間最短，由于水流速度始終沿河道方向，不可能提供指向河對岸的分速度。因此只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖1­2­4可知，此時t短，船渡河的位移s，位移方向滿足tan 。圖1­2­42渡河位移最短求解渡河位移最短問題，分為兩種情況：(1)若v水v船，最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t，船頭與上游夾角滿足v船 cos v水，v合v水，如圖1­2­5所示。圖1­2­5圖1­2­6(2)若v水v船，這時無論船頭指向什么方向，都無法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河寬d，尋找最短位移的方法是：如圖1­2­6所示，按水流速度和船靜水速度大小的比例，先從出發(fā)點A開始作矢量v水，再以v水末端為圓心，v船為半徑畫圓弧，自出發(fā)點A向圓弧作切線為船位移最小時的合運動的方向。這時船頭與河岸夾角滿足cos ，最短位移s短，即v船v合時位移最短，過河時間t。典例有一小船要渡過一條寬度d180 m的河流，已知河水的流速v12.5 m/s。若船在靜水中的速度v25 m/s，求：(1)欲使船在最短的時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？思路點撥(1)渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。(2)船渡河位移最短值與v船和v水的大小有關(guān)。v船>v水時，河寬即為最短位移；v船<v水時，應(yīng)利用圖解法處理。解析(1)欲使船在最短時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向。當船頭垂直河岸時，如圖甲所示。合速度為v，垂直分速度v25 m/stvxvt代入數(shù)據(jù)得t36 s，x90 m。(2)欲使船渡河航程最短，應(yīng)垂直河岸渡河，船頭應(yīng)朝上游與河岸方向成某一夾角，如圖乙所示。有v2cos v1，得60°所以當船頭指向上游與河岸夾角為60°時航程最短。xdt代入數(shù)據(jù)得t24 s，x180 m。答案(1)船頭垂直于河岸36 s90 m(2)船頭指向上游與河岸夾角為60°24 s180 m小船能到達正對岸即航程等于河寬是有條件的，那就是v船>v水?？梢娗笞疃毯匠虝r應(yīng)先比較v船與v水的大小關(guān)系，不要盲目認為最短航程就等于河寬。1(多選)河水的流速隨離河岸的距離的變化關(guān)系如圖1­2­7甲所示，船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖乙所示，若要使船以最短時間渡河，則()圖1­2­7A船渡河的最短時間是60 sB船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C船在河水中航行的軌跡是一條直線D船在河水中的最大速度是5 m/s解析：選BD由題中甲圖可知河寬300 m，船頭始終與河岸垂直時，船渡河的時間最短，則t s100 s，A錯、B對。由于船沿河向下漂流的速度大小始終在變，故船的實際速度的大小、方向也在時刻發(fā)生變化，船在河水中航行的軌跡是曲線，C錯。船沿河向下漂流的最大速度為4 m/s，所以船在河水中的最大速度v m/s5 m/s，D對。2.如圖1­2­8所示，河寬d120 m，設(shè)船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2，小船從A點出發(fā)，在渡河時，船身保持平行移動，若出發(fā)時船頭指向河對岸的上游B點處，經(jīng)過10 min，小船恰好到達河正對岸的C點，若出發(fā)時船頭指向河正對岸的C點，經(jīng)過8 min小船到達C點下游的D點處，求：圖1­2­8 (1)小船在靜水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大??；(3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離sCD。解析：(1)小船從A點出發(fā)，若船頭指向正對岸的C點，則此時過河時間最短，故有v1 m/s0.25 m/s。(2)設(shè)AB與河岸上游成角，由題意可知，此時恰好到達正對岸的C點，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2v1cos ，此時過河時間為t，所以sin 0.8，cos 0.6，故v2v1cos 0.15 m/s。(3)在第二次過河中小船被沖向下游的距離為sCDv2tmin72 m。答案：(1)0.25 m/s(2)0.15 m/s(3)72 m“關(guān)聯(lián)”速度的分解問題1“關(guān)聯(lián)”速度的特點繩、桿等相牽連的物體，在運動過程中，兩端點的速度通常是不同的，但物體沿繩或桿方向的速度分量大小相等。2解決“關(guān)聯(lián)”速度問題的關(guān)鍵(1)物體的實際運動是合運動，要按實際運動效果分解速度。(2)沿桿(或繩)方向的速度分量大小是相等的。典例(多選)如圖1­2­9所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d?，F(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處)，下列說法正確的是(重力加速度為g)()圖1­2­9A小環(huán)釋放后的極短時間內(nèi)輕繩中的張力一定大于2mgB小環(huán)到達B處時，重物上升的高度為(1)dC小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于 D小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于思路點撥(1)由圖中顯示的幾何關(guān)系，可求出重物上升的高度。(2)小環(huán)實際上是沿桿下落，該運動是合運動，沿繩方向的運動是分運動。(3)繩子繞過定滑輪與重物相連，所以重物上升速度的大小等于小環(huán)沿繩方向的分速度的大小。解析小環(huán)釋放后，其下落速度v增大，繩與豎直桿間的夾角減小，故小環(huán)沿繩方向的速度v1vcos 增大，由此可知小環(huán)釋放后的極短時間內(nèi)重物具有向上的加速度，繩中張力一定大于2mg，A項正確；小環(huán)到達B處時，繩與直桿間的夾角為45°，重物上升的高度h(1)d，B項正確；如圖所示，將小環(huán)速度v進行正交分解，v1vcos 45°v，所以小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于，C項錯誤，D項正確。答案ABD由于高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題的原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。1.均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當直桿滑到如圖1­2­10所示位置時，B球水平速度為vB，A球豎直向下的速度為vA，直桿與豎直方向的夾角為，下列關(guān)于A、B兩球速度的式子正確的是()圖1­2­10AvAvBBvAvBtan CvAvBsin DvAvBcos 解析：選BB球沿水平方向的運動可分解為沿直桿和垂直于直桿兩個方向的分運動，同理A球豎直向下的運動也可分解為沿直桿和垂直于直桿兩個方向的分運動，直桿不可伸縮，故A球沿直桿方向的分速度與B球沿直桿方向的分速度相等，即vAcos vBsin ，化簡得vAvBtan ，故B正確。2如圖1­2­11所示，A、B兩物體系在跨過光滑定滑輪的一根輕繩的兩端，當A物體以速度v向左運動時，系A(chǔ)、B的繩分別與水平方向成、角，求此時B物體的速度。圖1­2­11解析：如圖所示，對A物體的速度沿著細繩方向與垂直細繩方向進行分解，則有沿著細繩方向的速度大小為vcos ；對B物體的速度沿著細繩方向與垂直細繩方向進行分解，則有沿著細繩方向的速度大小為vBcos ，由于沿著細繩方向的速度大小相等，所以有vcos vBcos ，因此vB v，且方向水平向右。答案： v水平向右1關(guān)于兩個分運動的合運動，下列說法中正確的是()A合運動的速度一定大于兩個分運動的速度B合運動的速度一定大于一個分運動的速度C合運動的方向就是物體實際運動的方向D由兩個分速度的大小就可以確定合速度的大小解析：選C合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，還可以等于分速度的大小，故A、B均錯；僅知道兩個分速度的大小，無法畫出平行四邊形，也就不能求出合速度的大小，故D錯，只有C正確。2(多選)關(guān)于互成角度(非0°或180°)的兩個勻變速直線運動的合運動，下列說法中正確的是()A一定是曲線運動B可能是直線運動C一定是勻變速運動 D可能是勻速直線運動解析：選BC由于兩個分運動都是勻變速直線運動，所以合加速度是恒定的，如果合初速度與合加速度在一條直線上，物體做勻變速直線運動；如果合初速度與合加速度不共線，物體做勻變速曲線運動，故選BC。3小船以一定的速率垂直河岸向?qū)Π秳澣ィ斔鲃蛩贂r，它渡河的時間、發(fā)生的位移與水速的關(guān)系是()A水速小時，位移小，時間也小B水速大時，位移大，時間也大C水速大時，位移大，但時間不變D位移、時間大小與水速大小無關(guān)解析：選C小船渡河時參與了順水漂流和垂直河岸橫渡兩個分運動，由運動的獨立性原理和等時性知，小船的渡河時間決定于垂直河岸的分運動，等于河的寬度與垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向?qū)Π秳澣ァ?，故渡河時間一定。水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之則合位移小。4.豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內(nèi)有一個紅蠟塊能在水中勻速上浮。當紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管水平勻速向右運動，測得紅蠟塊實際運動方向與水平方向成30°角，如圖1所示。若紅蠟塊沿玻璃管上升的速度為7 cm/s，則玻璃管水平運動的速度約為()圖1A14 cm/s B12 cm/sC7.0 cm/s D3.5 cm/s解析：選B紅蠟塊的水平分運動和豎直分運動均是勻速直線運動，根據(jù)平行四邊形定則作圖，如下：故v212 cm/s，故選B。5.江中某輪渡站兩岸的碼頭A和B正對，如圖2所示，水流速度恒定且小于船速，若要使渡船沿直線往返于兩碼頭之間，則船在航行時應(yīng)()圖2A往返時均使船垂直河岸航行B往返時均使船頭適當偏向上游一側(cè)C往返時均使船頭適當偏向下游一側(cè)D從A駛往B時，應(yīng)使船頭適當偏向上游一側(cè)，返回時應(yīng)使船頭適當偏向下游一側(cè)解析：選B從A到B，合速度方向垂直于河岸，水流速度水平向右，根據(jù)平行四邊形定則，則船頭的方向偏向上游一側(cè)。從B到A，合速度的方向仍然垂直于河岸，水流速度水平向右，船頭的方向仍然偏向上游一側(cè)，故B正確，A、C、D錯誤。6(多選)如圖3所示，在滅火搶險的過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火作業(yè)。為了節(jié)省救援時間，在消防車向前前進的過程中，人同時相對梯子勻速向上運動。在地面上看消防隊員的運動，下列說法中正確的是()圖3A當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻加速直線運動B當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動C當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速曲線運動D當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速直線運動解析：選BC當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動，選項B正確，A錯誤。當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速曲線運動，選項C正確，D錯誤。7降落傘下落一段時間后的運動近似是勻速的。沒有風的時候，跳傘員著地的速度是5 m/s?，F(xiàn)在有風，風使他以4 m/s的速度沿水平方向向東移動，問跳傘員將以多大的速度著地？這個速度的方向怎樣？解析： 跳傘員在有風時著地的速度，為降落傘無風時勻速下降的速度和風速的合速度，如圖所示。由勾股定理求得v地 m/s6.4 m/s設(shè)著地速度v地與豎直方向的夾角為，則tan 0.8查三角函數(shù)表得38.7°。答案：6.4 m/s偏東與豎直方向成38.7°夾角斜向下8.如圖4所示，水平面上的小車向左運動，系在車后的輕繩繞過定滑輪，拉著質(zhì)量為m的物體上升。若小車以v1的速度勻速直線運動，當車后的繩與水平方向的夾角為時，物體的速度為v2，則下列關(guān)系式正確的是()圖4Av2v1 Bv2v1cos Cv20 Dv2解析：選B由于細線不可伸長，故細線兩端的速度沿著細線方向的分速度是相等的，如圖所示： 故v2v1cos ，故選B。9如圖5所示，船從A處開出后沿直線AB到達對岸，若AB與河岸成37°角，水流速度為4 m/s，則船從A點開出的最小速度為()圖5A2 m/s B2.4 m/sC3 m/s D3.5 m/s解析：選B船參與了兩個分運動，沿船頭指向的分運動和順水流而下的分運動，其中，合速度v合方向已知，大小未知，順水流而下的分運動v水速度的大小和方向都已知，沿船頭指向的分運動的速度v船大小和方向都未知，合速度與分速度遵循平行四邊形定則(或三角形定則)，如圖所示。當v合與v船垂直時，v船最小，由幾何關(guān)系得到v船的最小值為v船v水sin 37°2.4 m/s，故B正確，A、C、D錯誤。10質(zhì)量為m2 kg的物體在光滑的水平面上運動，在水平面上建立xOy坐標系，t0時物體位于坐標系的原點O，物體在x軸和y軸方向的分速度vx、vy隨時間t變化圖線如圖6甲、乙所示，求：圖6(1)t0時，物體速度的大小和方向；(2)t8.0 s時，物體速度的大小和方向；(角度可用三角函數(shù)表示)(3)t8.0 s時，物體的位置(用位置坐標x、y表示)。解析：(1)由題目中圖可知，t0時刻，vx3.0 m/s，vy0。t0時刻，物體的速度大小v03.0 m/s，方向沿x軸正方向。(2)t8.0 s時，vx3.0 m/s，vy4.0 m/s，物體的速度大小v5 m/s速度方向與x軸正向夾角設(shè)為，tan 解得：53°。(3)t8.0 s時，物體的位置坐標xvxt24 myayt216 m則物體的位置坐標是(24 m,16 m)。答案：(1)物體速度的大小為3.0 m/s，方向沿x軸正方向(2)物體速度的大小為5 m/s，方向與x軸正向夾角為53°(3)物體的位置坐標是(24 m,16 m)11.一船從河岸的A處出發(fā)渡河，小船保持與河岸垂直方向行駛，10 min運動到對岸下游120 m的C處，如圖7所示，若小船保持原來的速度逆水向上與河岸成角方向行駛，經(jīng)12.5 min到達正對岸B處，求河的寬度。圖7解析：小船過河的過程，同時參與了兩種運動，一是小船相對水的運動，一是隨水流的運動。船的運動為合運動，設(shè)河寬為d，水流速為v水，船速為v船，船兩次運動速度合成如圖所示。依題意有，第一次渡河與第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，則v船t1v船·sin ·t2，第一次渡河船在水流方向上位移為BC，則Bv水t1。由圖可得船的合速度：v2v水tan ，所以河的寬度為：dv2t2v水tan ·t2，聯(lián)立解得：sin 0.8，tan ，v水12 m/min，d12××12.5 m200 m。答案：200 m