2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和與綜合問題學(xué)案 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和與綜合問題學(xué)案 文 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 2017全國卷ⅢT17 1.主要以解答題的形式考查. 2.重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法求和及數(shù)列中an與Sn的關(guān)系. 題型2：裂項(xiàng)相消法求和 2017全國卷ⅢT17 題型3：錯(cuò)位相減法求和 2014全國卷ⅠT17 題型1　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 數(shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝ ■高考考法示例· ?角度一　已知Sn的關(guān)系式求an 【例1－1】　(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

2、Sn＝2－，則an＝________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n＋k，則an＝________. (1)　(2)　[(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝， a1＝1也適合上式，從而an＝. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝k－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋k)－[2(n－1)2－3(n－1)＋k]＝4n－5. 因此an＝.] ?角度二　已知Sn與an的關(guān)系求an 【例1－2】　(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則an＝________.

3、 (2)(2018·成都模擬)數(shù)列{an}滿足a1＋＋＋…＋＝n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. (1)3n－1　(2)2n3－n2　[(1)由解得a1＝1，a2＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an. 又a2＝3a1， ∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列． an＝3n－1. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，由a1＋＋＋…＋＝n2得 a1＋＋＋…＋＝(n－1)2， 兩式相減得＝2n－1， 所以an＝2n3－n2. 又a1

4、＝1滿足上式，所以an＝2n3－n2.] [方法歸納]　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng) (1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”). (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·中原名校模擬)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝3an＋1，則a10＝(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. A　[由Sn

5、＝3an＋1①，得S n＋1＝3an＋1＋1②，②－①，得an＋1＝3an＋1－3an，得an＋1＝an，又a1＝3a1＋1，所以a1＝－，故數(shù)列{an}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以an＝n－1，故a10＝－×9＝－.故選A.] 2．(2018·沈陽模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 題

6、型2　裂項(xiàng)相消法求和 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1．裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和． 2．常見的裂項(xiàng)類型 (1)＝； (2)＝； (3)＝(－)． ■高考考法示例· 【例2】　(2018·大連模擬)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，若n∈N*時(shí)，anbn＋1－bn＋1＝nbn. (1)求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝，求{cn}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)因?yàn)閍nbn＋1－bn＋1＝nbn， 當(dāng)n＝1時(shí)a1b2－b2＝b1.

7、 因?yàn)閎1＝1，b2＝，所以a1＝3， 又因?yàn)閧an}是公差為2的等差數(shù)列， 所以an＝2n＋1， 則(2n＋1)bn＋1－bn＋1＝nbn.化簡，得 2bn＋1＝bn，即＝， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列， 所以bn＝n－1. (2)由(1)知，an＝2n＋1， 所以cn＝＝ ＝， 所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝ ＝＝. (教師備選) Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2a

8、n＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an＞0，所以an＋1－an＝2. 又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知bn＝＝ ＝. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝－＋－＋…＋－＝. [方法歸納]　 1．裂項(xiàng)相消法求和的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)公式an拆分成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達(dá)

9、到在求和時(shí)某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件． 2．消項(xiàng)時(shí)要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般是前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由題設(shè)知a1·a4＝a2·a3＝8， 又a1＋a4＝9，可得或(舍去) 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1. (2)Sn＝＝2n－1. 又bn＝＝＝－，

10、 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－. 題型3　錯(cuò)位相減法求和 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1．錯(cuò)位相減法適用于由一個(gè)等差數(shù)列{an}和一個(gè)等比數(shù)列{bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列{anbn}的求和． 2．設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，則 Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1， 因此(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋b4＋…＋bn)－anbn＋1. ■高考考法示例· 【例3】　(2018·青島模擬)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a＝a3＋a6，且a3為a1與a

11、11的等比中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝an·2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [思路點(diǎn)撥]　(1)→→ (2)→→ [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閍＝a3＋a6，所以(a1＋d)2＝a1＋2d＋a1＋5d　① 因?yàn)閍＝a1·a11，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)?、? 因?yàn)閐≠0，由①②解得a1＝2，d＝3， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)bn＝an·2an＝(3n－1)·23n－1， 所以Tn＝2·22＋5·25＋8·28＋…＋(3n－4)·23n－4＋(3n－1)·23n－1?、? 8T

12、n＝2·25＋5·28＋…＋(3n－4)·23n－1＋(3n－1)·23n＋2?、? ①－②得－7Tn＝2·22＋3·25＋3·28＋…＋3·23n－1－(3n－1)·23n＋2， 所以Tn＝＋·23n＋2， 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Tn＝. [方法歸納]　用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意的問題 1．要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形． 2．在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． 3．應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考

13、中經(jīng)常考查． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝.求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11， 所以an＝6n＋5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d， 由，即，可解得b1＝4，d＝3， 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1， 又Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

14、 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 兩式作差，得 －Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2] ＝－3n·2n＋2 所以Tn＝3n·2n＋2. 1．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則 ＝________. 　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n×1＋×1＝， ＝＝2. ∴ ＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.] 2．(2017·全國卷Ⅲ )設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.

15、 (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． [解]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知＝＝－， 則Sn＝－＋－＋…＋－＝. 一、數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化 【例1】　(1)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長

16、1日，長3尺．莞生長1日，長1尺．蒲的生長速度逐日減半，莞的生長速度逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時(shí)間約為 (　　) (結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．1.3日　　　　　　　 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日 (2)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”．其大意為：官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數(shù)

17、比前一天多7人．修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問修筑堤壩多少天．”在這個(gè)問題中，第5天應(yīng)發(fā)大米 (　　) A．894升 B．1 170升 C．1 275升 D．1 467升 [思路點(diǎn)撥]　(1)設(shè)所需的時(shí)間為n，依題意構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得到關(guān)于n的方程，解方程，即可求出n的值． (2)每天派出的人數(shù)組成等差數(shù)列，第5天應(yīng)發(fā)大米的人數(shù)是這5天派出的總?cè)藬?shù)，因此只需算出這5天派出的總?cè)藬?shù)即可． [解析]　(1)設(shè)蒲的長度組成的等比數(shù)列{an}(a1＝3，公比為)的前n項(xiàng)和為An，莞的長度組成的等比數(shù)列{bn}(b1

18、＝1，公比為2)的前n項(xiàng)和為Bn，則An＝＝6，Bn＝＝2n－1. 依題意得6＝2n－1，所以2n＋＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去)，所以n＝＝1＋≈2.6，所以所需時(shí)間約為2.6日，故選C. (2)由題意知，每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64，公差為7的等差數(shù)列，則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64＋×7＝390，所以第5天應(yīng)發(fā)大米390×3＝1 170升，故選B. [答案]　(1)C　(2)B [體會(huì)領(lǐng)悟]　以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列題是近幾年高考的熱點(diǎn)，本例中兩個(gè)題均以我國古代數(shù)學(xué)著作中的問題為背景命制的有關(guān)等比(差)數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了應(yīng)用性

19、和創(chuàng)新性.破解此類題的關(guān)鍵是褪去數(shù)學(xué)文化的背景，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解. 二、數(shù)列與其他知識(shí)的交匯創(chuàng)新 ?預(yù)測1：與數(shù)列有關(guān)的新定義問題 【例2】　如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝3，公和為4，那么數(shù)列{an}的前25項(xiàng)和S25的值為________． [解析]　由題意知，an＋an＋1＝4，且a1＝3，所以a1＋a2＝4，得a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，a24＝1，a25＝3，即數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列，所以S25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝

20、12×4＋3＝51. [答案]　51 ?預(yù)測2：數(shù)列與函數(shù)、平面向量交匯 【例3】　(1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，且對(duì)于任意n∈N*，點(diǎn)(xn，xn＋1)都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則x1＋x2＋…＋x2 018＝(　　) A．7 564 B．7 549 C．7 546 D．7 539 (2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝10，點(diǎn)Pn(n，an)對(duì)任意的n∈N*，都有向量PnPn＋

21、1＝(1,2)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. [解析]　(1)∵數(shù)列{xn}滿足x1＝1，且對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)(xn，xn＋1)都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上， ∴xn＋1＝f(xn)， ∴由圖表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴數(shù)列{xn}是周期為4的周期數(shù)列，∴x1＋x2＋…＋x2 018＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＋x2＝504×15＋4＝7 564.故選A. (2)∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)， ∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－a

22、n＝2，∴{an}是公差d為2的等差數(shù)列． 又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴an＝2n－1，∴Sn＝n＋×2＝n2.] [答案]　(1)A　(2)n2 ?預(yù)測3：數(shù)列與不等式交匯 【例4】　(1)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項(xiàng)和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是(　　) A．S4a5＜S5a4　　　　　 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5≥S5a4 D．S4a5≤S5a4 (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k＝(　　) A．9　　　　B．8 C．7　　　　D．6 [解

23、析]　(1)S4a5－S5a4＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－aq3＜0. ∴S4a5＜S5a4，故選A. (2)ak＝Sk－Sk－1＝k2－9k－[(k－1)2－9(k－1)]＝2k－10， 由5＜ak＜8，得5＜2k－10＜8，即＜k＜9. 又k∈N*，故k＝8. [答案]　(1)A　(2)B [體會(huì)領(lǐng)悟]　解決數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題，可利用函數(shù)與方程的思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 三、規(guī)范答題——數(shù)列 規(guī)范示例 (12分)(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝

24、. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式. 信息提取 解題路線圖 1.看到求b1，b2，b3想到求a1，a2，a3. 2.看到判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，想到等比數(shù)列的定義. 3.看到求{an}的通項(xiàng)公式，想到an與bn的關(guān)系. 標(biāo)準(zhǔn)答案 閱卷現(xiàn)場 (1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. ① 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.② 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

25、 ③ (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． ④ 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，⑤ 又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． ⑥ (3)由(2)可得＝2n－1， ⑦ 所以an＝n·2n－1. ⑧ 第(1)問 第(2)問 第(3)問 得分點(diǎn) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 1 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 ①正確求出a2得1分； ②正確求出a3得1分； ③正確求出b1，b2，b3得2分； ④給出結(jié)論得1分； ⑤正確寫出＝，即bn＋1＝2bn得2分； ⑥根據(jù)b1＝1，得出結(jié)論得1分，不寫出b1＝1，不得分； ⑦得到＝2n－1得2分，錯(cuò)誤不得分； ⑧正確得到an的表達(dá)式得2分. [滿分心得]?。?）熟練應(yīng)用數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，能夠正確寫出數(shù)列的各項(xiàng)，這是正確解題的前提. （2）注意利用第（2）問的結(jié)果：善于利用上一問的結(jié)果，可快速解題，如本題第（3）問，根據(jù)bn與an的關(guān)系，利用第（2）問的結(jié)論，可迅速求解.