運(yùn)籌學(xué)(第五版)習(xí)題答案

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1、運(yùn)籌學(xué)習(xí)題答案 第一章（39頁） 1.1用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出問題是具有唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解還是無可行解。 （1）max 5+1050 +1 4 ，0 （2）min z=+1.5 +33 +2 ，0 （3）max z=2+2 --1 -0.5+2 ，0 （4）max z=+ -0 3--3 ，0 解： （1）（圖略）有唯一可行解，max z=14 （2）（圖略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（圖略）無界解 （4）（圖略）無可行解 1.2將下列線性規(guī)劃問題變換成標(biāo)準(zhǔn)型，并列出初始單純形表。 （1）min z

2、=-3+4-2+5 4-+2-=-2 ++3-14 -2+3-+22 ，，0，無約束 （2）max 0 (i=1…n; k=1,…,m) （1）解：設(shè)z=-,=-, ,0 標(biāo)準(zhǔn)型： Max =3-4+2-5(-)+0+0-M-M s. t . -4+-2+-+=2 ++3-++=14 -2+3-+2-2-+=2 ,,,,,,,,0 初始單純形表: 3 -4 2 -5 5 0 0 -M -M b -M 2 -4 1 -2 1 -1 0 0 0 1 2

3、 0 14 1 1 3 -1 1 1 0 0 0 14 -M 2 -2 [3] -1 2 -2 0 -1 1 0 2/3 - 4M 3-6M 4M-4 2-3M 3M-5 5-3M 0 -M 0 0 (2)解：加入人工變量，，，…，得： Max s=(1/)-M-M-…..-M s.t. (i=1,2,3…,n) 0, 0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m) M是任意正整數(shù) 初始單純形表： -M -M … -M … … …

4、b … … … … -M 1 1 0 … 0 1 1 … … 0 0 … 0 -M 1 0 1 … 0 0 … … 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … … … … … … -M 1 0 0 … 1 0 0 … 0 … 1 1 … 1 -s nM 0 0 … 0 … … … 1.3在下面的線性規(guī)劃問題中找出滿足約束條件的所有

5、基解。指出哪些是基可行解，并代入目標(biāo)函數(shù)，確定最優(yōu)解。 （1）max z=2+3+4+7 2+3--4=8 -2+6-7=-3 ,,,0 (2)max z=5-2+3-6 +2+3+4=7 2+++2=3 0 （1）解： 系數(shù)矩陣A是： 令A(yù)=(，，，) 與線形無關(guān)，以（，）為基，，為基變量。 有 2+3=8++4 -2=-3-6+7 令非基變量，=0 解得：=1；=2 基解=（1，2，0，0為可行解 =8 同理，以（，）為基，基解=（45/13，0，-14/13，0是非可行解； 以（，）為基，基解=（34/

6、5，0，0，7/5是可行解，=117/5； 以（，）為基，基解=（0，45/16，7/16，0是可行解，=163/16； 以（，）為基，基解=（0，68/29，0，-7/29是非可行解； 以（，）為基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解； 最大值為=117/5；最優(yōu)解=（34/5，0，0，7/5。 （2）解： 系數(shù)矩陣A是： 令A(yù)=(，，，) ，線性無關(guān)，以（，）為基，有： +2=7-3-4 2+=3--2 令 ，=0得 =-1/3，=11/3 基解=（-1/3，11/3，0，0為非可行解； 同理，以（，）為基，基解=（2/5，0，11/5，

7、0是可行解=43/5； 以（，）為基，基解=（-1/3，0，0，11/6是非可行解； 以（，）為基，基解=（0，2，1，0是可行解，=-1； 以（，）為基，基解=（0，0，1，1是=-3； 最大值為=43/5；最優(yōu)解為=（2/5，0，11/5，0。 1.4分別用圖解法和單純形法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出單純形迭代每一步相當(dāng)于圖形的哪一點(diǎn)。 （1）max z=2+ 3+515 6+224 ，0 （2）max z=2+5 4 212 3+218 ，0 解：（圖略） （1）max z=33/4 最優(yōu)解是(15/4,3/4) 單純形法：

8、 標(biāo)準(zhǔn)型是max z=2++0+0 s.t. 3+5+=15 6+2+=24 ,,,0 單純形表計(jì)算： 2 1 0 0 b 0 15 3 5 1 0 5 0 24 [6] 2 0 1 4 -z 0 2 1 0 0 0 3 0 [4] 1 -1/2 3/4 2 4 1 1/3 0 1/6 12 -z -8 0 1/3 0 -1/3 1 3/4 0 1 1/4 -1/8 2 15/4 1 0 -1/

9、12 5/24 -z -33/4 0 0 -1/12 -7/24 解為：（15/4，3/4，0，0 Max z=33/4 迭代第一步表示原點(diǎn)；第二步代表C點(diǎn)（4，0，3，0； 第三步代表B點(diǎn)（15/4，3/4，0，0 。 （2）解：（圖略） Max z=34 此時(shí)坐標(biāo)點(diǎn)為（2，6） 單純形法，標(biāo)準(zhǔn)型是： Max z=2+5+0+0+0 s.t. +=4 2+=12 3+2+=18 ,,,,0 (表略) 最優(yōu)解 X=（2，6，2，0，0 Max z=34 迭代第一步得=（0，0，4，12，18表示

10、原點(diǎn)，迭代第二步得=（0，6，4，0，6，第三步迭代得到最優(yōu)解的點(diǎn)。 1.5以1.4題（1）為例，具體說明當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中變量的系數(shù)怎樣變動(dòng)時(shí)，滿足約束條件的可行域的每一個(gè)頂點(diǎn)，都可能使得目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最優(yōu)。 解：目標(biāo)函數(shù)：max z=+ (1)當(dāng)0時(shí) =-（/）+z/ 其中，k=-/ =-3/5，=-3 l k 時(shí)， ，同號(hào)。 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在C點(diǎn)有最大值 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在原點(diǎn)最大值。 l k時(shí)，，同號(hào)。 當(dāng)0， 目標(biāo)函數(shù)在B點(diǎn)有最大值； 當(dāng)0，目標(biāo)函數(shù)在原點(diǎn)最大值。 l k 0時(shí)，， 同號(hào)。 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在A點(diǎn)有最大值 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)

11、在原點(diǎn)最大值。 l k 0時(shí)， ，異號(hào)。 當(dāng)0， 0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在A點(diǎn)有最大值； 當(dāng)0， 0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在C點(diǎn)最大值。 l k= 時(shí)，， 同號(hào) 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在AB線斷上任一點(diǎn)有最大值 當(dāng)0，目標(biāo)函數(shù)在原點(diǎn)最大值。 l k= 時(shí)，， 同號(hào)。 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在BC線斷上任一點(diǎn)有最大值 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在原點(diǎn)最大值。 l k=0時(shí)，=0 當(dāng)0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在A點(diǎn)有最大值 當(dāng)0，目標(biāo)函數(shù)在OC線斷上任一點(diǎn)有最大值 （2）當(dāng)=0時(shí)，max z= l 0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在C點(diǎn)有最大值 l 0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在OA線斷上任一點(diǎn)有最大值 l =0時(shí)，在可行域任何一點(diǎn)取最大值。

12、 1.6分別用單純形法中的大M法和兩階段法求解下列線性問題，并指出屬于哪類解。 （1）max z=2+3-5 ++15 2-5+24 ，0 （2）min z=2+3+ +4+28 3+26 ，，0 （3）max z=10+15+12 5+3+9 -5+6+1515 2++5 ，，0 （4）max z=2-+2 ++6 -2+2 2-0 ，，0 解：（1）解法一：大M法 化為標(biāo)準(zhǔn)型： Max z=2+3-5-M+0-M s.t. +++=7 2-5+-+=10 ,,,,,0 M是任意大整數(shù)。 單純形表： 2 3 -5 -M 0

13、 -M b -M 7 1 1 1 1 0 0 7 -M 10 [2] -5 1 0 -1 1 5 -z 17M 3M+2 3-4M 2M-5 0 -M 0 -M 2 0 [7/2] 1/2 1 1/2 -1/2 4/7 2 5 1 -5/2 1/2 0 -1/2 1/2 - -z 2M-10 0 (7/2)M+8 0.5M-6 0 0.5M+1 -1.5M-1 3 4/7 0 1 1/7 2/7 1/7

14、-1/7 2 45/7 1 0 6/7 5/7 -1/7 1/7 -z -102/7 0 0 -50/7 -M-16/7 -1/7 -M+1/7 最優(yōu)解是： X=（45/7，4/7，0，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 max z=102/7 有唯一最優(yōu)解。 解法二： 第一階段數(shù)學(xué)模型為 min w= + S.t. ++ + =7 2 -5 + - + =10 ,,,，,0 （單純形表略） 最優(yōu)解 X=（45/7，4/7，0，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 min w=0 第二階段單純形表為： 2 3 -

15、5 0 b 3 4/7 0 1 1/7 1/7 2 45/7 1 0 6/7 -1/7 -z -102/7 0 0 -50/7 -1/7 最優(yōu)解是 X=（45/7，4/7，0，0，0 Max z=102/7 （2）解法一：大M法 =-z 有max =-min （-）=-min z 化成標(biāo)準(zhǔn)形： Max =-2-3-+0+0-M-M S.T. +4+2-+=4 3+2-+=6 ,,,，,，0 （單純性表計(jì)算略） 線性規(guī)劃最優(yōu)解X=（4/5，9/5，0，0，

16、0 ，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 min z=7 非基變量的檢驗(yàn)數(shù)=0，所以有無窮多最優(yōu)解。 兩階段法： 第一階段最優(yōu)解X=（4/5，9/5，0，0，0，0 是基本可行解,min w=0 第二階段最優(yōu)解（4/5，9/5，0，0，0，0 min z=7 非基變量的檢驗(yàn)數(shù)=0，所以有無窮多最優(yōu)解。 （3）解：大M法 加入人工變量，化成標(biāo)準(zhǔn)型： Max z=10 +15 +12 +0 +0 +0 -M s.t. 5 +3 + + =9 -5 +6 +15 + =15 2 + + - + =5 ,,,，,，0 單純形表計(jì)算略 當(dāng)所有非基

17、變量為負(fù)數(shù)，人工變量=0.5，所以原問題無可行解。 兩階段法（略） （4）解法一：大M法 單純形法，（表略）非基變量的檢驗(yàn)數(shù)大于零，此線性規(guī)劃問題有無界解。 兩階段法略 1.7求下述線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)z的上界和下界； Max z=+ 其中：，，，，，，， 解： l 求Z的上界 Max z=3+6 s.t. -+212 2+414 ，0 加入松弛變量，化成標(biāo)準(zhǔn)型，用單純形法解的，最優(yōu)解 X=（0，7/2，5，0 目標(biāo)函數(shù)上界為z=21 存在非基變量檢驗(yàn)數(shù)等于零，所以有無窮多最優(yōu)解。 l 求z的下界 線性規(guī)劃模型： Max Z= +4

18、 s.t. 3+58 4+610 ，0 加入松弛變量，化成標(biāo)準(zhǔn)型，解得： 最優(yōu)解為 X=（0，8/5，0，1/5 目標(biāo)函數(shù)下界是z=32/5 1.8表1-6是某求極大化線性規(guī)劃問題計(jì)算得到的單純形表。表中無人工變量，，，，d，，為待定常數(shù)，試說明這些常數(shù)分別取何值時(shí)，以下結(jié)論成立。 （1）表中解為唯一最優(yōu)解；（2）表中解為最優(yōu)解，但存在無窮多最優(yōu)解；（3）該線性規(guī)劃問題具有無界解；（4）表中解非最優(yōu)，對(duì)解改進(jìn)，換入變量為，換出變量為。 基b d 4 1 0 0 2 -1 -3 0 1 -1 0 3

19、 -5 0 0 -4 1 0 0 -3 0 解： （1）有唯一最優(yōu)解時(shí)，d0，0，0 （2）存在無窮多最優(yōu)解時(shí)，d0，0，=0或d0，=0，0. （3）有無界解時(shí)，d0，0，0且 （4）此時(shí)，有d0，0并且，，3/d/4 1.9某晝夜服務(wù)的公交線路每天個(gè)時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)員人數(shù)如下： 班次 時(shí)間 所需人數(shù) 1 6點(diǎn)到10點(diǎn) 60 2 10點(diǎn)到14點(diǎn) 70 3 14點(diǎn)到18點(diǎn) 60 4 18點(diǎn)到22點(diǎn) 50 5 22點(diǎn)到2點(diǎn) 20 6 2點(diǎn)到6點(diǎn) 30 設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間區(qū)段一開始時(shí)上

20、班，并連續(xù)上班8小時(shí)，問該公交線路至少配備多少司機(jī)和乘務(wù)人員。列出線型規(guī)劃模型。 解 ： 設(shè)（k=1，2，3，4，5，6）為個(gè)司機(jī)和乘務(wù)人員第k班次開始上班。 建立模型： Min z=+++++ s.t. +60 +70 +60 +50 +20 +30 ,,,,, 0 1.10某糖果公司廠用原料A、B、C加工成三種不同牌號(hào)的糖果甲乙丙，已知各種糖果中ABC含量，原料成本，各種原料的每月限制用量，三種牌號(hào)糖果的單位加工費(fèi)用及售價(jià)如表所示： 原料 甲 乙 丙 原料成本（元/千克） 每月限制用量（千克） A 60%

21、 15% 2 2000 B 1.5 2500 C 20% 60% 50% 1 1200 加工費(fèi) 0.5 0.4 0.3 售價(jià) 3.4 2.85 2.25 問該廠每月應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)這三種牌號(hào)糖果各多少千克，使得獲利最大？建立數(shù)學(xué)模型。 解: 解：設(shè)，，是甲糖果中的A，B，C成分，，，是乙糖果的A，B，C成分，，，是丙糖果的A，B，C成分。 線性規(guī)劃模型： Max z=0.9+1.4+1.9+0.45+0.95+1.45-0.05+0.45+0.95 s.t. -0.4+0.6+0.60 -0.2-0.2+

22、0.80 -0.85+0.15+0.150 -0.6-0.6+0.40 -0.7-0.5+0.50 ++2000 ++2500 ++1200 ,,,,,,,, 0 1.11某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品I、、III。每種產(chǎn)品經(jīng)過AB兩道加工程序，該廠有兩種設(shè)備能完成A工序，他們以,表示；有三種設(shè)備完成B工序，分別為，，；產(chǎn)品I可以在AB任何一種設(shè)備上加工，產(chǎn)品可以在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在設(shè)備上加工；產(chǎn)品III只能在，上加工。已知條件如下表，要求安排最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃，使該廠利潤最大化。 設(shè)備 產(chǎn)品 設(shè)備有效臺(tái)時(shí) 滿

23、負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用 I II III 5 10 6000 300 7 9 12 10000 321 6 8 4000 250 4 11 7000 783 7 4000 200 原料費(fèi) 0.25 0.35 0.5 單價(jià) 1.25 2.00 2.8 解： 產(chǎn)品1，設(shè),完成A工序的產(chǎn)品，件；B工序時(shí)，,，完成B工序的，，件，產(chǎn)品，設(shè),完成A工序的產(chǎn)品，件；B工序時(shí)，完成B的產(chǎn)品為件；產(chǎn)品111，完成A工序的件，完成B工序的件； + = + + + = 建立數(shù)學(xué)模型：

24、 Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000 s.t 5 +10 6000 7 +9 +12 10000 6 +8 4000 4 +11 7000 7 4000 + = + + + = ,,,,,,,, 0 最優(yōu)解為X=（1200，230，0，859，571，0，500，500，324 最優(yōu)值1147. 試題： 1. （2005年華

25、南理工大學(xué)）設(shè)某種動(dòng)物每天至少需要700克蛋白質(zhì)、30克礦物質(zhì)、100毫 克維生素?，F(xiàn)有5種飼料可供選擇，每種飼料每公斤營養(yǎng)成分的含量及單價(jià)如下表所示： 試建立既滿足動(dòng)物生長需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料方案的線性規(guī)劃模型。 表 1—1 飼料 蛋白質(zhì)（克） 礦物質(zhì)（克） 維生素（毫克） 價(jià)格（元/公斤） 1 3 1 0.5 0.2 2 2 0.5 1 0.7 3 1 0.2 0.2 0.4 4 6 2 2 0.3 5 18 0.5 0.8 0.8 解題分析：這是一道較簡單的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型問題，根據(jù)題意寫出約束即可。 解題過程：

26、 第二章（67頁） 2.1用改進(jìn)單純形法求解以下線性規(guī)劃問題。 （1）Max z=6-2+3 2-+32 +44 ，，0 （2）min z=2+ 3+=3 4+36 +23 ,0 解： （1） 先化成標(biāo)準(zhǔn)型： Max z=6-2+3+0+0 s.t. 2-+2+=2 +4+=4 ,,,, 0 令=（，）= =（,,=(0,0) =(,,)= , =（，， =(6,-2,3)，=,= 非基變量的檢驗(yàn)數(shù) =-==(6,-2,3) 因?yàn)榈臋z驗(yàn)數(shù)等于6，是最大值，所以，為換入變量， =；= 由規(guī)則得： =1 為換出變量。

27、 =(，)=,=（,，=(6,0). =(,,), =（，， =(0，-2，3)，=,= 非基變量的檢驗(yàn)數(shù) =（-3，1，-3） 因?yàn)榈臋z驗(yàn)數(shù)為1，是正的最大數(shù)。所以為換入變量； = 由規(guī)則得： =6 所以是換出變量。 =(，)=,=（,，=(6,-2). =(,，), =（，， =(0，0，3)，=,= 非基變量的檢驗(yàn)數(shù) =（-2，-2，-9） 非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均為負(fù)數(shù)，愿問題已達(dá)最優(yōu)解。 最優(yōu)解X= 即：X=（4,6,0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 max z=12 （2） 解 ： Min z=2++0+M+M+0 S.T. 3++=3

28、 4+3-+=6 +2+=3 ,,,,, 0 M是任意大的正數(shù)。 （非基變量檢驗(yàn)數(shù)計(jì)算省略） 原問題最優(yōu)解是X=（0.6，1.2，0） 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值： z=12/5 2.2已知某線性規(guī)劃問題，用單純形法計(jì)算得到的中間某兩步的加算表見表，試將空白處數(shù)字填上。 3 5 4 0 0 0 b 5 8/3 2/3 1 0 1/3 0 0 0 14/3 -4/3 0 5 -2/3 1 0 0 20/3 5/3 0 4 -2/3 0 1 - -1/3 0 4 -5/3

29、 0 0 . . . 15/41 8/41 -10/41 -6/41 5/41 4/41 -2/41 -12/41 15/41 - 解： 3 5 4 0 0 0 b 5 8/3 0 14/3 0 20/3 - . . . 5 80/41 0 1 0 15/41

30、 4 50/41 0 0 1 -6/41 3 44/41 1 0 0 -2/41 - 0 0 0 -45/41 2.3寫出下列線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題。 （1）min z= 2 +2 +4 2 +3 +5 2 3 + +7 3 +4 +6 5 ,, 0 （1） 解：對(duì)偶問題是： Max w=2-3-5 s.t. 2-3-2 3--42 5-7-64 ,,0 (2)max z= +2+3 +4 -+--3=5 6+7+3-58 12-9-9+920 ,0; 0;無

31、約束 解： 對(duì)偶問題： Min w=5+8+20 S.t. -+6+121 +7-92 -+3-93 -3-5+9=4 無約束，0；0 （3）min z= i=1,…,m j=1,…,n 0 解： 對(duì)偶問題: max w=+ s.t. + , 無約束 i=1,2,….m; j=1,2,….n (4) Max z= , i=1,…., , i= 0,當(dāng)j=1，….， 無約束，當(dāng)j= 解： Min w= s.t. j=1,2,3… j=+1, +2,….n 0 i=1,2….

32、 無約束， i=+1, +2….m 2.4判斷下列說法是否正確，并說明為什么. (1)如線性規(guī)劃問題的原文題存在可行解，則其對(duì)偶問題也一定存在可行解。 （2）如線性規(guī)劃的對(duì)偶問題無可行解，則原問題也一定無可行解。 （3）如果線性規(guī)劃問題的原問題和對(duì)偶問題都具有可行解，則該線性規(guī)劃問題一定有有限最優(yōu)解。 (1)錯(cuò)誤，原問題有可行解，對(duì)偶問題可能存在可行解，也可能不存在； （2）錯(cuò)誤，對(duì)偶問題沒有可行解，原問題可能有可行解也可能有無界解； （3）錯(cuò)誤，原問題和對(duì)偶問題都有可行解，則可能有有限最優(yōu)解也可能有無界解； 2.5設(shè)線性規(guī)劃問題1是： Max = ，i=1，2…

33、，m （）是其對(duì)偶問題的最優(yōu)解。 又設(shè)線性規(guī)劃問題2是 Max + ，i=1，2…，m 其中是給定的常數(shù)，求證： + 解： 證明：把原問題用矩陣表示： Max =CX s.t. AXb X0 b=（,... 設(shè) 可行解為,對(duì)偶問題的最優(yōu)解=（，… ）已知。 Max =CX s.t. AXb+k X0 k=（,... 設(shè)可行解為，對(duì)偶問題最優(yōu)解是,對(duì)偶問題是， Min w=Y(b+k) S.t. YA C Y 0 因?yàn)槭亲顑?yōu)解，所以（b+k）（b+k） 是目標(biāo)函數(shù)的可行解，Ab+k ；A（b+k）b+

34、Yk 原問題和對(duì)偶問題的最優(yōu)函數(shù)值相等，所以不等式成立，證畢。 2.6已知線性規(guī)劃問題 Max z= = 用單純形法求解，得到最終單純形表如表所示，要求： （1） 求，，，，，，，的值； （2） 求的值； 3/2 1 0 1 1/2 -1/2 2 1/2 1 0 -1 2 -3 0 0 0 -4 解： （1）初始單純形表的增廣矩陣是： = 最終單純形表的增廣矩陣為 = 是作初等變換得來的，將作初等變換，使得的第四列和第五列的矩陣成為的單位矩陣。有： =9/2； =1； =4；

35、 =5/2； =1； =2； =9； =5 由檢驗(yàn)計(jì)算得： =-3； ==0 2.7已知線性規(guī)劃問題 Max z=2++5+6 s.t. 2++8 2+2++212 0，j=1,…4 對(duì)偶變量，，其對(duì)偶問題的最優(yōu)解是=4，，試應(yīng)用對(duì)偶問題的性質(zhì)，求原問題的最優(yōu)解。 解： 對(duì)偶問題是： Min w=8+12 s.t. 2+22 21 +5 +26 ，0 互補(bǔ)松弛性可知，如，是原問題和對(duì)偶問題的可行解，那么，=0和 =0，當(dāng)且僅當(dāng)，是最優(yōu)解。 設(shè) X,Y是原問題和對(duì)偶問題的可行解，=（，，，） 有： Y=0; 且 X=0

36、==0，原問題約束條件取等號(hào)，=4；=4 最優(yōu)解X=（0，0，4，4 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為44。 2.8試用對(duì)偶單純形法求解下列線性規(guī)劃問題。 （1）min z=+ 2+4 +77 ,0 (2) min z=3+2++4 2+4+5+ 0 3- +7-2 2 5+2++10 15 ,, , 0 解： （1） 取w=-z，標(biāo)準(zhǔn)形式： Max w=--+0+0 s.t. -2-+=-4 --7+=-7 ，，，0 單純形法求解（略）： 最優(yōu)解： X=（21/13，10/13，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為31/13。

37、 （2）令：w=-z，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式： Max w=-3-2--4+0+0+0 s.t. -2-4-5-+=0 -3+-7+2+=-2 -5-2--6+=-15 ，，，，，，0 單純形法略 原問題最優(yōu)解： X=（3，0，0，0，6，7，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為9。 2.9現(xiàn)有線性規(guī)劃問題 max z=- 5+5+13 - ++3 20 12 +4+10 90 ，， 0 先用單純形法求出最優(yōu)解，然后分析在下列各種條件下，最優(yōu)解分別有什么變化？ （1） 約束條件1的右端常數(shù)20變?yōu)?0 （2） 約束條件2的右端常數(shù)90變?yōu)?0 （3） 目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變

38、為8 （4） 的系數(shù)向量變?yōu)? （5） 增加一個(gè)約束條件2+3+550 （6） 將約束條件2變?yōu)?0+5+10100 解： 把原問題化成標(biāo)準(zhǔn)型的： Max z=-5 +5 +13 +0 +0 s.t - + +3 + =20 12 +4 +10 + =90 ，，，，0 單純形法解得： 最優(yōu)解： X=（0，20，0，0，10 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為100。 非基變量的檢驗(yàn)數(shù)等于0，原線性問題有無窮多最優(yōu)解。 （1）約束條件的右端常數(shù)變?yōu)?0 有 因此 單純形法解得： 最優(yōu)解： X=（0，0，9，3，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為117。 （2）約束條件右

39、端常數(shù)變?yōu)?0 有 因此 單純形法解得，最優(yōu)解： X=（0，5，5，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為90。 （3）的系數(shù)變成8，是非基變量，檢驗(yàn)數(shù)小于0，所以最優(yōu)解不變。 （4）的系數(shù)向量變?yōu)? 是非基變量，檢驗(yàn)數(shù)等于-5，所以最優(yōu)解不變。 （5）解：加入約束條件 用對(duì)偶單純形表計(jì)算得： X=（0，25/2，5/2，0，15，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為95。 （6）改變約束條件，沒有變化， 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解不變。 2.10已知某工廠計(jì)劃生產(chǎn)I,II,III三種產(chǎn)品，各產(chǎn)品在ABC設(shè)備上加工，數(shù)據(jù)如下表， 設(shè)備代號(hào) I II III 每月設(shè)備 有效臺(tái)

40、時(shí) A 8 2 10 300 B 10 5 8 400 C 2 13 10 420 單位產(chǎn)品利潤/千元 3 2 2.9 （1）如何充分發(fā)揮設(shè)備能力，使生產(chǎn)盈利最大？ （2）如果為了增加產(chǎn)量，可借用其他工廠的設(shè)備B，每月可借用60臺(tái)時(shí)，租金為1.8萬元，問借用是否合算？ （3）若另有兩種新產(chǎn)品IV,V，其中IV為10臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品利潤2.1千元；新產(chǎn)品V需用設(shè)備A為4臺(tái)時(shí)，B為4臺(tái)時(shí)，C為12臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利1.87千元。如A,B,C設(shè)備臺(tái)時(shí)不增加，分別回答這兩種新產(chǎn)品投產(chǎn)在經(jīng)濟(jì)上是否劃算？ （4）對(duì)產(chǎn)品工藝重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，改進(jìn)結(jié)構(gòu)，改進(jìn)后生產(chǎn)每

41、件產(chǎn)品I，需要設(shè)備A為9臺(tái)時(shí)，設(shè)備B為12臺(tái)時(shí)，設(shè)備C為4臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品利潤4.5千元，問這對(duì)原計(jì)劃有何影響？ 解： （1）設(shè)：產(chǎn)品三種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為，，，，建立數(shù)學(xué)模型： Max z=3+2+2.9 s.t. 8+2+10300 10+5+8400 2+13+10420 ,,0 把上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)型，用單純形法解得： 最優(yōu)解： X=（338/15，116/5，22/3，0，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為2029/15。 （2） 設(shè)備B的影子價(jià)格為4/15千元/臺(tái)時(shí)，借用設(shè)備的租金為0.3千元每臺(tái)時(shí)。 所以，借用B設(shè)備不合算。 （3） 設(shè)備,V生產(chǎn)的產(chǎn)量為，，

42、系數(shù)向量分別為： 檢驗(yàn)數(shù)=-0.06，所以生產(chǎn)不合算， =37/300，生產(chǎn)V合算。 單純形法計(jì)算得： 最優(yōu)解： X=（107/4，31/2，0，0，0，0，55/4 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為10957/80。 （4）改進(jìn)后,檢驗(yàn)數(shù)=253/300，大于零。 所以，改進(jìn)技術(shù)可以帶來更好的效益。 2.11分析下列參數(shù)規(guī)劃中當(dāng)t變化時(shí)最優(yōu)解的變化情況。 （1）Max =(3-6t) +(2-2t) +(5-5t) (t0) s.t. +2+ 430 3+2 460 +4 420 ，，0 （2）Max =(7+2t)+(12+t) +(10-t) (t

43、0) s.t. ++ 20 2+2+ 30 ，，0 （3）Max =2+ (0 t 25) s.t. 10+2t + 25-t 10+2t ，0 （4）Max =21+12+18+15 (0 t 59) s.t. 6+3+6+3 30+t 6-3+12+6 78-t 9+3-6+9 135-2t ，，，0 解： （1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式： Max =(3-6t) +(2-2t) +(5-5t) +0+0+0 (t0) s.t. +2++=430 3+2+=460 +4+=420 ，，，，, 0 令t=0，用單純形表計(jì)算，

44、 3-6t 2-2t 5-5t 0 0 0 B 2-2t 100 -1/4 1 0 0.5 -1/4 0 - 5-5t 230 3/2 0 1 0 1/2 0 460 0 20 2 0 0 -2 [1] 1 20 -z 1350t -1350 t-4 0 0 t-1 2t-2 0 t增大，t大于1，首先出現(xiàn)，大于0，所以當(dāng)0t1時(shí)有最優(yōu)解。 X=（0，100，230，0，0，20 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為1350（t-1） （0t1）。 t=1是第一

45、臨界點(diǎn)。 t大于1時(shí)，是換出變量。 t大于1，最優(yōu)解是：X=（0，0， 0，430，460，420 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為 Max =0， （t大于1） （2） 化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后令t=0，單純形法解得： t開始增大時(shí)，當(dāng)t大于8/3時(shí)，首先出現(xiàn)大于0，所以0t8/3，得最優(yōu)解。 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值Max =220，（0t8/3） 所以，t=8/3為第一臨界點(diǎn)。 當(dāng)8/35，首先大于0，8/3

46、）。 所以，t=5為第二臨界點(diǎn)。 當(dāng)t>5時(shí)，是換入變量，為換出變量，單純性法計(jì)算， 當(dāng)t繼續(xù)增大，所有檢驗(yàn)數(shù)都非正，所以當(dāng)t>5，最優(yōu)解： X=（15，0，0，5 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為105+30t， t〉0 (3)化成標(biāo)準(zhǔn)型，令t=0,用單純形法計(jì)算得： 當(dāng)t開始增大，t大于5時(shí)，首先出現(xiàn)小于0，當(dāng)0t5，最優(yōu)解為： X=（10+2t，0，10+2t，5-t，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為6t+30 ，（0t5）。 所以t=5是第一臨界點(diǎn)。 當(dāng)t大于5時(shí)，是換出變量，是換入變量。用對(duì)偶單純形法計(jì)算， 當(dāng)t大于5時(shí)，最優(yōu)解為： X=（10+2t，15+t，0，0，t-5

47、目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為35+5t。 （4）解： 先化為標(biāo)準(zhǔn)型，令t=0，用單純形法計(jì)算，得： 當(dāng)t開始增大，當(dāng)t大于6時(shí)，首先出現(xiàn)小于0，當(dāng)0t6，有最優(yōu)解： X=（0，0，0，10+t/3，0，18-3t，45-5t 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為150+5t （0t6）。 當(dāng)t大于6時(shí)，首先出現(xiàn)小于0，是換出變量，是換入變量，使用單純形法計(jì)算得：t繼續(xù)增大，當(dāng)t大于11時(shí)，首先小于零，是換出變量，為換入變量，對(duì)偶單純形法迭代得： 當(dāng) t≤59，有最優(yōu)解： X=（0，t/3-2，t/8-11/8，59/4-t/4，0，0，0 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為5t/2+345/2 ，（11

48、 試題： 1. （2006年西北工業(yè)大學(xué)）已知線性規(guī)劃： （1） 用單純形法求解該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值； （2） 寫出線性規(guī)劃的對(duì)偶問題； （3） 求解對(duì)偶問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。 解題分析：本題考察了線性規(guī)劃與對(duì)偶問題的知識(shí)，要求讀者熟知對(duì)偶理論。 解題過程： ，有無窮多解。 對(duì)偶問題為： 2. （2005年東南大學(xué)）寫出如下線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題： 無限制 并利用弱對(duì)偶性說明的最大值不大于1。 解題過程：原問題的對(duì)偶問題為： 由于（0，1，0）是上述對(duì)偶問題的可行解，由弱對(duì)偶性可知，對(duì)原問題的任一可行解 都有

49、 而，所以的最大值不大于1。 第三章（86頁） 3.1判斷表中給出的調(diào)運(yùn)方案能否作為用表上作業(yè)法求解時(shí)的最初解？為什么？ 表3—1 銷地產(chǎn)地 1 2 3 4 產(chǎn)量 1 0 15 15 2 15 10 25 3 5 5 銷量 5 15 15 10 表3—2 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 4 5 產(chǎn)量 1 150 250 400 2 200 300 500 3 250 50 300 4 90 210 30

50、0 5 80 20 100 銷量 240 410 550 330 70 解： 表3—1中，有5個(gè)數(shù)字格，作為初始解，應(yīng)該有m+n-1=3+4-1=6個(gè)數(shù)字格，所以表3-1的調(diào)運(yùn)方案不能作為用表上作業(yè)法求解時(shí)的初始解。 表3-2中，有10個(gè)數(shù)字格，而作為初始解，應(yīng)該有m+n-1=9個(gè)數(shù)字格，所以表3-2的調(diào)運(yùn)方案不能作為表上作業(yè)法的初始解。 3.2 表3-3和表3-4中分別給出兩個(gè)運(yùn)輸問題的產(chǎn)銷平衡表和單位運(yùn)價(jià)表，試用伏格爾法直接給出近似最優(yōu)解。 表3-3 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 產(chǎn)量 1 5 1 8 12

51、 2 2 4 1 14 3 3 6 7 4 銷量 9 10 11 表3-4 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 4 5 產(chǎn)量 1 10 2 3 15 9 25 2 5 20 15 2 4 30 3 15 5 14 7 15 20 4 20 15 13 M 8 30 銷量 20 20 30 10 25 解： （1）在表3-3中分別計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列。得到： 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 行差額

52、1 5 1 8 4 2 2 4 1 1 3 3 6 7 3 列差額 1 3 6 從行差額或者列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素，上表中，第三列是最大差額列，此列中最小元素為1，由此可以確定產(chǎn)地2的產(chǎn)品應(yīng)先供應(yīng)給銷售地3，得到下表： 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 產(chǎn)量 1 11 12 2 14 3 4 銷量 9 10 11 同時(shí)將運(yùn)價(jià)表第三列數(shù)字劃去，得 銷地 產(chǎn)地 1 2 產(chǎn)量 1 5 1 12 2 2 4 14

53、3 3 6 4 銷量 9 10 對(duì)上表中的元素，計(jì)算各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列，重復(fù)上面的步驟，直到求出初始解，最終結(jié)果是： 銷地 產(chǎn)地 1 2 3 產(chǎn)量 1 2 10 12 2 3 11 14 3 4 4 銷量 9 10 11 （2）3-4分別計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列。從行差額或者列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素。（方法同3-3相同） 最終得出原問題的初始解： 銷地 產(chǎn)地

54、1 2 3 4 5 產(chǎn)量 1 25 2 20 30 3 20 4 30 銷量 20 20 30 10 25 3.3用表上作業(yè)法求給出運(yùn)輸問題的最優(yōu)解（M是任意大正數(shù)） （1） 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 產(chǎn)量 1 3 7 6 4 5 2 2 4 3 2 2 3 4 3 8 5 3 銷量 3 3 2 2 解： （1）計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列。

55、 從行差額或者列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素，丙列中的最小元素為3，由此可以確定產(chǎn)地2的產(chǎn)品應(yīng)先供應(yīng)丙的需要，而產(chǎn)地2的產(chǎn)量等于丙地的銷量，故在（2，丙）處填入0，同時(shí)將運(yùn)價(jià)表中的丙列和第二行的數(shù)字劃去，得到： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 產(chǎn)量 1 3 7 4 5 2 2 3 4 3 5 3 銷量 3 3 2 對(duì)上表中的元素分別計(jì)算各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該標(biāo)的最右列和最下行，重復(fù)步驟，直到求出初始解為止。得到下表： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙

56、丁 產(chǎn)量 1 3 2 5 2 2 0 2 3 0 3 3 銷量 3 3 2 2 使用位勢法進(jìn)行檢驗(yàn)： 上表中，數(shù)字格處填入單位運(yùn)價(jià)并增加一行一列，在列中填入（i=1，2，3），在行中填入（j=1，2，3，4），先令+=（i，jB，B為基，下同）來確定和，得到下表： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 1 3 4 0 2 3 2 -2 3 4 3 1 3 2 5 4 由=-（+）（i，j為非基，下同）計(jì)算所有空格的檢驗(yàn)數(shù)，并在每個(gè)格的右上角填入單位運(yùn)價(jià)

57、，得到下表 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 1 3 0 7 5 6 1 4 0 0 2 2 1 4 4 3 0 2 0 -2 3 4 0 3 0 8 2 5 0 1 3 2 5 4 由上表可以看出，所有的非基變量檢驗(yàn)數(shù)≥0，此問題達(dá)到最優(yōu)解。 又因?yàn)?0，此問題有無窮多最優(yōu)解。 總運(yùn)費(fèi)min z=3*3+3*3+2*3+2*4=32 （2） 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 產(chǎn)量 1 10 6 7 12 4 2 16 10 5 9 9 3

58、 5 4 10 10 4 銷量 5 2 4 6 解：（2）計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列。 從行差額或者列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素，甲列是最大差額列，甲列的最小元素是5，所以產(chǎn)地3的產(chǎn)品先供應(yīng)甲的需求，同時(shí)將運(yùn)價(jià)表中產(chǎn)地3所在行的數(shù)字劃去。 對(duì)上表中的元素分別計(jì)算各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該標(biāo)的最右列和最下行，重復(fù)步驟，直到求出初始解為止。得到下表： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 產(chǎn)量 1 1 2 1 4 2 3 6 9

59、 3 4 4 銷量 5 2 4 6 使用位勢法進(jìn)行檢驗(yàn)： 上表中，數(shù)字格處填入單位運(yùn)價(jià)，并增加一行一列，在列中填入（i=1，2，3），在行中填入（j=1，2，3，4），先令=0，由 +=（i，jB，B為基，下同）來確定和. 由=-（+）（i，jN）計(jì)算所有空格的檢驗(yàn)數(shù)，并在每個(gè)格的右上角填入單位運(yùn)價(jià)，得到下表 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 1 10 0 6 7 12 1 0 2 16 8 10 6 5 0 9 0 -2 3 5 0 4 3 10 8 10 4

60、-5 10 6 7 11 由上表可以看出，所有的非基變量檢驗(yàn)數(shù)≥0，此問題達(dá)到最優(yōu)解。 此問題有唯一最優(yōu)解。 總運(yùn)費(fèi)min z=118 （3） 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 戊 產(chǎn)量 1 10 20 5 9 10 5 2 2 10 8 30 6 6 3 1 20 7 10 4 2 4 8 6 3 7 5 9 銷量 4 4 6 2 4 解：（3）此問題是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的問題，產(chǎn)大于銷。增加一個(gè)假象銷售地己，令單位運(yùn)價(jià)為0。銷量為2。這樣就達(dá)到了產(chǎn)銷平衡。 用伏格爾法求初始解

61、： 計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下列。 從行差額或者列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素，產(chǎn)地1所在的行是最大差額行，最小元素0，說以一產(chǎn)地的產(chǎn)品應(yīng)該優(yōu)先供應(yīng)己的需要，同時(shí)劃掉己列的數(shù)字。 對(duì)上表中的元素分別計(jì)算各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該標(biāo)的最右列和最下行，重復(fù)步驟，直到求出初始解為止。得到下表： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 戊 己 產(chǎn)量 1 3 2 5 2 4 2 6 3 2 2 4 4 3 2

62、 9 銷量 4 4 6 2 4 2 使用位勢法進(jìn)行檢驗(yàn)： 上表中，數(shù)字格處填入單位運(yùn)價(jià)，并增加一行一列，在列中填入（i=1，2，3，4），在行中填入（j=1，2，3，4，5，6），先令=0，由 +=（i，jB，B為基，下同）來確定和. 由=-（+）（i，jN）計(jì)算所有空格的檢驗(yàn)數(shù)，并在每個(gè)格的右上角填入單位運(yùn)價(jià)。 由上表可以看出，所有的非基變量檢驗(yàn)數(shù)≥0，此問題達(dá)到最優(yōu)解。 又因?yàn)?0，此問題有無窮多最優(yōu)解。 總運(yùn)費(fèi)min z=90 （4） 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 戊 產(chǎn)量 1 10 18 29 13

63、 22 100 2 13 M 21 14 16 120 3 0 6 11 3 M 140 4 9 11 23 18 19 80 5 24 28 36 30 34 60 銷量 100 120 100 60 80 解：（4）此問題是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的問題，產(chǎn)大于銷。增加一個(gè)假象銷售地己，令單位運(yùn)價(jià)為0。銷量為40。這樣就達(dá)到了產(chǎn)銷平衡。 用伏格爾法求初始解： 計(jì)算出各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該表的最右列和最下行。 從行差額或者

64、列差額中找出最大的，選擇它所在的行或者列中的最小元素，同時(shí)劃掉所在列或行的元素。 對(duì)上表中的元素分別計(jì)算各行和各列的次最小運(yùn)費(fèi)和最小運(yùn)費(fèi)的差額，填入該標(biāo)的最右列和最下行，重復(fù)步驟，直到求出初始解為止。 并用位勢法進(jìn)行檢驗(yàn)： 銷地 產(chǎn)地 甲 乙 丙 丁 戊 己 1 10 18 2 29 8 13 0 22 6 0 12 0 2 13 3 M M-16 21 0 14 1 16 0 0 12 0 3 0 0 6 0 11 0 3 0 M M-6 0 22 -10 4

65、9 4 11 0 23 7 18 10 19 8 0 17 -5 5 24 2 28 0 36 3 30 5 34 6 0 12 10 16 21 13 16 -12 由上表可以看出，所有的非基變量檢驗(yàn)數(shù)≥0，此問題達(dá)到最優(yōu)解。 又因?yàn)?0，此問題有無窮多最優(yōu)解。 總運(yùn)費(fèi)min z=5520 3.4 已知運(yùn)輸問題的產(chǎn)銷平衡表、單位運(yùn)價(jià)表及最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案如下表所示 表1 銷地 產(chǎn)地 產(chǎn)量 5 10 15 0 10 15 25 5

66、5 銷量 5 15 15 10 表2 銷地 產(chǎn)地 10 1 20 11 12 7 9 20 2 14 16 18 （1）到的單位運(yùn)價(jià)在什么范圍變化時(shí)，上述最優(yōu)方案不變？ （2）到的單位運(yùn)價(jià)變?yōu)楹沃禃r(shí)，有無窮多最優(yōu)方案。除表1中方案外，至少寫出其他兩個(gè)。 解： (1)在對(duì)應(yīng)表的數(shù)字格處（未知）填入單位運(yùn)價(jià)，并增加一行，在列中填入（i=1，2，3），在行中填入（j=1，2，3，4），先令=0，由 +=（i，jB）來確定和. 由=-（+）（i，jN）計(jì)算所有空格的檢驗(yàn)數(shù)，并在每個(gè)格的右上角填入單位運(yùn)價(jià)（未知）。 最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案不變，則所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都是非負(fù)。所以： -30 +100 10-0 24-0 18-0 解得: 310 單位運(yùn)價(jià)在此區(qū)間變化時(shí)，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案不變。 （2）在對(duì)應(yīng)表的數(shù)字格處（未知）填入單位運(yùn)價(jià)，并增加一行，在列中填入（i=1，2，3），在行中填入（j=1，2，3，4），先令=0，由 +=（i，jB）來確定和. 由=-（+）（i，jN）計(jì)算所有空格的