2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）新人教B版必修5

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1、第一章 解三角形章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí).2.掌握解三角形的基本類型，并能在幾何計(jì)算、測(cè)量應(yīng)用中靈活分解組合.3.能解決三角形與三角變換、平面向量的綜合問題． 1．正弦定理及其推論 設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則 (1)＝＝＝2R. (2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (3)sinA＝，sinB＝，sinC＝. (4)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB. 2．余弦定理及其推論 (1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. (2)c

2、osA＝；cosB＝；cosC＝. (3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2

3、所以BC＝＝7. (2)已知△ABC中，若cosB＝，C＝，BC＝2，則△ABC的面積為． 答案　 反思感悟　利用正弦、余弦定理尋求三角形各元素之間的關(guān)系來解決三角形及其面積問題． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)在△ABC中，∠A＝45°，AB＝1，AC＝2，則S△ABC的值為(　　) A.B.C.D．2 答案　B (2)已知銳角△ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　) A．75°B．60°C．45°D．30° 答案　D 解析　S＝BC·AC·sin C＝×4×3×sin C＝3， ∴sin C＝，∵三角形為銳角三角形． ∴C＝30°. 題型二　幾何計(jì)算

4、例2　如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，則ED＝. 答案　 解析　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝， 所以∠BAC＝60°. 因?yàn)锽E⊥AC，AB＝，所以AE＝. 在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3， 由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝， 故ED＝. 反思感悟　正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決． 跟蹤訓(xùn)練2　在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，∠A的平分線AD＝，則AC等于(　　) A．1B．2C.

5、D．2 答案　C 解析　如圖，在△ABD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠ADB＝. 由題意知0°<∠ADB<60°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝. 在△ABC中，由正弦定理， 得＝， ∴AC＝. 題型三　實(shí)際應(yīng)用 例3　如圖，已知在東西走向上有AM，BN兩個(gè)發(fā)射塔，且AM＝100m，BN＝200m，一測(cè)量車在塔底M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)計(jì)算，ta

6、nθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離． 解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100 m， 所以PM＝100 m，連接QM， 在△PQM中，∠QPM＝60°， 又PQ＝100 m， 所以△PQM為等邊三角形， 所以QM＝100 m. 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200 m. 在Rt△BNQ中，因?yàn)閠an θ＝2，BN＝200 m， 所以BQ＝100 m，cos θ＝. 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ， 所以BA＝100 m. 故兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m. 反思感悟　實(shí)際應(yīng)用問題的解決過程

7、實(shí)質(zhì)上就是抽象成幾何計(jì)算模型，在此過程中注意術(shù)語如“北偏西60°”、“仰角”的準(zhǔn)確翻譯，并轉(zhuǎn)換為解三角形所需邊、角元素． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，從無人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)無人機(jī)的高是60m，則河流的寬度BC等于(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 答案　C 解析　如圖，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m， 所以CD＝AD·tan60°＝60(m)． 在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°， 所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)

8、． 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－) ＝120(－1)(m)．故選C. 題型四　三角形中的綜合問題 例4　a，b，c分別是銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p∥q，已知a＝，△ABC的面積為，求b，c的大小． 解　p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)， 又p∥q，∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)·(sin A－cos A)＝0， 即4sin2A－3＝0， 又∠A為銳角，則sin A＝

9、，∠A＝60°， ∵△ABC的面積為，∴bcsin A＝，即bc＝6，① 又a＝，∴7＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝13，② ①②聯(lián)立解得或 反思感悟　解三角形綜合問題的方法 (1)三角形中的綜合應(yīng)用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識(shí)聯(lián)系在一起，要注意選擇合適的方法、知識(shí)進(jìn)行求解． (2)解三角形常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識(shí)綜合考查，解答此類題目，首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解． 跟蹤訓(xùn)練4　在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin2－cos2A＝. (

10、1)求A的度數(shù)； (2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值． 解　(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°， 得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝， 4(1＋cosA)－4cos2A＝5， 即4cos2A－4cosA＋1＝0， ∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝. ∵0°

11、．5B．6C．7D．8 答案　C 解析　設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∵a＋b＋c＝20， ∴b＋c＝20－a， 即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a， ∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，① 又cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc.② 又S△ABC＝bcsinA＝10，∴bc＝40.③ 由①②③可知a＝7. 2．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，則c＝. 答案　 解析　在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝. ∵cos B＝>0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin

12、Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 由正弦定理知＝，∴c＝＝＝. 3．在△ABC中，cos＝，判斷△ABC的形狀． 解　由已知得cos2＝， ∴2cos2－1＝cosB，∴cosA＝cosB， 又0