（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學案 新人教A版必修2 學習目標　1.了解角的概念.2.掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義.3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角． 知識點一　角的相關概念 思考1　用旋轉方式定義角時，角的構成要素有哪些？ 答案　角的構成要素有始邊、頂點、終邊． 思考2　將射線OA繞著點O旋轉到OB位置，有幾種旋轉方向？ 答案　有順時針和逆時針兩種旋轉方向． 梳理　(1)角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點O從一個位置 OA旋轉到另一個位置OB所成的圖形．點O是角的頂點，

2、射線OA，OB分別是角α的始邊和終邊． (2)按照角的旋轉方向，分為如下三類： 類型 定義 正角 按逆時針方向旋轉形成的角 負角 按順時針方向旋轉形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角 知識點二　象限角 思考　把角的頂點放在平面直角坐標系的原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，旋轉該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？ 答案　終邊可能落在坐標軸上或四個象限內． 梳理　在平面直角坐標系內，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合． 象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：終邊落在坐標軸上的角． 知識點三　終邊相同的

3、角 思考1　假設60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關系，它們與60°分別相差多少？ 答案　它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相差了－2個周角及1個周角． 思考2　如何表示與60°終邊相同的角？ 答案　60°＋k·360°(k∈Z)． 梳理　終邊相同角的表示： 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和． 1．經(jīng)過1小時，時針轉過30°.(　×　) 提示　因為是順時針

4、旋轉，所以時針轉過－30°. 2．終邊與始邊重合的角是零角．(　×　) 提示　終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z)． 3．小于90°的角是銳角．(　×　) 提示　銳角是指大于0°且小于90°的角． 4．鈍角是第二象限角．(　√　) 5．第二象限角是鈍角．(　×　) 提示　第二象限角不一定是鈍角． 類型一　任意角概念的理解 例1　(2018·牌頭中學月考)下列命題正確的是(　　) A．第一象限角是銳角 B．鈍角是第二象限角 C．終邊相同的角一定相等 D．不相等的角，它們終邊必不相同 考點　任意角的概念 題點　任意角的概念 答案　B 反思與感悟　解決此類

5、問題要正確理解銳角、鈍角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推廣后，確定角的關鍵是確定旋轉的方向和旋轉量的大?。? 跟蹤訓練1　寫出下列說法所表示的角． (1)順時針擰螺絲2圈； (2)將時鐘撥慢2小時30分，分針轉過的角． 考點　任意角的概念 題點　任意角的概念 解　(1)順時針擰螺絲2圈，螺絲順時針旋轉了2周，因此所表示的角為－720°. (2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉，因此將時鐘撥慢2小時30分，分針轉過的角為900°. 類型二　象限角的判定 例2　(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是(　　) A．①②

6、 B．①③ C．②③ D．②④ 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　D 解析　－120°為第三象限角，①錯；－240°＝－360°＋120°，∵120°為第二象限角，∴－240°也為第二象限角，故②對；180°為軸線角；495°＝360°＋135°，∵135°為第二象限角，∴495°為第二象限角，故④對．故選D. (2)已知α為第三象限角，則是第幾象限角？ 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 解　因為α為第三象限角， 所以k·360°＋180°<α

7、k＝2n，n∈Z， n·360°＋90°<

8、按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次標上1,2,3,4，…，4n，標號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α所在第幾象限時，的終邊所落在的區(qū)域，如此，所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀的看出． 跟蹤訓練2　在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 解　(1)因為－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內，與650°角終邊相同的

9、角是290°角，它是第四象限角． (3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 類型三　終邊相同的角 命題角度1　求與已知角終邊相同的角 例3　在與角10 030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負角； (2)最小的正角； (3)[360°，720°)的角． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　與10 030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)， (1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°

10、，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°. (2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°. (3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°. 反思與感悟　求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值． 跟蹤訓練3　寫出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，

11、并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1 910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°， 即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6. 當k＝4時，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 當k＝5時，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 當k＝6時，β＝6×360°－1 910°＝250°. 命題角度2　求終邊在給定直線上的角的集合

12、 例4　寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}． 因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 故終邊在直線y＝－x

13、上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 反思與感悟　求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并． 跟蹤訓練4　寫出終邊在直線y＝x上的角的集合． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　終邊在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}； 終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}． 因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}， 即

14、S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}． 故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}. 1．下列說法正確的是(　　) A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角 C．第四象限角一定是負角 D．小于90°的角都是銳角 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 答案　B 2．與－457°角終邊相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|

15、α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　C 解析?。?57°＝－2×360°＋263°，故選C. 3．2 018°是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　C 解析　2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角． 4．已知α＝30°，將其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數(shù)為________． 考點　任意角的概念 題點　任意角的概念 答案　1 110° 解析　3×360

16、°＋30°＝1 110°. 5.如圖所示． (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 解　(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 1．對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”

17、決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”． 2．關于終邊相同的角的認識 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和． 注意：(1)α為任意角； (2)k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)； (3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍； (4)k∈Z這一條件不能少． 一、選擇題 1．(2017·甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是(　　) A．終邊在

18、x軸非正半軸上的角是零角 B．第二象限角一定是鈍角 C．第四象限角一定是負角 D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，則α與β終邊相同 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 答案　D 解析　終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯誤；480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯誤；285°角為第四象限角，但不是負角，所以C錯誤，故選D. 2．(2017·濟寧高一檢測)下列各角中，與60°角終邊相同的角是(　　) A．－300° B．－60° C．600° D．1 380° 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　

19、A 解析　與60°角終邊相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z， 令k＝－1，則α＝－300°. 3．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　) A．315°－5×360° B．45°－4×360° C．－315°－4×360° D．－45°－10×180° 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　A 解析　可以估算－1 485°介于－5×360°與－4×360°之間．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，則α＝315°. 4．(2017·河北邯鄲一中月考)已知A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則A

20、，B，C關系正確的是(　　) A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D． A＝B＝C 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　B 解析　由題意得B(A∩C)，故A錯誤；BC，所以B∪C＝C，故B正確；A與C互不包含，故C錯誤；由以上分析可知D錯誤． 5．若α是第四象限角，則180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　C 解析　可以給α賦一特殊值－60°， 則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 6．時針走過了2小時40分，則分針轉過的角

21、度是(　　) A．80° B．－80° C．960° D．－960° 考點　任意角的概念 題點　任意角的概念 答案　D 解析　分針轉過的角是負角，且分針每轉一周是－360°，故共轉了－360°×＝－960°. 7．(2017·臨沂高一檢測)角α與角β的終邊關于y軸對稱，則α與β的關系為(　　) A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　B 解析　方法一　(特殊值法)令α＝30°，β＝150°， 則

22、α＋β＝180°. 方法二　(直接法)因為角α與角β的終邊關于y軸對稱，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z. 8．設集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，則(　　) A．A∩B＝? B．AB C．BA D．A＝B 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 答案　D 解析　對于集合A， α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90° 或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90° ＝45°＋(2k

23、＋1)·90°. ∵k∈Z， ∴2k表示所有的偶數(shù)，2k＋1表示所有的奇數(shù)， ∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}， 又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}， ∴A＝B.故選D. 二、填空題 9．已知角α＝－3 000°，則與α終邊相同的最小正角是________． 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　240° 解析　與α＝－3 000°終邊相同的角的集合為{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}， 令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>， 故當k＝9時，θ＝240°滿足條件． 10．若α＝k·360°＋45°，k∈Z

24、，則是第________象限角． 考點　象限角、軸線角 題點　象限角 答案　一或三 解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z. 當k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時， ＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴為第一象限角； 當k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時， ＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴為第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． 11.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是________________；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內的角的集合是________；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是_

25、___________________． 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°} {α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} 解析　終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}． 終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}， 取k＝0，－1得α＝315°，－45°. 故終邊落在OB的位置上， 且在－360°～360°內的角的集合是{315°，－45°}． 終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360

26、°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}． 12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，則A∩B＝________________. 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 答案　{－126°，－36°，54°，144°} 解析　當k＝－1時，α＝－126°； 當k＝0時，α＝－36°； 當k＝1時，α＝54°； 當k＝2時，α＝144°. ∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}． 13．已知角β的終邊在直線x－y＝0上．則角β的集合S為__________． 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用

27、 答案　{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z} 解析　如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為 S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·18

28、0°，n∈Z}． 14．(2017·山東臨沂一中月考)若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，則角α＝________. 考點　終邊相同的角 題點　終邊相同的角 答案　270° 解析　∵角5α與α具有相同的始邊與終邊， ∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z， ∴α＝k·90°，k∈Z， 又180°<α<360°，∴當k＝3時，α＝270°. 三、解答題 15．(2017·山西平遙一中月考)一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓(半徑為1的圓)上爬動，兩只螞蟻均從點A(1,0)同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒

29、爬過β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14 s時回到A點，并且在第2 s時均位于第二象限，求α，β的值． 考點　終邊相同的角 題點　任意角的綜合應用 解　根據(jù)題意，可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍， 故可設14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z， 則α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z. 由兩只螞蟻在第2 s時均位于第二象限，知2α，2β均為第二象限角． 團為0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°， 所以2α，2β均為鈍角，即90°<2α<2β<180°， 于是45°<α<90°，45°<β<90°. 所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°， 即