（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系.3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式． 知識點(diǎn)一　角度制與弧度制 思考1　在初中學(xué)過的角度制中，1度的角是如何規(guī)定的？ 答案　周角的等于1度． 思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何規(guī)定的，如何表示？ 答案　把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，用符號rad表示． 思考3　“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑

2、大小有關(guān)系嗎？ 答案　“1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角，是一個(gè)定值，與所在圓的半徑大小無關(guān)． 梳理　(1)角度制和弧度制 角度制 用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的 弧度制 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制 (2)角的弧度數(shù)的計(jì)算 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝. 知識點(diǎn)二　角度制與弧度制的換算 思考　角度制和弧度制都是度量角的單位制，它們之間如何進(jìn)行換算呢？ 答案　利用1°＝ rad和1 rad

3、＝°進(jìn)行弧度與角度的換算． 梳理　(1)角度與弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30° (2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 知識點(diǎn)三　扇形的弧長及面積公式 思考　扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示？ 答案

4、　設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α為其圓心角的弧度數(shù)，則： α為度數(shù) α為弧度數(shù) 扇形的弧長 l＝ l＝αR 扇形的面積 S＝ S＝lR＝αR2 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(　×　) 提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad. 2．用弧度來表示的角都是正角．(　×　) 提示　弧度也可表示負(fù)角，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)． 3．“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關(guān)．(　√　) 提示　“1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角，是一個(gè)定值，與所在圓的半徑大小無關(guān)． 類型一　角度與弧度的互化 例1　將下列角度與弧度進(jìn)行

5、互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　角度與弧度的互化 解　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 反思與感悟　將角度轉(zhuǎn)化為弧度時(shí)，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記π rad＝180°即可求解．把弧度轉(zhuǎn)化為角度時(shí)，直接用弧度數(shù)乘以°即可． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)把下列角度化成弧度： ①－150°＝________；②2 100°＝________； ③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度： ①＝_

6、_______；②－＝________； ③＝________；④－＝________. 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　角度與弧度的互化 答案　(1)①－?、讦小、邸、? (2)①30°?、冢?00°?、?1°?、埽?5° 類型二　用弧度制表示終邊相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4. 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴與終

7、邊相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角． 反思與感悟　用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)把－1 480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]內(nèi)找出與角終邊相同的角． 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－， 而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝. ∴－1 480°＝＋2×(－5)π. (2)∵＝×°＝

8、72°， ∴終邊與角相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72°；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432°. ∴在[0°，720°]內(nèi)與角終邊相同的角為72°，432°. 類型三　扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用 例3　(1)若扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為(　　) A．π B. C. D. (2)如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個(gè)圓心角所對的弧長為(　　) A．2 B. C．2sin 1 D. 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)扇形的中心角為120°＝，半徑

9、為， 所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π. (2)連接圓心與弦的中點(diǎn)，則以弦心距、弦長的一半、半徑長為長度的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，半弦長為2，其所對的圓心角也為2，故半徑長為.這個(gè)圓心角所對的弧長為2×＝. 反思與感悟　聯(lián)系半徑、弧長和圓心角的有兩個(gè)公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中兩個(gè)，就可以求出另一個(gè)．求解時(shí)應(yīng)注意先把度化為弧度，再計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)． 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 解　設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝4， ∴l(xiāng)＝4－2R，根據(jù)扇

10、形面積公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圓心角為2 rad. 1．下列說法正確的是(　　) A．1弧度就是1度的圓心角所對的弧 B．1弧度是長度為半徑的弧 C．1弧度是1度的弧與1度的角之和 D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　弧度制的定義 答案　D 解析　由弧度的定義可知D正確． 2．把化為角度是(　　) A．270° B．280° C．288° D．318° 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　角度與弧度的互化 答案　C 解析?。健痢悖?88°. 3．若θ＝－5，則角θ

11、的終邊在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 答案　D 解析　2π－5與－5的終邊相同， ∵2π－5∈， ∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角． 4．(2017·浙江省91聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，邊AB的長為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為________． 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的面積公式 答案　2－ 解析　設(shè)正方形的邊長為a，∠EAD＝α， 由已知可得a2－πa2＝αa2，∴α＝2－. 5．已知

12、扇形AOB的圓心角α為，半徑長R為6，求： (1)弧AB的長； (2)扇形所含弓形的面積． 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 解　(1)l＝α·R＝π×6＝4π， 所以弧AB的長為4π. (2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π. 如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，π＝120°， 所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°， 于是有S△OAB＝×AB×OD ＝×2×6cos 30°×3＝9. 所以弓形的面積為S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. 所以弓形的面積是12π－9. 1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合

13、與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)． 2．解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝π rad”這一關(guān)系式． 易知：度數(shù)× rad＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×°＝度數(shù)． 3．在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度． 一、選擇題 1．下列說法中，錯(cuò)誤的是(　　) A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角

14、度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān) 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　弧度制的定義 答案　D 解析　根據(jù)1度，1弧度的定義可知只有D是錯(cuò)誤的，故選D. 2．－240°化為弧度是(　　) A．－π B．－π C．－π D．－π 考點(diǎn)　弧度制 題點(diǎn)　角度與弧度的互化 答案　A 解析?。?40°＝－240×＝－π. 3．(2017·濰坊檢測)圓的半徑是6 cm，則圓心角為15°的扇形面積是(　　) A. cm2 B. cm2 C．π cm2 D．3π cm2 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的面積公式 答案　B 解析　因?yàn)?5°＝，所以l＝×6＝(cm)，

15、 所以S＝lr＝××6＝(cm2)． 4．設(shè)角α＝－2弧度，則α所在的象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 答案　C 解析　∵－π<－2<－， ∴2π－π<2π－2<2π－， 即π<2π－2<π， ∴2π－2為第三象限角，∴α為第三象限角． 5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A．－π B．－2π C．π D．－π 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 答案　A 解析　∵－π＝－2π＋ ＝2×(－1)π＋， ∴θ＝－π. 6．

16、若扇形圓心角為，則扇形內(nèi)切圓的面積與扇形面積之比為(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的面積公式 答案　B 解析　設(shè)扇形的半徑為R，扇形內(nèi)切圓半徑為r， 則R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S內(nèi)切圓＝πr2. S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2. ∴S內(nèi)切圓∶S扇形＝2∶3. 7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心

17、角為，半徑為4 m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是(　　) A．6 m2 B．9 m2 C．12 m2 D．15 m2 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　根據(jù)題設(shè)，弦＝2×4sin＝4(m)， 矢＝4－2＝2(m)， 故弧田面積＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22) ＝4＋2≈9(m2)． 二、填空題 8．－π是第________象限的角． 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 答案　三 解析　因?yàn)椋校剑?π－π，而－π是第三象限的角，所以－π是第三象限的角． 9．(201

18、7·寧波期末)弧度制是數(shù)學(xué)上一種度量角的單位制，數(shù)學(xué)家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位．已知一個(gè)扇形的弧長等于其半徑長，則該扇形圓心角的弧度數(shù)是________． 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長公式 答案　1 解析　設(shè)扇形的弧長和半徑長為l，由弧度制的定義可得，該扇形圓心角的弧度數(shù)是α＝＝1. 10．時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過了________． 考點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 題點(diǎn)　弧度制的應(yīng)用 答案?。?rad 解析　時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過－30°， 又－30°＝－ rad. 11．已知弧長為π cm的弧所對的圓心角為，則這條弧所在圓的直徑

19、是________ cm，這條弧所在的扇形面積是________ cm2. 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 答案　8　2π 12.π是第________象限角． 答案　三 解析?。?0π＋. ∵與終邊相同， 又∵是第三象限角， ∴是第三象限角． 三、解答題 13．已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積； (2)若扇形的周長是a，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？ 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 解　(1)設(shè)弧長為l，弓形

20、面積為S弓， ∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l(xiāng)＝αR＝ (cm)． S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2)． (2)∵l＋2R＝a，∴l(xiāng)＝a－2R， 從而S＝·l·R＝(a－2R)·R ＝－R2＋R＝－2＋. ∴當(dāng)半徑R＝時(shí)，l＝a－2·＝， 扇形面積的最大值是，這時(shí)α＝＝2(rad)． ∴當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為時(shí)，扇形面積最大，為. 四、探究與拓展 14．如圖，已知一個(gè)長為 dm，寬為1 dm的長方形木塊在桌面上作無滑動(dòng)的翻滾，翻滾到第四面時(shí)被一小木板擋住，使木塊底面與桌面成30°的角．求點(diǎn)A走過的路程的長及走過的弧度所對扇形的總面積． 考點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式 題點(diǎn)　扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用 解　AA1所在圓弧的半徑是2 dm，圓心角為；A1A2所在圓弧的半徑是1 dm，圓心角為；A2A3所在圓弧的半徑是 dm，圓心角為，所以走過的路程是3段圓弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圓弧所對的扇形的總面積是×2×π＋×＋××＝(dm2)．