四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第11課時 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測試 新人教A版選修2-1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第11課時 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測試 新人教A版選修2-1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.直線l經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點,與拋物線交于A、B兩點,O為原點,則·的值為(　　). A.12 B.20　　　　 C.-12　　　　 D.-20 【解析】焦點為(2,0),設(shè)直線l方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0, ∴y1y2=-16,x1x2=·=(y1y2)2=4, ∴·=x1x2+y1y2=-12. 【答案】C 2.拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過點F且

2、斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是(　　). A.2 B.4 C.4 D.8 【解析】由拋物線的定義知AF=AK, 又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形. 聯(lián)立方程組 消去y得3x2-10x+3=0, 解得x=3或x=.由題意得A(3,2), 所以△AKF的邊長為4,面積為×4×2=4. 【答案】C 3.已知AB是過拋物線2x2=y的焦點的弦,若|AB|=4,則AB的中點的縱坐標(biāo)是(　　). A.1 B.2 C. D. 【解析】如圖所示,設(shè)AB的中點為P(x0,y0),分別過A,P,B三點作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分

3、別為A',Q,B',由題意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|==2,又|PQ|=y0+,∴y0+=2,∴y0=. 【答案】D 4.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(　　). A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 【解析】由題意知,拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2,點Q(-2,0), 設(shè)直線l:y=k(x+2),由 得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0. 當(dāng)k=0時,x=0,即直線l與拋物線的交點為(0,0), 當(dāng)k≠0時,Δ≥0,-1≤k<0或0

4、是[-1,1]. 【答案】C 5.線段AB是拋物線y2=x的一條焦點弦,且|AB|=4,則線段AB的中點C到直線x+=0的距離為　　　　.? 【解析】設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2), 因為|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-=, 所以中點C(x0,y0)到直線x+=0的距離為x0+=+=+=. 【答案】 6.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過點M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A,與拋物線的一個交點為B,若=,則p=　　　　　.? 【解析】由題知準(zhǔn)線l為x=-(p>0), 過點M且斜率為的直線為y=(x-1), 則點A, 設(shè)B(x,y

5、),由=可知M為AB的中點, 又M(1,0), 所以即 代入y2=2px,得p2+4p-12=0, 即p=2或p=-6(舍去). 【答案】2 7.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點. (1)求證:OA⊥OB. (2)當(dāng)△OAB的面積為時,求k的值. 【解析】(1)如圖所示,由消去x得ky2+y-k=0. 設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2=-1,y1+y2=-. ∵A,B兩點均在拋物線y2=-x上, ∴=-x1,=-x2, ∴·=x1x2. 又∵kOA·kOB=·===-1,∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線

6、與x軸交于點N,顯然k≠0. 令y=0,得x=-1,即N(-1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2| =|ON|·|y1-y2| =·1· =. =, ∴=,解得k=±. 拓展提升(水平二) 8.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　). A.2 B.3 C. D. 【解析】設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,點A(x1,y1),B(x2,y2).又點F,直線AB與x軸的交點M(m,0),不妨設(shè)y1>0, 由?y2-ty-m=

7、0,所以y1y2=-m, 又·=2,所以x1x2+y1y2=2?(y1y2)2+y1y2-2=0, 因為點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2,故m=2, 所以S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3, 當(dāng)且僅當(dāng)y1=?y1=時取“=”. 所以△ABO與△AFO面積之和的最小值是3. 【答案】B 9.已知拋物線y2=8x,點Q是圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點,記拋物線上任意一點P到直線x=-2的距離為d,則|PQ|+d的最小值為(　　). A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 由題意知,拋物線y2=8

8、x的焦點為F(2,0),連接PF(如圖),則d=|PF|. 將圓C化為(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑為r=2,則|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|≥|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點共線時取得等號). 而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離,顯然當(dāng)F,Q,C三點共線時,|FQ|取得最小值, 且為|CF|-r=-2=3,故選C. 【答案】C 10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點的橫坐標(biāo)為2,則|AB|的最大值為　　　　.? 【解析】當(dāng)直線AB的斜率不存在時,|AB|=4; 當(dāng)直線AB的斜率k存在時,設(shè)點A(x1,y1),B(x

9、2,y2),中點坐標(biāo)為(2,t),則k===, ∴直線AB的方程為y-t=(x-2), 將y-t=(x-2)與y2=4x聯(lián)立,得y2-2ty+2t2-8=0, ∴y1+y2=2t,y1y2=2t2-8, ∴|AB|2=(y1-y2)2=-(t2-2)2+36≤36, ∴|AB|≤6,當(dāng)且僅當(dāng)t=±時,等號成立. 綜上所述,|AB|max=6. 【答案】6 11.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A,B兩點. (1)若p=2,求線段AF的中點N的軌跡方程; (2)若直線AB的斜率為2,當(dāng)焦點為F時,求△OAB的面積; (3)若M是拋

10、物線C準(zhǔn)線上的點,求證:直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列. 【解析】(1)焦點F(1,0),設(shè)點A(x0,y0),N(x,y), 則由題意即 故所求的軌跡方程為4y2=4(2x-1),即y2=2x-1. (2) y2=2x,F,直線AB:y=2=2x-1, 由得y2-y-1=0, |AB|=|y1-y2|=, 設(shè)d為原點O到直線AB的距離,d==, S△OAB=d|AB|=. (3)顯然直線MA,MB,MF的斜率都存在,分別設(shè)為k1,k2,k3. 點A,B,M的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),M. 設(shè)直線AB:y=k,代入拋物線方程,得y2-y-p2=0,所以y1y2=-p2. 又=2px1,=2px2, 所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2), 所以k1+k2=+=+=-. 而2k3=2×=-,故k1+k2=2k3,所以直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.