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1、（廣東專版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 數(shù)列滿分示范練 文
【典例】 (滿分12分)(2017·天津卷)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．
(2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*)．
[規(guī)范解答](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.2分
又因?yàn)閝＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.3分
由
2、b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2.5分
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，
數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.6分
(2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有a2nbn＝(6n－2)·2n，
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，9分
上述兩式相減，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n
3、－(6n－2)×2n＋1，
＝－4－(6n－2)×2n＋1
＝－(3n－4)2n＋2－16.11分
所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為(3n－4)2n＋2＋16.12分
高考狀元滿分心得
(1)牢記等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式：熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，解題時(shí)結(jié)合實(shí)際情況合理選擇．如第(1)問運(yùn)用了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上得出數(shù)列{a2nbn}，分析數(shù)列
4、特征，想到用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
[解題程序] 第一步：利用基本量法求{bn}的通項(xiàng)；
第二步：由b3＝a4－2a1，S11＝11b4構(gòu)建關(guān)于a1與d方程，求an；
第三步：由第(1)問結(jié)論，表示出{a2nbn}的通項(xiàng)；
第四步：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn；
第五步：反思檢驗(yàn)，規(guī)范解題步驟．
[跟蹤訓(xùn)練] (2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋2＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由條件可得an＋1＝an，
將n＝1代入得，a2＝4a1，又a1＝1，
所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．理由如下：
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，
所以an＝n·2n－1.
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