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1、（新課標(biāo)）天津市2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體 理
1.(2018北京,理5)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( )
A.+1 B.+3
C.+1 D.+3
3.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是( )
A.17π B.18π
C.20π D.28π
4.已知平面α截球O的球面得圓M,過圓心Μ的平面β與α的夾角為,且
2、平面β截球O的球面得圓N.已知球Ο的半徑為5,圓M的面積為9π,則圓N的半徑為( )
A.3 B. C.4 D.
5.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則 ( )
A.S1=S2=S3
B.S2=S1,且S2≠S3
C.S3=S1,且S3≠S2
D.S3=S2,且S3≠S1
6.(2018全國(guó)Ⅰ,理7)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如下圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖
3、上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為( )
A.2 B.2
C.3 D.2
7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為 .?
8.由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為 .?
9.(2018全國(guó)Ⅱ,理16)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為 .?
10.下列三個(gè)圖中,左面是一個(gè)正方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖.右面兩個(gè)是其正視圖和側(cè)視圖.
4、
(1)請(qǐng)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敘述作圖過程);
(2)求該多面體的體積(尺寸如圖).
11.
如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.
(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.
二、思維提升訓(xùn)練
12.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( )
5、
A.9(+1)π+8 B.9(+2)π+4-8
C.9(+2)π+4 D.9(+1)π+8-8
13.
如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是 .?
14.
如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得
6、三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .?
15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積為 .?
16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.
(1)證明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問:當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少?
專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體
一、能力突破訓(xùn)練
1.C 解析 由該四棱錐的三視圖,得其直觀圖如圖.
由正視圖和側(cè)視
7、圖都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以側(cè)面PAD和PDC都是直角三角形.
由俯視圖為直角梯形,易知DC⊥平面PAD.
又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以側(cè)面PAB也是直角三角形.
易知PC=2,BC=,PB=3,從而△PBC不是直角三角形.故選C.
2.A 解析 V=3+1,故選A.
3.A 解析 由三視圖可知該幾何體是球截去后所得幾何體,
則R3=,解得R=2,
所以它的表面積為4πR2+πR2=14π+3π=17π.
4.B 解析 如圖,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.
∵∠NMO=,∴ON=OM·sin=2
又∵OB=5,∴NB=
8、,故選B.
5.D 解析 三棱錐的各頂點(diǎn)在xOy坐標(biāo)平面上的正投影分別為A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).顯然點(diǎn)D1為A1C1的中點(diǎn),如圖(1),正投影為Rt△A1B1C1,其面積S1=2×2=2.
三棱錐的各頂點(diǎn)在yOz坐標(biāo)平面上的正投影分別為A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,).顯然B2,C2重合,如圖(2),正投影為△A2B2D2,其面積S2=2
三棱錐的各頂點(diǎn)在zOx坐標(biāo)平面上的正投影分別為A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,),由圖(3)可知,正投影為△A
9、3D3C3,其面積S3=2
綜上,S2=S3,S3≠S1.故選D.
圖(1)
圖(2)
圖(3)
6.B 解析 如圖所示,易知N為 的中點(diǎn),將圓柱的側(cè)面沿母線MC剪開,展平為矩形MCC'M',易知CN=CC'=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN.
在Rt△MCN中,MN==2
7 解析 構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,使得它的三條面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,6,設(shè)長(zhǎng)方體的三條邊長(zhǎng)分別為x,y,z,則x2+y2+z2=,而長(zhǎng)方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4πR2=
8.2+ 解析 由三視圖還原幾何體如圖所示,故該幾何體的體積V=2×1×1+212×1=
10、2+
9.40 解析 設(shè)O為底面圓圓心,
∵cos∠ASB=,∴sin∠ASB=
∴S△ASB=|AS|·|BS|=5
∴SA2=80.
∴SA=4
∵SA與圓錐底面所成的角為45°,∠SOA=90°,
∴SO=OA=SA=2
∴S圓錐側(cè)=πrl=42π=40
10.解 (1)作出俯視圖如圖所示.
(2)依題意,該多面體是由一個(gè)正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個(gè)三棱錐(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱錐體積A1E=1=,
正方體體積=23=8,
故所求多面體的體積V=8-
11.解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.
(2)作
11、EM⊥AB,垂足為M,
則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因?yàn)镋HGF為正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,
所以其體積的比值為
二、思維提升訓(xùn)練
12.D 解析 由三視圖可知,該幾何體是由一個(gè)四棱錐和一個(gè)圓錐拼接而成,故S=(2π×3)×3+π×32-(2)2+4=9(+1)π+8-8.故選D.
13 解析 設(shè)球O的半徑為r,則圓柱O1O2的高為2r,故,答案為
14.4 解析 如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知OD⊥BC,OG=BC.
設(shè)OG=x,則
12、BC=2x,DG=5-x,
三棱錐的高h(yuǎn)=
因?yàn)镾△ABC=2x×3x=3x2,
所以三棱錐的體積V=S△ABC·h=x2
令f(x)=25x4-10x5,x,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,
則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以f(x)max=f(2)=80.
所以V=4,所以三棱錐體積的最大值為4
15.64π 解析 如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,因?yàn)锳B=1,AC=2,∠BAC=60°,
所以BC=,
所以∠ABC=90°.
所以△ABC截球O所得的圓O'的半徑r=1.
設(shè)OO'=x,球O的半
13、徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,
所以x2+1=+1,
解得x=,R2=+12,R=4.
所以球O的表面積為4πR2=64π.
16.
(1)證明 設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖,
則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.
又AD⊥DC,DC∩BC=C,
所以AD⊥平面DBC.
(2)解 當(dāng)球的體積最大時(shí),易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O,
則VD-ABC=R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6.
過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC.
易得DG=,HG=,DH=,S△DAB=4
在△DAB和△BCD中,
因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB,
所以△DAB≌△BCD,
故S△DBC=,VD-ABC=6
則,
于是(4+)R=,
所以R=
（新課標(biāo)）天津市2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體 理
