（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)（二）學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)（二）學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.2.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題． 知識點(diǎn)一　三角函數(shù)的定義域 思考　正切函數(shù)y＝tan x為什么規(guī)定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z? 答案　當(dāng)x＝kπ＋，k∈Z時(shí)，角x的終邊在y軸上，此時(shí)任取終邊上一點(diǎn)P(0，yP)，因?yàn)闊o意義，因而x的正切值不存在．所以對正切函數(shù)y＝tan x，必須要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z. 梳理　正弦函數(shù)

2、y＝sin x的定義域是R；余弦函數(shù)y＝cos x的定義域是R；正切函數(shù)y＝tan x的定義域是. 知識點(diǎn)二　三角函數(shù)線 思考1　在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T，如圖所示，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sin α，cos α，tan α與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？ 答案　 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考2　三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？ 答案　 方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之，為負(fù)值． 思考3　三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？ 答案

3、　 長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)． 梳理　 圖示 正弦線 角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線 余弦線 有向線段OM即為余弦線 正切線 過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，有向線段AT即為正切線 1．正弦線MP也可寫成PM.(　×　) 提示　三角函數(shù)線是有向線段，端點(diǎn)字母不可顛倒． 2．三角函數(shù)線都只能取非負(fù)值．(　×　) 提示　三角函數(shù)線表示的值也可取負(fù)值． 3．當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線

4、不存在．(　√　) 4．當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線、正切線都變成點(diǎn)．(　√　) 類型一　三角函數(shù)線 例1　作出－的正弦線、余弦線和正切線． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　三角函數(shù)線的作法 解　如圖所示， sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 反思與感悟　(1)作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線． (2)作正切線時(shí)，應(yīng)從點(diǎn)A(1,0)引單位圓的切線交角的終邊或終邊的反向延長線于一點(diǎn)T，即可得到正切線AT. 跟蹤訓(xùn)練1　在單位圓中畫出滿足sin α＝的角α的終邊，并求角α

5、的取值集合． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　三角函數(shù)線的作法 解　已知角α的正弦值，可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以在y軸上取點(diǎn)，過這點(diǎn)作x軸的平行線，交單位圓于P1，P2兩點(diǎn)，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為. 類型二　利用三角函數(shù)線比較大小 例2　利用三角函數(shù)線比較sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線比較大小 解　如圖，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′. 顯然|MP|>|M′P′|，符號皆正， ∴sin>sin； |OM|<|O

6、M′|，符號皆負(fù)， ∴cos>cos； |AT|>|AT′|，符號皆負(fù)， ∴tan

7、46°的正弦線M1P1，M2P2. ∵|M1P1|>|M2P2|，且符號皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 類型三　利用三角函數(shù)線解不等式(組) 命題角度1　利用三角函數(shù)線解不等式(組) 例3　在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合． (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　(1)作直線y＝交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖(1)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角α的終邊的范圍． 故滿足要求的角α的集合為. (

8、2)作直線x＝－交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖(2)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角α的終邊的范圍． 故滿足條件的角α的集合為. 反思與感悟　用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)先找到“正值”區(qū)間，即0～2π內(nèi)滿足條件的角θ的范圍，然后再加上周期； (2)注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間． 跟蹤訓(xùn)練3　已知－≤cos θ<，利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的取值范圍． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　圖中陰影部分就是滿足條件的角θ的范圍， 即. 命題角度2　利用三角函數(shù)線求三角

9、函數(shù)的定義域 例4　求函數(shù)y＝lg＋的定義域． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　由題意知，自變量x應(yīng)滿足不等式組 即 則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示， ∴. 反思與感悟　(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式或不等式組求得，對于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制． (2)要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí)，可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集． 跟蹤訓(xùn)練4　求函數(shù)f(x)＝的定義域． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)

10、線解不等式 解　要使函數(shù)f(x)有意義，必須使2sin x－1≥0， 則sin x≥. 如圖，畫出單位圓，作x軸的平行直線y＝， 交單位圓于點(diǎn)P1，P2，連接OP1，OP2， 分別過點(diǎn)P1，P2作x軸的垂線，畫出如圖所示的兩條正弦線， 易知這兩條正弦線的長度都等于. 在[0,2π)內(nèi)，sin＝sin＝. 因?yàn)閟in x≥，所以滿足條件的角x的終邊在圖中陰影部分內(nèi)(包括邊界)， 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 1.如圖在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是(　　) A．正弦線為PM，正切線為A′T′ B．正弦線為MP，正切線為A′T′ C．正弦線為MP，

11、正切線為AT D．正弦線為PM，正切線為AT 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　三角函數(shù)線的作法 答案　C 2．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　) A．cos α

12、線AT，則OM

13、三角函數(shù)線 題點(diǎn)　三角函數(shù)線的作法 答案　C 解析　由角α的正弦線和余弦線是方向相反、長度相等的有向線段，則α的終邊在第二、四象限的角平分線上． 5．(2017·九江檢測)解不等式3tan α>－. 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　要使3tan α>－，即tan α>－. 由正切線知－＋kπ<α<＋kπ，k∈Z. 所以不等式的解集為，k∈Z. 1．三角函數(shù)線的意義 三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．具體地說，正弦線、正切線的方向同y軸一

14、致，向上為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同x軸一致，向右為正，向左為負(fù)．三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題提供了方便． 2．三角函數(shù)線的畫法 定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時(shí)也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法，即先找到P，M，T點(diǎn)，再畫出MP，OM，AT. 注意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書寫順序不能顛倒． 3．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念．與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以從數(shù)與形兩方面認(rèn)識三角函數(shù)的定義，并使得對三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、誘導(dǎo)公式一的理解更容易了．

15、 一、選擇題 1．函數(shù)y＝tan的定義域?yàn)?　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域 答案　C 解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z. 2．設(shè)a＝sin，b＝cos，c＝tan，則(　　) A．a(chǎn)

16、余弦線，那么下列結(jié)論正確的是(　　) A．MPOM>0 D．OM>MP>0 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線比較大小 答案　D 解析　0<<，作三角函數(shù)線可知OM>MP>0. 4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，則角α的取值范圍是(　　) A. B. C. D.∪ 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 答案　D 解析　角α的取值范圍為圖中陰影部分， 即∪. 5．有三個(gè)命題：①和的正弦線長度相等；②和的正切線相同；③和的余弦線長度相等． 其中正確說法的個(gè)數(shù)為

17、(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　三角函數(shù)線的作法 答案　C 解析　和的正弦線關(guān)于y軸對稱，長度相等；和兩角的正切線相同；和的余弦線長度相等．故①②③都正確，故選C. 6．點(diǎn)P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線比較大小 答案　D 解析　因?yàn)椋?＜π，作出單位圓如圖所示． 設(shè)MP，OM分別為a，b. sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0， 所以sin 3－cos 3＞0

18、. 因?yàn)閨MP|＜|OM|，即|a|＜|b|， 所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0. 故點(diǎn)P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限． 7．已知sin α>sin β，那么下列命題成立的是(　　) A．若α，β是第一象限角，則cos α>cos β B．若α，β是第二象限角，則tan α>tan β C．若α，β是第三象限角，則cos α>cos β D．若α，β是第四象限角，則tan α>tan β 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線比較大小 答案　D 解析　如圖(1)，α，β的終邊分別為OP，OQ，sin α＝MP>NQ＝sin

19、β，此時(shí)OMNQ，即sin α>sin β，所以ACNQ，即sin α>sin β，所以O(shè)Mtan β，故選D. (1) 二、填空題 8．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 答案　(k∈Z) 9．sin 1，cos 1，tan 1的大小關(guān)系

20、是________． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線比較大小 答案　cos 1sin ，利用三角函數(shù)線得角θ的取值范圍是________________． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 答案　(k∈Z) 解析　因?yàn)閏os θ>sin ， 所以cos θ>sin＝sin ＝， 易知角θ的取值范圍是(k∈Z)． 11．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開

21、_______． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 答案　(k∈Z) 解析　如圖所示． 三、解答題 12．已知－≤sin θ<，利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的范圍． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　由三角函數(shù)線可知 sin ＝sin ＝， sin ＝sin＝－， 且－≤sin θ<， 如圖，畫出單位圓，陰影部分即為所求． 故θ的取值集合是∪(k∈Z)． 四、探究與拓展 13．函數(shù)y＝logsin x(2cos x＋1)的定義域?yàn)開_______． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解

22、不等式 答案　 解析　由題意可知，要使函數(shù)有意義，則需 如圖所示，陰影部分(不含邊界與y軸)即為所求． 所以所求函數(shù)的定義域?yàn)? 14．若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的兩實(shí)根，且|α－β|≤2，求θ的范圍． 考點(diǎn)　單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn)　利用三角函數(shù)線解不等式 解　∵方程有兩實(shí)根， ∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0， ∴cos θ≥－.① ∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ， ∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，即cos θ≤.② 由①②得－≤cos θ≤， 利用單位圓中的三角函數(shù)線可知＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z. ∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z. 即θ的范圍是(k∈Z)．