2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 橢圓方程 xx·全國(guó)卷Ⅱ·T20·12分 求橢圓方程證明定值問(wèn)題 數(shù)學(xué)運(yùn)算　邏輯推理 xx·全國(guó)卷Ⅱ·T20·12分 求橢圓方程證明定值問(wèn)題 數(shù)學(xué)運(yùn)算　邏輯推理 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T12·5分 求橢圓方程 數(shù)學(xué)運(yùn)算 橢圓的性質(zhì) xx·全國(guó)卷Ⅰ·T5·5分 已知橢圓的離心率求橢圓與拋物線綜合問(wèn)題 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國(guó)卷Ⅲ·T12·5分 求橢圓的離心率 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國(guó)卷Ⅲ·T11·5分 求橢圓離心率 數(shù)學(xué)運(yùn)算 命題分析

2、 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn)，其中離心率考查比較頻繁．直線與橢圓的位置關(guān)系多以解答題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想. 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 __－a__≤x≤__a__，__－b__≤y≤__b__ __－b__≤x≤__b__，__－a__≤y≤__a__ 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：__坐標(biāo)軸__，對(duì)稱中心：__(0,0)__ 頂點(diǎn) A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__， B1__(0，－b)__，B2__(0，b)__ A1__(0，－a)__，A2__(0，

3、a)__， B1__(－b,0)__，B2__(b,0)__ 軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為_(kāi)_2a__，短軸B1B2的長(zhǎng)為_(kāi)_2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 離心率 e＝，e∈__(0,1)__ a，b，c 的關(guān)系 c2＝__a2－b2__ 提醒： 1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn) (1)橢圓的定義中易忽視2a＞|F1F2|這一條件，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2，當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，不存在軌跡． (2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為＋＝1(a＞b＞0)． 2．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法 (1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2

4、，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程． (2)待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a、b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　) (2)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(0，－2)，B(0,2)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．(　　)

5、(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材習(xí)題改編)設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　 B．5　　　 C．8　　　 D．10 解析：選D　依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10． 3．(教材習(xí)題改編)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(6,0)，離心率e＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：選C　c＝6，e＝＝，所以a＝c＝×6＝10，b2＝a2－c

6、2＝64，又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1． 4．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________． 解析：a2＝5，b2＝4，c2＝a2－b2＝1，c＝1.|F1F2|＝2c＝2． 設(shè)P(x，y)，S△PF1F2＝|F1F2|·|y|， ×2|y|＝1，|y|＝1，y＝±1． ＋＝1，x＝±， ∵x＞0，x＝， ∴P． 答案： 橢圓的定義及應(yīng)用 [明技法] (1)橢圓定義的應(yīng)用范圍 ①確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓． ②解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題． (2)焦點(diǎn)

7、三角形的應(yīng)用 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等． [提能力] 【典例】 (xx·徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________． 解析：設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2， 所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3． 答案：3 [刷好題] 1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓

8、＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△PF1F2的面積為(　　) A．4　　　 B．6　　　 C．2　　　 D．4 解析：選A　因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝6， 又因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 又易知|F1F2|＝2， 顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 故△PF1F2為直角三角形， 所以△PF1F2的面積為×2×4＝4.故選A． 2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心

9、M的軌跡方程為_(kāi)_________． 解析：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r， 則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， 又|C1C2|＝8＜16，所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4， 所以b2＝48，又焦點(diǎn)C1、C2在x軸上， 故所求的軌跡方程為＋＝1． 答案：＋＝1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 [明技法] 用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟 → → → → [提能力] 【典例】 (1)(xx·湖南聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為(　　) A

10、．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1 (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________________________． 解析：(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1， 又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓方程為＋＝1． (2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示．因?yàn)锳F2⊥x軸，所以|AF2|＝b2． 因?yàn)閨AF1|＝3|BF1

11、|，所以B． 將B點(diǎn)代入橢圓方程， 得2＋＝1， 所以c2＋＝1． 又因?yàn)閎2＋c2＝1，所以 故所求的方程為x2＋＝1． 答案：(1)A　(2)x2＋＝1 [刷好題] 求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)； (2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為； (3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)兩點(diǎn)； (4)與橢圓＋＝1有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－)． 解：(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)． ∴＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b， ∴b＝1，∴方程為＋y

12、2＝1． 若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，∴＝1，∴b＝3． 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程為＋＝1． 綜上所述，橢圓方程為＋y2＝1或＋＝1． (2)由已知，有解得 從而b2＝a2－c2＝9． ∴所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1． (3)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)在橢圓上， ∴解得m＝，n＝． 故＋＝1為所求橢圓的方程． (4)方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，則1－2＝． 從而2＝，＝. 又＋＝1，∴m2＝8，n2＝

13、6． ∴方程為＋＝1． 若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為＋＝1(m>n>0)， 則＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝． 故所求方程為＋＝1． 方法二　若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為 ＋＝t(t>0)，將點(diǎn)(2，－)代入， 得t＝＋＝2． 故所求方程為＋＝1． 若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為＋＝λ(λ>0)代入點(diǎn)(2，－)，得λ＝，∴＋＝1． 橢圓的幾何性質(zhì) [析考情] 橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)容很豐富，因此在高考中對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查也非常廣泛，但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點(diǎn). 應(yīng)用平面幾何知識(shí)往往是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵． [提能力] 命題點(diǎn)1：由橢圓的方程研究其性質(zhì) 【典例1】

14、 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為(　　) A．(－3,0)　　　　　　 B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 解析：選D　因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1， 所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，所以c＝3，又b＝4， 所以a＝＝5． 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)． 命題點(diǎn)2：由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍 【典例2】 已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．2 B．2或 C．2或6 D．2或8 解析：選D　顯然m＞0且m≠4，

15、當(dāng)0＜m＜4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上， 則＝，解得m＝2； 當(dāng)m＞4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在y軸上， 則＝，解得m＝8． 命題點(diǎn)3：求離心率的值或范圍 【典例3】 (xx·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． 解析：選A　由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a． 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝.故選A． [悟技法] 應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個(gè)技巧與1

16、種方法 2個(gè)技巧 (1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫(huà)不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形． (2)橢圓的范圍或最值問(wèn)題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系． 1種方法 求橢圓離心率的方法： (1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解． [刷好題] 1．(xx·全國(guó)卷Ⅰ)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為(　　

17、) A． B． C． D． 解析：選B　如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b． 在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，故橢圓離心率e＝＝，故選B． 2．(xx·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的取值范圍是(　　) A．[1,4] B．[1,3] C．[－2,1] D．[－1,1] 解析：選C　橢圓＋y2＝1兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3.因?yàn)閥2＝1－，代入可得·＝x2－2，而－2≤x≤2，所以·的取值范圍是[－2,1]，故選C． 3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2＋2y2＝2的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則|＋| 的最小值是________． 解析：將方程變形為＋y2＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 設(shè)P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0) ∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2＝2． ∵點(diǎn)P在橢圓上，∴0≤y≤1． ∴當(dāng)y＝1時(shí)，|＋|的最小值為2． 答案：2