(廣東專版)2022高考數學二輪復習 第二部分 專題四 立體幾何 專題強化練十 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 理

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1、(廣東專版)2022高考數學二輪復習 第二部分 專題四 立體幾何 專題強化練十 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 理 一、選擇題 1.如圖,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,P為BD1的中點,則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(  ) A.①②    B.①④    C.②③    D.②④ 解析:圖①是△PAC在底面上的投影,④是△PAC在前后側面上的投影.因此正投影可能是①④,選項B正確. 答案:B 2.(2018·煙臺二模)某幾何體的三視圖如2題圖所示,其中俯視圖右側曲線為半圓弧,則幾何體的表面積為(  ) A.3π+4-2 B.3π+2-2

2、C.+2-2 D.+2+2 解析:由三視圖,該幾何體是一個半圓柱挖去一直三棱柱形成.依題設知,幾何體的底面面積S底=π×12-()2=π-2. 所以該幾何體表面積為S=2(2×)+(2π×1×2)+S底=4+2π+π-2=3π+4-2. 答案:A 3.(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如3題圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在正方體中作出該幾何體的直觀圖,記為四棱錐P-ABCD,如圖,由圖可知在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數為3. 答案:C 4.中國古代數學名著《九章算術》中,將底面是直角三角形

3、的直棱柱稱為“塹堵”.已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示,則該“塹堵”的側視圖的面積為(  ) A.18 B.18 C.18 D. 解析:在俯視圖Rt△ABC中, 作AH⊥BC交于H. 由三視圖的意義,則BH=6,HC=3, 根據射影定理,AH2=BH·HC,所以AH=3.易知該“塹堵”的側(左)視圖是矩形,長為6,寬為AH=3,故側視圖的面積S=6×3=18. 答案:C 5.(2018·北京西城質檢)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC的體積的最大值為36,則球O的表面積為(  ) A.36π B.64π

4、C.144π D.256π 解析:因為△AOB的面積為定值,所以當OC垂直于平面AOB時,三棱錐O-ABC的體積取得最大值.由×R2×R=36,得R=6.從而球O的表面積S=4πR2=144π. 答案:C 6.(2018·全國卷Ⅲ)設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D-ABC體積的最大值為(  ) A.12 B.18 C.24 D.54 解析:設等邊△ABC的邊長為x, 則x2sin 60°=9,得x=6. 設△ABC外接圓的半徑為r,則2r=,得r=2. 所以球心到△ABC所在平面的距離d==2, 則點D到平

5、面ABC的最大距離d1=d+4=6. 故V三棱錐D-ABC的最大值為·S△ABC×6=×9×6=18. 答案:B 二、填空題 7.(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是________. 解析:由三視圖知,該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱,所以其體積V=×(1+2)×2×2=6. 答案:6 8.(2018·濟南市模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,其中主視圖的輪廓是底邊為2,高為1的等腰三角形,俯視圖的輪廓為菱形,左視圖是個半圓.則該幾何體的體積為________. 解析:由三視圖知,幾何體是由兩個大小相同的

6、半圓錐的組合體.其中r=1,高h=. 故幾何體的體積V=π×12×=π. 答案:π 9.已知長方體ABCD-A1B1C1D1內接于球O,底面ABCD是邊長為2的正方形,E為AA1的中點,OA⊥平面BDE,則球O的表面積為________. 解析:取BD的中點為O1,連接OO1,OE,O1E,O1A. 則四邊形OO1AE為矩形, 因為OA⊥平面BDE,所以OA⊥EO1, 即四邊形OO1AE為正方形,則球O的半徑R=OA=2, 所以球O的表面積S=4π×22=16π. 答案:16π 10.(2018·鄭州調研)某幾何體的三視圖如圖所示,三個視圖中的曲線都是圓弧,則該幾何體的體積

7、為________. 解析:由三視圖可知,該幾何體是由半個圓柱與個球組成的組合體,其體積為×π×12×3+××13=. 答案: 11.(2018·煙臺質檢)已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為的正三角形,PA,PB,PC兩兩垂直,則球O的表面積是________. 解析:設球O的半徑為R, 且2R=. 因為△ABC是邊長為2的正三角形,PA、PB、PC兩兩垂直. 所以PA=PB=PC==1,則2R=, 所以球的表面積S球=4πR2=3π. 答案:3π 三、解答題 12.(2018·佛山質檢)如圖,四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面A

8、BCD,PA=PB,AD∥BC,AB=AC,AD=BC=1,PD=3,∠BAD=120°,M為PC的中點. (1)證明:DM∥平面PAB; (2)求四面體M-ABD的體積. (1)證明:取PB中點N,連接MN、AN. 因為M為PC的中點,所以MN∥BC且MN=BC, 又AD∥BC,且AD=BC,得MN綊AD, 所以ADMN為平行四邊形,所以DM∥AN. 又AN?平面PAB,DM?平面PAB, 所以DM∥平面PAB. (2)解:取AB中點O,連接PO,PO⊥AB. 又因為平面PAB⊥平面ABCD,則PO⊥平面ABCD, 取BC中點H,連結AH, 因為AB=AC,所以AH⊥BC,又因為AD∥BC,∠BAD=120°,所以∠ABC=60°, Rt△ABH中,BH=BC=1,AB=2,所以AO=1,又AD=1, △AOD中,由余弦定理知,OD=, Rt△POD中,PO==, 所以VM-ABD=·S△ABD·PO=.

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