13、時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線方程為
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，
即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0h(0)＝－l
14、n 2－1，
所以a>－ln 2－1.
又當(dāng)x1∈(－1，0)且趨近于－1時(shí)，h(x1)無(wú)限增大，
所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
10．B3，B12[xx·四川卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若曲線y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y(tǒng)0，則a的取值范圍是( )
A．[1，e] B．[e－1－1，1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
10．A [解析] 因?yàn)閥0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1
15、]上(有意義時(shí))是增函數(shù)，對(duì)于y0∈[－1，1]，如果f(y0)＝c＞y0，則f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不可能有f(f(y0))＝y(tǒng)0.
同理，當(dāng)f(y0)＝d＜y0時(shí)，則f(f(y0))＝f(d)＜f(y0)＝d＜y0，也不可能有f(f(y0))＝y(tǒng)0，因此必有f(y0)＝y(tǒng)0，即方程f(x)＝x在[－1，1]上有解，即＝x在[－1，1]上有解．顯然，當(dāng)x＜0時(shí)，方程無(wú)解，即需要＝x在[0，1]上有解．當(dāng)x≥0時(shí)，兩邊平方得ex＋x－a＝x2，故a＝ex－x2＋x.記g(x)＝ex－x2＋x，則g′(x)＝ex－2x＋1.
當(dāng)x∈時(shí)，ex＞0，－2x＋1≥0，故g
16、′(x)＞0，
當(dāng)x∈時(shí)，ex＞＞1，0>－2x＋1≥－1，
故g′(x)＞0.
綜上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上為增函數(shù)，值域?yàn)閇1，e]，從而a的取值范圍是[1，e]．
7．B1，B3，B12[xx·四川卷] 函數(shù)y＝的圖像大致是( )
圖1－5
7．C [解析] 函數(shù)的定義域是{x∈R|x≠0}，排除選項(xiàng)A；當(dāng)x<0時(shí)，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除選項(xiàng)B；
當(dāng)x→＋∞時(shí)，y>0且y→0，故為選項(xiàng)C中的圖像．
10．B3，B5，B8，B12[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤
17、的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減
D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0
10．C [解析] x→－∞ 時(shí)，f(x)<0 ，x→＋∞ 時(shí)，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0∈R ，f(x0)＝0，A正確；通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c ，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調(diào)遞減．C錯(cuò)誤．D正確．故答案為C.
B4 函數(shù)的奇
18、偶性與周期性
2．B4[xx·廣東卷] 定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2 sin x中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．C [解析] 函數(shù)y＝x3，y＝2sin x是奇函數(shù)．
11．B4[xx·江蘇卷] 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．
11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 設(shè)x<0，則－x>0.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．
又f(0)＝0
19、，于是不等式f(x)>x等價(jià)于
或
解得x>5或－50時(shí)，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．A [解析] ∵f為奇函數(shù)，∴f＝－f(1)＝－＝－2.
14．B4，E3[xx·四川卷] 已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
14．(－7，3) [解析] 當(dāng)x＋2≥0時(shí)，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f
20、(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3為所求．又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(x＋2)的圖像關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，于是－7＜x＜－2也滿足不等式．
(注：本題還可以借助函數(shù)的圖像及平移變換求解)
B5 二次函數(shù)
4．A2、B5[xx·安徽卷] “a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．C [解析] f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，
21、若a＝0，則f(x)＝|x|，此時(shí)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；若a<0，則二次函數(shù)y＝ax2－x的對(duì)稱軸x＝<0，且x＝0時(shí)y＝0，此時(shí)y＝ax2－x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故a≤0時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，條件是充分的；反之若a>0，則二次函數(shù)y＝ax2－x的對(duì)稱軸x＝>0，且在區(qū)間0，上y<0，此時(shí)f(x)＝|ax2－x|在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)不可能在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，條件是必要的．
5．B5，B9[xx·湖南卷] 函數(shù)f(x)＝2ln x的圖
22、像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．B [解析] 法一：作出函數(shù)f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的圖像如圖：
可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選B.
法二：也可以采用數(shù)值法：
x
1
2
4
f(x)＝2ln x
0
2ln 2＝ln 4>1
ln 42<5
g(x)＝x2－4x＋5
2
1
5
可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選B.
10．B3，B5，B8，B12[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
23、
B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減
D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0
10．C [解析] x→－∞ 時(shí)，f(x)<0 ，x→＋∞ 時(shí)，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0∈R ，f(x0)＝0，A正確；通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c ，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調(diào)遞減．C錯(cuò)誤．D正確．故答案為C.
B6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
24、
6．E3、B6、B7[xx·安徽卷] 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x)x<－1或x>，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
6．D [解析] 根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是－1a>0，c>b>0.
(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a＝b}，則(a，b，c
25、)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)_______；
(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，則x∈(1，2)，使f(x)＝0.
16．(1){x|0a>0，c>b>0，故a＋b＝2a
26、數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知0a>0，c>b>0，則0<<1，0<<1，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c為三角形三邊，則定有a＋b>c，故對(duì)x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正確；取x＝2，則＋<＋，取x＝3，則＋<＋，由此遞推，必然存在x＝n時(shí)，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C為鈍角)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正確．故填①②③.
3
27、．B6，B7[xx·浙江卷] 已知x，y為正實(shí)數(shù)，則( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
3．D [解析] ∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故選擇D.
B7 對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)
6．E3、B6、B7[xx·安徽卷] 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x)x<－1或x>，則f(10x)>0的解集為( )
28、A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
6．D [解析] 根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是－10，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命題有_____
29、___．(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))
16．①③④ [解析] ①中，當(dāng)ab≥1時(shí)，∵b>0，∴a≥1，ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；當(dāng)00，∴01時(shí)，左邊＝ln＋(ab)＝0，右邊＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立；
③中，當(dāng)≤1，即a≤b時(shí)，左邊＝0，右邊＝ln＋a－ln＋b≤0，左邊≥右邊成立；當(dāng)>1時(shí)，左邊＝ln＝ln a－ln b>0，若a>b>1時(shí)，右邊＝ln a－ln b，左邊≥右邊成立；若0
30、立；若a>1>b>0，左邊＝ln＝ln a－ln b>ln a，右邊＝ln a，左邊≥右邊成立，∴③正確；
④中，若00，左邊≤右邊；若a＋b≥1，ln＋－ln 2＝ln－ln 2＝ln，
又∵≤a或≤b，a，b至少有1個(gè)大于1，∴l(xiāng)n≤ln a或ln≤ln b，即有l(wèi)n＋－ln 2＝ln－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正確．
8．B7，E1[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c
31、
8．D [解析] a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，
b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，
所以a>b>c，選D.
3．B6，B7[xx·浙江卷] 已知x，y為正實(shí)數(shù)，則( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
3．D [解析] ∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2
32、lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故選擇D.
B8 冪函數(shù)與函數(shù)的圖像
5．B8[xx·北京卷] 函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
5．D [解析] 依題意，f(x)向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到f(x－1)的圖像，又y＝ex的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像的解析式為y＝e－x，所以f(x－1)＝e－x，所以f(x)＝e－x－1.
10．B1，B8[xx·江西卷] 如圖1－3所示，半徑為1的半圓O與等邊三角形AB
33、C夾在兩平行線l1，l2之間，l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點(diǎn)．設(shè)弧FG的長(zhǎng)為x(0
34、結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減
D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0
10．C [解析] x→－∞ 時(shí)，f(x)<0 ，x→＋∞ 時(shí)，f(x)>0，f(x) 連續(xù)，x0∈R ，f(x0)＝0，A正確；通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c ，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B正確； 若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1 ，則f(x)在區(qū)間(x1 ，x0)單調(diào)遞減．C錯(cuò)誤．D正確．故答案為C.
B9
35、 函數(shù)與方程
11．B9，B11[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
11．D [解析] 方法一：若x≤0，|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x，x＝0時(shí)，不等式恒成立，x<0時(shí)，不等式可變?yōu)閍≥x－2，而x－2<－2，可得a≥－2；
若x>0，|f(x)|＝|ln(x＋1)|＝ln(x＋1)，由ln(x＋1)≥ax，可得a≤恒成立，
令h(x)＝，則h′(x)＝，再令g(x)＝－ln(x＋1)，則
36、g′(x)＝<0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)0，a≤0.綜上可知，－2≤a≤0，故選D.
方法二：數(shù)形結(jié)合：畫(huà)出函數(shù)|f(x)|＝與直線y＝ax的圖像，如下圖，要使|f(x)|≥ax恒成立，只要使直線y＝ax的斜率最小時(shí)與函數(shù)y＝x2－2x，x≤0在原點(diǎn)處的切線斜率相等即可，最大時(shí)與x軸的斜率相等即可，
因?yàn)閥′＝2x－2，所以y′|x＝0＝－2，所以－2≤a≤0.
10．B9，B12[xx·安徽卷] 若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有
37、極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＝x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
10．A [解析] 因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax＋b，3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0且3x2＋2ax＋b＝0的兩根分別為x1，x2，所以f(x)＝x1或f(x)＝x2，
當(dāng)x1是極大值點(diǎn)時(shí)，f(x1)＝x1，x2為極小值點(diǎn)，且x2>x1，如圖(1)所示，可知方程f(x)＝x1有兩個(gè)實(shí)根，f(x)＝x2有一個(gè)實(shí)根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3個(gè)不同實(shí)根；
當(dāng)x1是極小值點(diǎn)時(shí)，f(x1)＝x1，x2為極大值
38、點(diǎn)，且x2
39、交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2，3，4，故n的取值范圍是{2，3，4}．
5．B5，B9[xx·湖南卷] 函數(shù)f(x)＝2ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．B [解析] 法一：作出函數(shù)f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的圖像如圖：
可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選B.
法二：也可以采用數(shù)值法：
x
1
2
4
f(x)＝2ln x
0
2ln 2＝ln 4>1
ln 42<5
g(x)＝x2－4x＋5
2
1
5
可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選B.
21．B9、B12[xx·山東卷] 設(shè)
40、函數(shù)f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值；
(2)討論關(guān)于x的方程|ln x|＝f(x)根的個(gè)數(shù)．
21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x.
由f′(x)＝0，解得x＝，
當(dāng)x<時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．
所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－∞，，單調(diào)遞減區(qū)間是，＋∞，最大值為f＝e－1＋c.
(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．
①當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，lnx>0，則g(x)＝lnx－xe－2
41、x－c，所以g′(x)＝e－2x＋2x－1.因?yàn)?x－1>0，>0，所以g′(x)>0.
因此g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
②當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，lnx<0，則g(x)＝－lnx－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x－＋2x－1.
因?yàn)閑2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，所以－<－1.
又2x－1<1，
所以－＋2x－1<0，即g′(x)<0.
因此g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減．
綜合①②可知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.
當(dāng)g(1)＝－e－2－c>0，即c<－e－2時(shí)，g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)
42、數(shù)為0；
當(dāng)g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2時(shí)，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)g(1)＝－e－2－c<0，即c>－e－2時(shí)，
(ⅰ)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，由(1)知g(x)＝lnx－xe－2x－c≥lnx－e－1＋c>lnx－1－c，
要使g(x)>0，只需使lnx－1－c>0，即x∈(e1＋c，＋∞)；
(ⅱ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，由(1)知g(x)＝－lnx－xe－2x－c≥－lnx－e－1＋c>－lnx－1－c，要使g(x)>0，只需－lnx－1－c>0，即x∈(0，e－1－c)；
所以c>－e－2時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，
43、
故關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為2.
綜上所述，
當(dāng)c<－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)c＝－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)c>－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為2.
21．B3，B9，B12[xx·四川卷] 已知函數(shù)f(x)＝其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)A(x1，f(x1))，
B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且x1
44、點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．
21．解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，＋∞)．
(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f′(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f′(x2)，故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2.
因?yàn)閤10.
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2
45、＝－時(shí)等號(hào)成立．
所以，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，x2－x1的最小值為1.
(3)當(dāng)x1x1>0時(shí)，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<00時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0
46、－ln(2x1＋2)－1.
設(shè)h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1h(0)＝－ln 2－1，
所以a>－ln 2－1.
又當(dāng)x1∈(－1，0)且趨近于－1時(shí)，h(x1)無(wú)限增大，
所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
7．B9[xx·天津卷] 函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．B [解析] f
47、(x)＝2x|log0.5 x|－1＝＝
∵f(x)＝－2xlog2x－1在(0，1]上遞減且x接近于0時(shí)，f(x)接近于正無(wú)窮大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零點(diǎn)；又∵f(x)＝2xlog2x－1在(1，＋∞)上遞增，且f(2)＝22×log2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零點(diǎn)．故f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．
B10 函數(shù)模型及其應(yīng)用
10．B10[xx·陜西卷] 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x
48、]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
10．D [解析] 可取特值x＝3.5，則[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A錯(cuò)．[2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故B錯(cuò)．再取y＝3.8，則[x＋y]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C錯(cuò)．只有D正確．
6．B10[xx·重慶卷] 若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )
A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)
C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(
49、c，＋∞)內(nèi)
6．A [解析] 因?yàn)閒(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.
B11 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算
11．B9，B11[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
11．D [解析] 方法一：若x≤0，|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2
50、－2x，x＝0時(shí)，不等式恒成立，x<0時(shí)，不等式可變?yōu)閍≥x－2，而x－2<－2，可得a≥－2；
若x>0，|f(x)|＝|ln(x＋1)|＝ln(x＋1)，由ln(x＋1)≥ax，可得a≤恒成立，
令h(x)＝，則h′(x)＝，再令g(x)＝－ln(x＋1)，則
g′(x)＝<0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)0，a≤0.綜上可知，－2≤a≤0，故選D.
方法二：數(shù)形結(jié)合：畫(huà)出函數(shù)|f(x)|＝與直線y＝ax的圖像，如下圖，要使|f(x)|≥ax恒成
51、立，只要使直線y＝ax的斜率最小時(shí)與函數(shù)y＝x2－2x，x≤0在原點(diǎn)處的切線斜率相等即可，最大時(shí)與x軸的斜率相等即可，
因?yàn)閥′＝2x－2，所以y′|x＝0＝－2，所以－2≤a≤0.
10．B11[xx·廣東卷] 若曲線y＝kx＋ln x在點(diǎn)(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________．
10．－1 [解析] ∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，故k＝－1.
13．B1，B11[xx·江西卷] 設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________．
13．2 [解析] f(ex)＝x＋ex，利用換元法可得f(x)＝ln x＋
52、x，f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
18．B11，B12[xx·北京卷] 設(shè)L為曲線C：y＝在點(diǎn)(1，0)處的切線．
(1)求L的方程；
(2)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線L的下方．
18．解：(1)設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝.
所以f′(1)＝1.
所以L的方程為y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于
g(x)>0(x>0，x≠1)．
g(x)滿足g(1)＝0，且
g′(x)＝1－f′(x)＝.
當(dāng)01
53、時(shí)，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，
故g(x)單調(diào)遞增．
所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．
所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方．
9．B11、B12[xx·全國(guó)卷] 若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在是增函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
9．D [解析] f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上單調(diào)遞減，所以y<3，故只要a≥3.
17．B11，B12[xx·重慶卷] 設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x
54、)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
17．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由點(diǎn)(0，6)在切線上可得6－16a＝8a－6，
故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x＞0)，
f′(x)＝x－5＋＝，
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，
55、f′(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(2，3)上為減函數(shù)．
由此可知，f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln 3.
B12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
20．B12 、D5[xx·安徽卷] 設(shè)函數(shù)fn(x)＝－1＋x＋＋＋…＋(x∈R，n∈N*)．證明：
(1)對(duì)每個(gè)n∈N*，存在唯一的xn∈，1，滿足fn(xn)＝0；
(2)對(duì)任意p∈N*，由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0
56、對(duì)每個(gè)n∈N*，當(dāng)x>0時(shí)，f′n(x)＝1＋＋…＋>0，故fn(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
由于f1(1)＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，fn(1)＝＋＋…＋>0.故fn(1)≥0.又fn＝－1＋＋≤－＋k
＝－＋·＝－·n－1<0.
所以存在唯一的xn∈，1，滿足fn(xn)＝0.
(2)當(dāng)x>0時(shí)，fn＋1(x)＝fn(x)＋≥fn(x)，故fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0.
由fn＋1(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，xn＋1
57、①
fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋＋…＋＋＋…＋＝0，②
①式減去②式并移項(xiàng)，利用00，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(α，β)的長(zhǎng)度定義為β－α)；
(2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．
17．解：(1)因?yàn)榉匠蘟x－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1＝0，x2＝，
故f(x)>0的解集為{x|x1
58、x2}，
因此區(qū)間I＝0，，I的長(zhǎng)度為.
(2)設(shè)d(a)＝，則d′(a)＝.
令d′(a)＝0，得a＝1.由于00，d(a)單調(diào)遞增；
當(dāng)1
59、方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
10．A [解析] 因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax＋b，3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0且3x2＋2ax＋b＝0的兩根分別為x1，x2，所以f(x)＝x1或f(x)＝x2，
當(dāng)x1是極大值點(diǎn)時(shí)，f(x1)＝x1，x2為極小值點(diǎn)，且x2>x1，如圖(1)所示，可知方程f(x)＝x1有兩個(gè)實(shí)根，f(x)＝x2有一個(gè)實(shí)根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3個(gè)不同實(shí)根；
當(dāng)x1是極小值點(diǎn)時(shí)，f(x1)＝x1，x2為極大值點(diǎn)，且x2
60、)＝x1有兩個(gè)實(shí)根，f(x)＝x2有一個(gè)實(shí)根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3個(gè)不同實(shí)根；
綜合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3個(gè)不同實(shí)根．
17．B12[xx·福建卷] 已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
17．解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1
61、))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；
②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值．
22．B12，E8[xx·湖北卷] 設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
(1
62、)求函數(shù)f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；
(2)證明：0時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)
63、f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝0.
(2)由(1)，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)成立，故當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，有(1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.①
在①中，令x＝(這時(shí)x>－1且x≠0)，得>1＋.
上式兩邊同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即
nr<.②
當(dāng)n>1時(shí)，在①中令x＝－(這時(shí)x>－1且x≠0)，類似可得nr>，③
且當(dāng)n＝1時(shí)，③也成立，綜合②，③得
64、<<(82－81)，
(82－81)<<(83－82)，
(83－82)<<(84－83)，
……
(125－124)<<(126－125)，
將以上各式相加，并整理得
(125－80)0，f(x2)>－
B．f(x1)<0，f(x2)<－
C．f(x1)>0，f(x2)<－
D．f(x
65、1)<0，f(x2)>－
10．D [解析] f′(x)＝ln x－(2ax－1)＝0ln x＝2ax－1，函數(shù)y＝ln x與函數(shù)y＝2ax－1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令y1＝ln x，y2＝2ax－1，在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，顯然a≤0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，故a>0，此時(shí)當(dāng)直線的斜率逐漸變大直到直線y＝2ax－1與曲線y＝ln x相切時(shí)，兩函數(shù)圖像均有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，y′1＝，故曲線y＝ln x上的點(diǎn)(x0，ln x0)處的切線方程是y－ln x0＝(x－x0)，該直線過(guò)點(diǎn)(0，－1)，則－1－ln x0＝－1，解得x0＝1，故過(guò)點(diǎn)(0，－1)的曲線y＝ln x的切線斜
66、率是1，故2a＝1，即a＝，所以a的取值范圍是0，.因?yàn)?0，f(x)遞增，f(1)＝－a，f(x1)f(1)＝－a>－，選D.
21．B1，B12[xx·江西卷] 已知函數(shù)f(x)＝a，a為常數(shù)且a>0.
(1)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱；
(2)若x0滿足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn)．如果f(x)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1，x2，試確定a的取值范圍；
(3)對(duì)于(2)中的x1，x2和a，設(shè)x3為函數(shù) f(f(x))的最大值點(diǎn)，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．記△ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調(diào)性．
解：(1)證明：因?yàn)閒＝a(1－2|x|)，
f＝a(1－2|x|)，
有f＝f，
所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱．
(2)當(dāng)0
2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理
