（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測（十三）小題考法——直線與圓

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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測（十三）小題考法——直線與圓 一、選擇題 1．已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝(　　) A．0　　　　　　　　 　B. C.或0 D.或0 解析：選D　因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d＝＝1，解得k＝0或k＝，故選D. 2．(2018·寧波十校高三5月適應(yīng)性考試)已知直線l過圓(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，當(dāng)原點(diǎn)到直線l距離最大時(shí)，直線l的方程為(　　) A．y＝2 B．x－2y－5＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0

2、 解析：選D　設(shè)圓心為M，則M(1,2)． 當(dāng)l與OM垂直時(shí)，原點(diǎn)到l的距離最大．作出示意圖如圖， ∵kOM＝2，∴l(xiāng)的斜率為－. ∴直線l的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 3．直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k＝1”是“|AB|＝”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　依題意，注意到|AB|＝＝等價(jià)于圓心O到直線l的距離等于，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要條件． 4．若三條直線l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：

3、x－my＝2不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值最多有(　　) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè) 解析：選C　三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)．若l1∥l2，則m＝4；若l1∥l3，則m＝－；若l2∥l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，則m＝1或－.故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè)，故選C. 5．(2018·溫州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B(2,0)，過A的直線交x軸于點(diǎn)C(a,0)，若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍，則a＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B　設(shè)直線AC的傾斜角為β

4、，直線AB的傾斜角為α， 即有tan β＝tan 2α＝. 又tan β＝，tan α＝， 所以＝，解得a＝. 6．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析：選D　由題意知，曲線方程為(x－6)2＋(y－6)2＝(3)2，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又圓心(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝

5、5，故最小圓的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 7．(2018·長沙模擬)若直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)被圓C：(x－1)2＋y2＝4所截得的弦為MN，則|MN|的最小值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C　直線方程(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)可化為λ(2x＋y＋1)＋(－x＋2y＋2)＝0(λ∈R)，若則所以直線恒過圓C：(x－1)2＋y2＝4內(nèi)的定點(diǎn)P(0，－1)，當(dāng)直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)與直線CP垂直時(shí)，|MN|最小，此時(shí)|

6、MN|＝2＝2＝2.故選C. 8．(2018·合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：選B　由題可知，圓心C(1,1)，半徑r＝2.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝0，計(jì)算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，所以直

7、線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0. 綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B. 9．兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：選B　兩個(gè)圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9. 由2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)等號(hào)成立

8、．所以a＋b的最小值為－3. 10．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(　　) A．(4,6) B．[4,6] C．(4,5) D．(4,5] 解析：選A　設(shè)直線4x－3y＋m＝0與直線4x－3y－2＝0之間的距離為1，則有＝1，m＝3或m＝－7.圓心(3，－5)到直線4x－3y＋3＝0的距離等于6，圓心(3，－5)到直線4x－3y－7＝0的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A. 二、填空題 11．直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過定點(diǎn)________，P(1，1)到直

9、線l的距離的最大值為________． 解析：直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令解得∴直線l恒過定點(diǎn)(－2,3)．不妨記Q(－2,3)，則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|＝＝. 答案：(－2,3)　 12．若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對的圓心角相等，均為90°，因此圓心到兩直線的距離均為r＝2，即＝＝2，得a2＋b2＝(2＋1)2＋(1－2)2＝18. 答案：18 13．已知點(diǎn)M(2,1)

10、及圓x2＋y2＝4，則過M點(diǎn)的圓的切線方程為________，若直線ax－y＋4＝0與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則a＝________. 解析：若過點(diǎn)M的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x＝2，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件．若切線斜率存在，可設(shè)切線方程為y＝k(x－2)＋1，由圓心到直線的距離等于半徑得＝2，解得k＝－，故切線方程為y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.綜上，過M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝2或3x＋4y－10＝0. 由＝，得a＝±. 答案：x＝2或3x＋4y－10＝0　± 14．已知⊙C的方程為x2－2x＋y2＝0，直線l：kx－y＋x－2k＝0與⊙C交于A，B兩點(diǎn)，

11、當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，k＝________；當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，k＝________. 解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1,0)，半徑為1，當(dāng)直線過圓心時(shí)，弦AB為直徑，|AB|最大，此時(shí)k＝1.設(shè)∠ACB＝θ，則S△ABC＝×1×1×sin θ＝sin θ，當(dāng)θ＝90°時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)圓心到直線的距離為，由d＝＝，解得k＝0或k＝6. 答案：1　0或6 15．已知圓O：x2＋y2＝r2與圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點(diǎn)A，B(異于P點(diǎn))，且OA⊥OB，則直線OP的斜率是_

12、_______，r＝________. 解析：兩圓的方程相減得，4x－4＝0，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1.易知P為AB的中點(diǎn)，因?yàn)镺A⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP為等邊三角形，所以∠APO＝60°，因?yàn)锳B∥x軸，所以∠POC＝60°，所以直線OP的斜率為.設(shè)P(1，y1)，則y1＝，所以P(1，)，代入圓O，解得r＝2. 答案：　2 16．(2018·浦江模擬)設(shè)A是直線y＝x－4上一點(diǎn)，P，Q是圓C：x2＋(y－2)2＝17上不同的兩點(diǎn)，若圓心C是△APQ的重心．則△APQ面積的最大值為________． 解析：如圖，∵圓心C是△APQ的重心，∴AC⊥PQ，

13、 設(shè)C到PQ的距離為x，則PQ＝2， 則A到PQ的距離為3x， ∴S△PAQ＝×2×3x ＝3·x≤3·＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝時(shí)等號(hào)成立． ∴△APQ面積的最大值為. 答案： 17．定義：若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)(x0，y0)，總存在正實(shí)數(shù)r，使得集合{(x，y)|0}； ③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0

14、)為圓心，以r為半徑的圓面(不包括圓周)，由開集的定義知，集合A應(yīng)該無邊界，故由①②③④表示的圖形知，只有②④符合題意． 答案：②④ B組——能力小題保分練 1．若a，b是正數(shù)，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為2，則t＝a取得最大值時(shí)a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　因?yàn)閳A心到直線的距離d＝，則直線被圓截得的弦長L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.則t＝a＝·(2a)·≤××＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a＝，故選D. 2．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，

15、O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2) 解析：選C　當(dāng)|＋|＝||時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形AOB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，即＝1，解得k＝；當(dāng)k>時(shí)，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故<2，即k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)． 3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．設(shè)條件p：0

16、要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2. 當(dāng)2－r>1，即0

17、直線與圓相交，此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)r－2>1，即r>3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1. 綜上，當(dāng)0

18、直線方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，則ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，當(dāng)b＝時(shí)，ab有最大值，故ab的取值范圍為. 5．已知點(diǎn)A(3,0)，若圓C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在點(diǎn)P，使|PA|＝2|PO|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為________． 解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)閨PA|＝2|PO|，所以＝2，化簡得(x＋1)2＋y2＝4，所以點(diǎn)P在以M(－1,0)為圓心，2為半徑的圓上．由題意 知，點(diǎn)P(x，y)在圓C上，所以圓C與圓M有公共點(diǎn)，則1≤|CM|≤3，即1≤ ≤3，開方得1≤5t2－14t＋17≤9.不等式5

19、t2－14t＋16≥0的解集為 R；由5t2－14t＋8≤0，得≤t≤2.所以圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為. 答案： 6．設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：由題意可知M在直線y＝1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)N(±1，0)符合要求；當(dāng)x0≠0時(shí)，過M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)P，此時(shí)對于圓上任意一點(diǎn)N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當(dāng)∠OMP＝45°時(shí)，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1]