（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 2 第2講 排列與組合教學(xué)案

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1、第2講　排列與組合 1．排列、組合的定義 排列的定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義 合成一組 2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù) 公式 A＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)＝ C＝＝ 性質(zhì) A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(　　)

2、 (2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序．(　　) (3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　) (4)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　) (5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-3P27A組T7改編)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144　　　B．120　　　C．72　　　D．24 解析：選D.“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24. 2．(選修2

3、-3P19例4改編)用數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C.末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48. 3．(選修2-3P28A組T17改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 解析：選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC＝12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有CC＋CC＝30種．

4、故選C. [易錯(cuò)糾偏] (1)分類(lèi)不清導(dǎo)致出錯(cuò)； (2)相鄰元素看成一個(gè)整體，不相鄰問(wèn)題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問(wèn)題的基本方法． 1．從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有________種． 解析：分兩類(lèi)：第一類(lèi)，取2臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法；第二類(lèi)，取3臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法．所以滿(mǎn)足條件的不同取法有CC＋CC＝350(種)． 答案：350 2．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 解析：設(shè)這5件不同的

5、產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有A種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有C種擺法，所以共有AAC＝36(種)不同的擺法． 答案：36 　　　　　　排列應(yīng)用題 3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)． (1)選其中5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起． 【解】　(1)問(wèn)題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A＝2 520種排法． (2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040 種排法． (

6、3)相鄰問(wèn)題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有A種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝A·A·A＝288(種)． (4)不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空隙中安排共有A種排法，故N＝A·A＝1 440(種)． (變問(wèn)法)在本例條件下，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)： (1)甲不在中間也不在兩端； (2)甲、乙兩人必須排在兩端． 解：(1)先排甲有4種，其余有A種， 故共有4·A＝2 880種排法． (2)先排甲、乙，再排其余5人， 共有A

7、·A＝240種排法． 求解有限制條件排列問(wèn)題的主要方法 直接法 分類(lèi)法 選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類(lèi)型，分別計(jì)算每個(gè)類(lèi)型中的排列數(shù)，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù) 分步法 選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù) 捆綁法 相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空隙中 間接法 對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題，按正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 [提醒]　(1)插空

8、時(shí)要數(shù)清插空的個(gè)數(shù)，捆綁時(shí)要注意捆綁后元素的個(gè)數(shù)及相鄰元素的排列數(shù)． (2)用間接法求解時(shí)，事件的反面數(shù)情況要準(zhǔn)確． 　由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，則含有2，3但它們不相鄰的五位數(shù)有________個(gè)． 解析：不考慮0在首位，0，1，4，5先排三個(gè)位置，則有A個(gè)，2，3去排四個(gè)空當(dāng)，有A個(gè)，即有AA個(gè)； 而0在首位時(shí)，有AA個(gè)，即含有2，3，但它們不相鄰的五位數(shù)有AA－AA＝252個(gè)． 答案：252 　　　　　　組合應(yīng)用題 要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？ (1)至少有1名女生入選； (2)男生甲

9、和女生乙入選； (3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選． 【解】　(1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女． 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771(種)． 法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12人中任選5人有C種選法，其中全是男代表的選法有C種． 所以“至少有1名女生入選”的選法有 C－C＝771(種)． (2)男生甲和女生乙入選，即只要再?gòu)某猩缀团彝獾?0人中任選3名即可，共有CC＝120種選法． (3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的

10、反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有C種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為C－C＝540(種)． (變問(wèn)法)在本例條件下，求至多有2名女生入選的選法種數(shù)． 解：至多有2名女生入選包括以下幾種情況： 0女5男，1女4男，2女3男， 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為 C＋CC＋CC＝546(種)． 含有附加條件的組合問(wèn)題的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。? (2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十

11、分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解．　 　甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)， 求：(1)甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門(mén)不相同的選法有多少種？ 解：(1)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，且甲、乙所選課程中恰有1門(mén)相同的選法種數(shù)共有CCC＝24(種)． (2)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選兩門(mén)不同的選法種數(shù)為CC，又甲、乙兩人所選的兩門(mén)課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿(mǎn)足條件的不同選法種數(shù)為CC－C＝30(種)． 　　　　　　排列、組合的綜合

12、應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 排列與組合是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為中檔題．主要命題角度有： (1)相鄰、相間問(wèn)題； (2)分組、分配問(wèn)題； (3)特殊元素(位置)問(wèn)題． 角度一　相鄰、相間問(wèn)題 (2020·杭州八校聯(lián)考)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿(mǎn)足要求的排法有(　　) A．34種　　　　　　　　　 B．48種 C．96種 D．144種 【解析】　特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個(gè)位置，有C種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其余三個(gè)元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有CAA＝96(種)，故選

13、C. 【答案】　C 角度二　分組、分配問(wèn)題 從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 【解析】　分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55種不同的選法；第二步，從4人中選出隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)各1人，有A＝12種不同的選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有55×12＝660種不同的選法． 【答案】　660 角度三　特殊元素(位置)問(wèn)題 (2020·臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)高三期中)在某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場(chǎng)，

14、且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為_(kāi)_______． 【解析】?、偃舻谝粋€(gè)出場(chǎng)的是男生，則第二個(gè)出場(chǎng)的是女生，以后的順序任意排，方法有CCA＝36種．②若第一個(gè)出場(chǎng)的是女生(不是女生甲)，則將剩余的2個(gè)女生排列好，2個(gè)男生插空，方法有CAA＝24種．故所有的出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為36＋24＝60. 【答案】　60 解排列、組合綜合應(yīng)用問(wèn)題的思路 　 1．安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 解析：選D.因?yàn)榘才?名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完

15、成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，所以必有1人完成2項(xiàng)工作．先把4項(xiàng)工作分成3組，即2，1，1，有＝6種，再分配給3個(gè)人，有A＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)． 2．在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答)． 解析：把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(無(wú)獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無(wú)獎(jiǎng)，共有C種分法，再分給4人有CA種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A＋CA＝24＋36＝60. 答案：

16、60 3．(2020·浙江東陽(yáng)中學(xué)高三期中檢測(cè))用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則組成的偶數(shù)的個(gè)數(shù)是________；恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是________． 解析：由五個(gè)數(shù)組成五位偶數(shù)，可分類(lèi)個(gè)位數(shù)放0，2，4；當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，有A＝24種，當(dāng)個(gè)位是2時(shí)，有3A＝18種，當(dāng)個(gè)位是4時(shí)與個(gè)位是2時(shí)相同，則共有24＋36＝60種．當(dāng)1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著0時(shí)，把這三個(gè)元素看做一個(gè)整體，和另外兩個(gè)偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個(gè)排列，共有2A＝12種，1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著2時(shí)，同前面類(lèi)似，只是注意0不能放在首位，共有2CA＝8種，當(dāng)1和3兩個(gè)奇數(shù)夾

17、著4時(shí)，也有同樣多的結(jié)果．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得到共有12＋16＝28種結(jié)果． 答案：60　28 核心素養(yǎng)系列21　邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算——分組分配問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn) 分組問(wèn)題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，在考試中不容易得分，在解題過(guò)程中容易掉入陷阱． 解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想是先分組后分配．關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．下面結(jié)合一些典型問(wèn)題談?wù)勅绾伪苊獾暨M(jìn)分組問(wèn)題中的陷阱． 一、整體均分問(wèn)題 國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．

18、現(xiàn)有6名免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法． 【解析】　先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A＝90種分配方法． 【答案】　90 對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．　 二、部分均分問(wèn)題 將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間安排給5個(gè)工作人員臨時(shí)休息，假定每個(gè)人可以選擇任一房間，且選擇各個(gè)房間是等可能的，則恰有2個(gè)房間無(wú)人選擇且這2個(gè)房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為

19、________． 【解析】　先將5人分成三組(1，1，3或2，2，1兩種形式)，再將這三組人安排到3個(gè)房間，然后將2個(gè)房間插入前面住了人的3個(gè)房間形成的空檔中即可，故安排方式共有·A·C＝900種． 【答案】　900 本題屬于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．　 三、不等分組問(wèn)題 將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法． 【解析】　先把書(shū)分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生．先

20、選1本，有C種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法．故共有C·C·C＝60種選法．由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60A＝360種分配方法． 【答案】　360 對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)，任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． 總之，在解答分組問(wèn)題時(shí)，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)．對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點(diǎn)，就能避免掉進(jìn)陷阱．　 [基礎(chǔ)題組練] 1．不等式A＜6×A的解集為(　　) A．[2，8]　　　　　　　　　 B．[

21、2，6] C．(7，12) D．{8} 解析：選D.由題意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8. 2．(2020·金華等三市部分學(xué)校高三期中)如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為(　　) A．96 B．84 C．60 D．48 解析：選B.法一：分三類(lèi)：種兩種花有A種種法；種三種花有2A種種法；種四種花有A種種法． 共有A＋2A＋A＝84. 法二：按A－B－C－D順序種花，可分A，C同色與不同色有4×

22、3×(1×3＋2×2)＝84. 3．(2020·溫州八校第二次聯(lián)考)若無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿(mǎn)足條件：①個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　) A．540 B．480 C．360 D．200 解析：選D.由個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有CCA＝50種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有C＝4種滿(mǎn)足題意的選法，故滿(mǎn)足題意的三位數(shù)共有C×CCA＝200(個(gè))． 4．3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)與3本不同的語(yǔ)文書(shū)放在書(shū)架同一層，則同類(lèi)書(shū)不相鄰的放法種數(shù)為(　　) A．36 B．72 C．108

23、 D．144 解析：選B.3本數(shù)學(xué)書(shū)的放法有A種，將3本語(yǔ)文書(shū)插入使得語(yǔ)文數(shù)學(xué)均不相鄰的插法有2A種，故同類(lèi)書(shū)不相鄰的放法有2AA＝2×6×6＝72(種)，故選B. 5．(2020·金華十校期末調(diào)研)A、B、C、D、E五個(gè)人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)有5個(gè)紅包，每人各摸一個(gè)，5個(gè)紅包中有2個(gè)8元，1個(gè)18元，1個(gè)28元，1個(gè)0元，(紅包中金額相同視為相同紅包)，則A、B兩人都獲獎(jiǎng)(0元視為不獲獎(jiǎng))的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.A、B兩人都獲獎(jiǎng)(0元視為不獲獎(jiǎng))的情況有三類(lèi)： 即獲獎(jiǎng)的四人為：ABCD，ABCE，ABDE， 在每類(lèi)情況

24、中，獲獎(jiǎng)的情況有C·A＝12種， 所以由分步乘法原理得：A、B兩人都獲獎(jiǎng)(0元視為不獲獎(jiǎng))的情況有3×12＝36種． 6．某中學(xué)高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)從中任選3人，要求這三人不能全是同一個(gè)班的學(xué)生，且在三班至多選1人，則不同選法的種數(shù)為(　　) A．484 B．472 C．252 D．232 解析：選B.若三班有1人入選，則另兩人從三班以外的12人中選取，共有CC＝264種選法．若三班沒(méi)有人入選，則要從三班以外的12人中選3人，又這3人不能全來(lái)自同一個(gè)班，故有C－3C＝208種選法．故總共有264＋208＝472種不同的選法．

25、7．如圖，∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．30 B．42 C．54 D．56 解析：選B.間接法：先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有C種取法，再減去三點(diǎn)共線(xiàn)的情形即可，即C－C－C＝42. 8．(2019·寧波高考模擬)從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中選出三個(gè)不相同數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：選B.根據(jù)題意，要求奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的百

26、位、個(gè)位為奇數(shù)，分2步進(jìn)行分析： ①在1、3、5三個(gè)奇數(shù)中任選2個(gè)，安排在三位數(shù)的個(gè)位和百位，有CA＝6種情況， ②在剩余的3個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)，將其安排在三位數(shù)的十位，有C＝3種情況， 則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)有6×3＝18個(gè)． 9．(2020·溫州中學(xué)高三模擬)身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個(gè)隊(duì)形，則甲丁不相鄰的不同的排法共有(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：選B.從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可記為1，2，3，4，5.要求1，4不相鄰．分四類(lèi)：①先排4，5時(shí)，則1只有1種排法，2，3在剩余的兩個(gè)位上，這樣有AA＝

27、4種排法；②先排3，5時(shí)，則4只有1種排法，2，1在剩余的兩個(gè)位上，這樣有AA＝4種排法；③先排1，2時(shí)，則4只有1種排法，3，5在剩余的兩個(gè)位上，這樣有AA＝4種排法；④先排1，3時(shí)，則這樣的數(shù)只有兩個(gè)，即21534，43512，只有兩種排法．綜上共有4＋4＋4＋2＝14種排法，故選B. 10．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿(mǎn)足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．60 B．90 C．120 D．130 解析：選D.設(shè)t＝|x1|＋|x2|＋|x

28、3|＋|x4|＋|x5|，t＝1說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有一個(gè)為－1或1，其他為0，所以有2×C＝10個(gè)元素滿(mǎn)足t＝1；t＝2說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個(gè)為－1或1，其他為0，所以有C×2×2＝40個(gè)元素滿(mǎn)足t＝2；t＝3說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有三個(gè)為－1或1，其他為0，所以有C×2×2×2＝80個(gè)元素滿(mǎn)足t＝3，從而，共有10＋40＋80＝130個(gè)元素滿(mǎn)足1≤t≤3. 11．(2020·溫州十五校聯(lián)合體期末聯(lián)考)用數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字1，3不相鄰，數(shù)字2，5相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解

29、析：先把2，5捆挷有2種方法，再把它與4排列有2種排法，此時(shí)共有3個(gè)空隙供數(shù)字1、3插入有A＝6種方法，故這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是2×2×6＝24個(gè)． 答案：24 12．(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有________種． 解析：先排7個(gè)空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個(gè)空位符合條件，考慮三人的順序，將3人插入6個(gè)空位中，則共有1×A＝120種情況，由于甲必須坐在三人中間，則有符合要求的坐法有×120＝40(種)． 答案：40 13．從正方體六個(gè)面的

30、對(duì)角線(xiàn)中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有________對(duì)． 解析：如圖．它們的棱是原正方體的12條面對(duì)角線(xiàn)． 一個(gè)正四面體中兩條棱成60°角的有(C－3)對(duì)，兩個(gè)正四面體有(C－3)×2對(duì)．又正方體的面對(duì)角線(xiàn)中平行成對(duì)，所以共有(C－3)×2×2＝48(對(duì))． 答案：48 14．如圖A，B，C，D為海上4個(gè)小島，要建立3座大橋，將4個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方案有________種． 解析：法一：任2個(gè)島之間建立1座橋，則共需C＝6座橋，現(xiàn)只建其中3座，有C種建法，但如圖(1)這樣的建橋方式是不合題意的，類(lèi)似這樣的情況有C種，則共有C－C＝16種建橋方案．

31、 法二：依題意，滿(mǎn)足條件的建橋方案分兩類(lèi)． 第一類(lèi)，如圖(2)，此時(shí)有C種方法． 第二類(lèi)，如圖(3)，此時(shí)有A＝12種方法． 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共有4＋12＝16種建橋方案． 答案：16 15．現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生干部中選出2名男同學(xué)和1名女同學(xué)分別參加全?！百Y源”“生態(tài)”“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么有男生________人、女生________人． 解析：設(shè)男、女同學(xué)的人數(shù)分別為m和n，則有， 即 由于m，n∈N＋，則m＝3，n＝5. 答案：3　5 16．在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，

32、程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有________種． 解析：程序A有A＝2種結(jié)果，將程序B和C看作元素集團(tuán)與除A外的元素排列有AA＝48(種)，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，實(shí)驗(yàn)順序的編排共有2×48＝96種方法． 答案：96 17．規(guī)定C＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C＝1，這是組合數(shù)C(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣，則C＝________；若x>0，則x＝________時(shí)，取到最小值，該最小值為_(kāi)_______． 解析：由規(guī)定：C＝＝－680，由＝＝. 因?yàn)閤>0，x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，等號(hào)成立， 所以當(dāng)x＝時(shí)，得最小值. 答案：－680　　

33、[綜合題組練] 1．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行測(cè)試，直至找出所有的次品為止． (1)若恰在第5次測(cè)試才測(cè)試到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測(cè)試后就找出了所有次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ 解：(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有A種不同的測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5次和第10次的位置上測(cè)試，有C·A＝A種測(cè)試方法，再排余下4件的測(cè)試位置，有A種測(cè)試方法．所以共有A·A·A＝103 680種不同的測(cè)試方法． (2)第5次測(cè)試的產(chǎn)品恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品

34、出現(xiàn)，所以共有C·C·A＝576種不同的測(cè)試方法． 2．現(xiàn)有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員． 解：(1)任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C，共有C·C＝120種方法． (2)法一：至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)． 法二：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面是“全是男運(yùn)動(dòng)員”，因

35、此用間接法求解，不同選法有C－C＝246(種)． (3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有C種選法，不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，其他人任意選，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有(C－C)種選法． 所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 3．證明下列各題： (1)A＋kA＝A(k≤n，n≥0)； (2)CC＝CC(k≤m≤n，n≥0)． 證明：(1)左邊＝＋k· ＝＝ ＝A＝右邊． (2)左邊＝· ＝， 右邊＝· ＝， 所以左邊＝右邊． 4．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素滿(mǎn)足：①任意一個(gè)

36、元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9. (1)集合B中兩位數(shù)和三位數(shù)各有多少個(gè)？ (2)集合B中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？ (3)將集合B中的元素從小到大排列，求第1 081個(gè)元素． 解：將0，1，…，9這10個(gè)數(shù)字按照和為9進(jìn)行配對(duì)，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B中元素的每個(gè)數(shù)位只能從上面五對(duì)數(shù)中每對(duì)只取一個(gè)數(shù)構(gòu)成． (1)兩位數(shù)有C×22×A－C×2＝72(個(gè))； 三位數(shù)有C×23×A－C×22×A＝432(個(gè))． (2)存在五位數(shù)，只需從上述五個(gè)數(shù)對(duì)中每對(duì)取一個(gè)數(shù)即可找出符合條件的五位數(shù)；不存在六位數(shù)，若存在，則至少要從一個(gè)數(shù)對(duì)中取出兩個(gè)數(shù)，則該兩個(gè)數(shù)字之和為9，與B中任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9矛盾，因此不存在六位數(shù)． (3)四位數(shù)共有C×24×A－C×23×A＝1 728(個(gè))， 因此第1 081個(gè)元素是四位數(shù)，且是第577個(gè)四位數(shù)， 我們考慮千位，千位為1，2，3的四位數(shù)有3×C×23×A＝576(個(gè))，因此第1 081個(gè)元素是4 012. 15