2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 不等式 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 不等式 理 12．H2，E1[xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0，1) B. C. D. 12．B　[解析] 方法一：易得△ABC面積為1，利用極限位置和特值法．當(dāng)a＝0時，易得b＝1－；當(dāng)a＝時，易得b＝；當(dāng)a＝1時，易得b＝－1>.故選B. 方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b與x 軸交于，結(jié)合圖形與a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝. ∵a>0，∴>0b<，當(dāng)a

2、＝0時，極限位置易得b＝1－，故答案為B. 8．B7，E1[xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則(　　) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c 8．D　[解析] a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0， b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0， 所以a>b>c，選D. E2　絕對值不等式的解法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E3　一元二次不等式的解法　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　 6．E3、B6、B7[xx·安徽卷] 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為xx<－1或x>，則f(10x)>0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2} 6．D　[解析] 根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是－1

4、.故不等式的解集是{x|－2

5、　　　　　　　　　　　　　　　　　 14．E4、K3[xx·山東卷] 在區(qū)間[－3，3]上隨機(jī)取一個數(shù)x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率為________． 14.　[解析] 當(dāng)x<－1時，不等式化為－x－1＋x－2≥1，此時無解；當(dāng)－1≤x≤2時，不等式化為x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；當(dāng)x>2時，不等式化為x＋1－x＋2≥1，此時恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集為.在上使不等式有解的區(qū)間為，由幾何概型的概率公式得P＝＝. E5　簡單的線性規(guī)劃問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．F2、E5[xx·安徽卷] 在平面直角坐標(biāo)系中

6、，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||＝||＝·＝2，則點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 9．D　[解析] 由||＝||＝·＝2，可得點(diǎn)A，B在圓x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(2，0)，B(1，)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以x－y＋y≤1， 即|x－y|＋|2y|≤2 . ①或②或 ③或④ 上述四個不等式組在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域如圖陰影部分所示

7、，所以所求區(qū)域的面積是4 . 8．E5[xx·北京卷] 設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 8．C　[解析] 在直角坐標(biāo)系中畫出可行域，如圖所示，由題意可知，可行域內(nèi)與直線x－2y＝2有交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)(－m，m)在直線x－2y＝2上時，有m＝－，所以m<－，故選C. 13．E5[xx·廣東卷] 給定區(qū)域D：令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的點(diǎn)}．則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線． 13．6　[解析]

8、 由題畫出不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，易知線性目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y在點(diǎn)(0，1)處取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)處取得最大值，這些點(diǎn)一共可以確定6條直線． 20．I3，E5[xx·湖北卷] 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為P0. (1)求P0的值；(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ

9、號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于P0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？ 20．解： (1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700

10、P(700

11、600x＋2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛． 4．E5[xx·湖南卷] 若變量x，y滿足結(jié)束條件則x＋2y的最大值是(　　) A．－ B．0 C. D. 4．C　[解析] 根據(jù)題意，畫出x，y滿足的可行域，如圖， 可知在點(diǎn)C處x＋2y取最大值為. 9．E5[xx·江蘇卷] 拋物線y＝x2在x＝1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界)．若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋2y的取值范圍是________． 9.　[解析] 由y＝x2得y′＝2x，則在點(diǎn)x＝1處的切線斜率k＝2×1＝2，切線方程

12、為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域，如圖陰影部分所示，則A(0，－1)，B. 作直線l0：x＋2y＝0. 當(dāng)平移直線l0至點(diǎn)A時，zmin＝0＋2(－1)＝－2； 當(dāng)平移直線l0至點(diǎn)B時，zmax＝＋2×0＝. 故x＋2y的取值范圍是. 6．E5[xx·山東卷] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為(　　) A．2 B．1 C．－ D．－ 6．C　[解析] 不等式組表示的可行域如圖，聯(lián)立解得P， 當(dāng)M與P重合時，直線OM斜率最小，此時kOM＝＝－. 圖1－1 13．E5[xx

13、·陜西卷] 若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為________． 13．－4　[解析] 結(jié)合題目可以作出y＝∣x－1∣與y＝2所表示的平面區(qū)域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直線y＝2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平移直線y＝2x，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，2)時，z取最小值為－4. 2．E5[xx·天津卷] 設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為(　　) A．－7 B．－4 C．1 D．2 2．A　[解析] 作出可行域，如圖陰影部分． 聯(lián)立解得(5，3)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過可行域內(nèi)A點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)有最小值z＝3－2×5＝－7.

14、 9．E5，H1[xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 9．B　[解析] 直線y＝a(x－3)過定點(diǎn)(3，0) .畫出可行域如圖，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直線y＝－2x，平移易知直線過A點(diǎn)時直線在y軸上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a＝ .答案為B. 13．E5[xx·浙江卷] 設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________． 13．2　[解析] 不等式組表示的可行區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的三角形ABC及其內(nèi)部，A(2，0)

15、，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值為12，只能經(jīng)過B點(diǎn)，此時12＝4k＋4，k＝2. E6　基本不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．E6[xx·重慶卷] (－6≤a≤3)的最大值為(　　) A．9 B. C．3 D. 3．B　[解析] 因?yàn)椋?≤a≤3，所以≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即a＝－時等號成立，故選B. E7　不等式的證明方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E8　不等式的綜合應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22．B12，E8[xx·湖北卷] 設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)． (1)求函數(shù)f(x

16、)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值； (2)證明：0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在x＝

17、0處取得最小值f(0)＝0. (2)由(1)，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等號當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時成立，故當(dāng)x>－1且x≠0時，有(1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.① 在①中，令x＝(這時x>－1且x≠0)，得>1＋. 上式兩邊同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即 nr<.② 當(dāng)n>1時，在①中令x＝－(這時x>－1且x≠0)，類似可得nr>，③ 且當(dāng)n＝1時，③也成立，綜合②，③得

18、1)， (82－81)<<(83－82)， (83－82)<<(84－83)， …… (125－124)<<(126－125)， 將以上各式相加，并整理得 (125－80)

19、10，0)，C(14，0)處，現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個文化中心． (1)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式(不要求證明)； (2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請確定點(diǎn)P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最?。? 圖1－5 20．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)． (1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為 |x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)． (2)由題意知，點(diǎn)P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值

20、． ①當(dāng)y≥1時，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|. 因?yàn)閐1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|.(*) 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，不等式(*)中的等號成立． 又因?yàn)閨x＋10|＋|x－14|≥24.(**) 當(dāng)且僅當(dāng)x∈[－10，14]時，不等式(**)中的等號成立． 所以d1(x)≥24，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，等號成立． d2(y)＝2y＋|y－20|≥21，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時，等號成立． 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1)時，P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45. ②當(dāng)0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進(jìn)

21、入保護(hù)區(qū)，所以 d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|. 此時，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|， d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21. 由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝1時等號成立． 綜上所述，在點(diǎn)P(3，1)處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小． 12．E8[xx·山東卷] 設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 12

22、．B　[解析] 由題意得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時，等號成立， ∴＋－＝＋－＝－＋1≤1. 9．E8[xx·陜西卷] 在如圖1－2所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是(　　) 圖1－2 A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 9．C　[解析] 如下圖，可知△ADE∽△ABC，設(shè)矩形的另一邊長為y，則＝，所以y＝40－x.又xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，則10≤x≤30

23、. 15．C8，E8，N1[xx·四川卷] 設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個點(diǎn)，在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到P1，P2，…，Pn點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P1，P2，…，Pn點(diǎn)的一個“中位點(diǎn)”．例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)．則有下列命題： ①若A，B，C三個點(diǎn)共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)； ②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)； ③若四個點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一； ④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 15．①④　[解析]

24、對于①，如果中位點(diǎn)不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾．而當(dāng)中位點(diǎn)在直線AB上時，如果不與C重合，則|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點(diǎn)，①正確； 對于②，我們?nèi)⌒边呴L為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點(diǎn)，該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離為1，到兩底角頂點(diǎn)的距離均為，顯然2 ＋1＜6，故該直角三角形的斜邊中點(diǎn)不是中位點(diǎn)，②錯誤； 對于③，當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共線時，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，D，則當(dāng)點(diǎn)P在B，C之間運(yùn)動時，點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和相等且最小，即這個時候

25、的中位點(diǎn)有無窮多個，③錯誤； 對于④，同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點(diǎn)不在對角線的交點(diǎn)上，則距離之和肯定不是最小的，④正確． E9　單元綜合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[xx·馬鞍山一檢] 在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為(　　) A．－5 B．1 C．2 D．3 1．D　[解析] ax－y＋1＝0恒過定點(diǎn)(0，1)，繪出可行性區(qū)域如圖所示，設(shè)直線ax－y＋1＝0與直線x－1＝0的交點(diǎn)為(1，m)，由可行性區(qū)域的面積為2可得·1·m＝2，解得m＝4，將(1，4)代入ax－y＋1＝0，解得

26、a＝3，故選D. 2．[xx·云南師大附中月考(三)] 已知條件p：x2－3x－4≤0；條件q：x2－6x＋9－m2≤0；若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是(　　) A．[－1，1] B．[－4，4] C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 2．C　[解析] 對于p：－1≤x≤4，對于q討論如下，當(dāng)m>0時，q：3－m≤x≤3＋m；當(dāng)m<0時，q：3＋m≤x≤3－m，若p是q的充分不必要條件，只需要 或解得m≤－4或m≥4，選C. [規(guī)律解讀] 對于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)是否

27、為0，這決定此不等式是否為二次不等式；(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時，討論判別式是否大于0；(3)當(dāng)判別式大于0時，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0，這決定所求不等式的不等號的方向；(4)判斷二次不等式兩根的大小． 3．[xx·山西大同一中四診] 設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為(　　) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 3．B　[解析] 由題意繪出可行性區(qū)域如圖所示，令z＝x＋2y，則y＝－x＋，求z的最大值，最小值即求y＝－x＋的截距的最大值，最小值．由圖可知當(dāng)y＝－x＋過點(diǎn)(0，1)時，z取最大值，過點(diǎn)(0，－1)時，z取

28、最小值．所以z的最大值為0＋2×1＝2，z的最小值為0＋2×(－1)＝－2，故選B. 4．[xx·安徽池州期末] 已知x，y滿足則的取值范圍是________． 4.　[解析] 由題意繪出可行性區(qū)域如圖所示， 求的取值范圍，即求可行域內(nèi)任一點(diǎn)與點(diǎn)(4，2)連線的斜率k的取值范圍，由圖像可得k∈. [規(guī)律解讀] 本題與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式，此類問題?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)： (1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)的距離， 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離； (2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率． 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵． 5．[xx·鄭州模擬] 若x，y滿足條件當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時，z＝ax－y取最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 5.　[解析] 畫出可行域，得到最優(yōu)解(3，3)，把z＝ax－y變?yōu)閥＝ax－z，即研究－z的最大值．當(dāng)a∈時，y＝ax－z均過(3，3)且截距最大．