數(shù)學(xué)第二部分 九 選做大題 9.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4

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1、專題九選做大題專題九選做大題9.19.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ( (選修選修44)44)-3-4-5-6-7-8-1.極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系:如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為M(,).一般地,不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù).-9-2.極坐標(biāo)與

2、直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)為(,),則它們之間的關(guān)系為x=cos ,y=sin .另一種關(guān)系為2=x2+y2,tan = (x0).3.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0,0),且此直線與極軸所成的角為,則它的方程為sin(-)=0sin(0-).幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程:(1)直線過極點(diǎn):=0和=+0;(2)直線過點(diǎn)M(a,0),且垂直于極軸:cos =a;-10-4.圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為2-20cos(-0)+ -r2=0

3、.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程:(1)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:=r;(2)圓心位于M(a,0),半徑為a:=2acos ;5.曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是某個(gè)變量t的函數(shù) 并且對于t的每一個(gè)允許值,上式所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,則稱上式為該曲線的參數(shù)方程,其中變量t稱為參數(shù).-11-6.一些常見曲線的參數(shù)方程 -12-13-考向一考向二考向三考向四參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化例1在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4

4、cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.-14-考向一考向二考向三考向四解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,

5、解得a=-1(舍去),a=1.a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上,所以a=1.-15-考向一考向二考向三考向四解題心得1.無論是參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,還是極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,都要先化為直角坐標(biāo)方程,再由直角坐標(biāo)方程化為需要的方程.2.求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時(shí),可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程求解.若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示,則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).-16-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為=2cos , .(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=

6、 x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).解 (1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓,因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線CD與l的斜率相同,-17-考向一考向二考向三考向四求兩點(diǎn)間距離的最值求兩點(diǎn)間距離的最值例2在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1: (t為參數(shù),t0),其中 0.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2 cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大

7、值.-18-考向一考向二考向三考向四解 (1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0, (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為=(R,0),其中00),M的極坐標(biāo)為(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程=4cos (0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面積-24-考向一考向二考向三考向四解題心得對于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的問題,既可以通過極坐標(biāo)和參數(shù)方程來解決,也可以通過直角坐標(biāo)解決,但大多數(shù)情況下,把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題,把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有利于在一個(gè)

8、熟悉的環(huán)境下解決問題.這樣可以減少由于對極坐標(biāo)和參數(shù)方程理解不到位造成的錯(cuò)誤.-25-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為= (R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積.解 (1)因?yàn)閤=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標(biāo)方程為cos =-2,C2的極坐標(biāo)方程為2-2cos -4sin +4=0.-26-考向一考向二考向三考向四求動點(diǎn)軌跡的方程求動點(diǎn)軌跡的方程例4已知動點(diǎn)P,Q都在

9、曲線C: (t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=與t=2(02),M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).-27-考向一考向二考向三考向四解 (1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).當(dāng)=時(shí),d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).解題心得在求動點(diǎn)軌跡方程時(shí),如果題目有明確要求,求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程,那么就按要求做;如果沒有明確的要求,那么三種形式的方程寫出哪種都可,哪種形式的容易求就寫哪種.-28-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練4在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (1)求C2的方程;(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線= 與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.-29-考向一考向二考向三考向四(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為=4sin ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為=8sin .