2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題56 利用點的坐標處理圓錐曲線問題

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題56 利用點的坐標處理圓錐曲線問題 縱觀近幾年的高考試題，高考對圓錐曲線的考查，一般設(shè)置一大一小兩道題目，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義，與橢圓的焦點三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查圓錐曲線的標準方程，結(jié)合基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，小題較多地考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)；四是考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式、范圍、最值、定值、定點、定直線、存在性和探索性問題等. 有些解

2、析幾何的題目，問題的求解不依賴于傳統(tǒng)的“設(shè)點，聯(lián)立，消元，韋達定理整體代入”步驟，而是能夠計算出交點的坐標，且點的坐標并不復(fù)雜，然后以點的坐標作為核心去處理問題. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. 1、韋達定理的實質(zhì)：在處理解析幾何的問題時，韋達定理的運用最頻繁的，甚至有的學(xué)生將其視為“必備結(jié)構(gòu)”，無論此題是否有思路，都先聯(lián)立方程，韋達定理.然而使用“韋達定理”的實質(zhì)是什么？實質(zhì)是“整體代入”的一種方式，只是因為在解析幾何中，一些問題的求解經(jīng)常與相關(guān)，利用“韋達定理”可進行整體代入，可避免因為這幾個根的形式過于復(fù)雜導(dǎo)致運算繁瑣.所以要理解“韋達定理”并不是解析幾何

3、的必備工具，只是在需要進行整體代入時，才運用的一種手段. 2、利用點坐標解決問題的優(yōu)劣： （1）優(yōu)點：如果能得到點的坐標，那么便可應(yīng)對更多的問題，且計算更為靈活，不受形式的約束 （2）缺點：有些方程的根過于復(fù)雜（例如用求根公式解出的根），從而使得點的坐標也變得復(fù)雜導(dǎo)致運算繁瑣.那么此類問題則要考慮看能否有機會進行整體的代入 3、求點坐標的幾種類型： （1）在聯(lián)立方程消元后，如果發(fā)現(xiàn)交點的坐標并不復(fù)雜（不是求根公式的形式），則可考慮把點的坐標解出來（用核心變量進行表示） （2）直線與曲線相交，若其中一個交點的坐標已知，則另一交點必然可求（可用韋達定理或因式分解求解） 4、在利用點的

4、坐標處理問題時也要注意運算的技巧，要將運算的式子與條件緊密聯(lián)系，若能夠整體代入，也要考慮整體代入以簡化運算.（整體代入是解析幾何運算簡化的精髓）.有時利用‘點差法’，確定坐標關(guān)系，效果也好，需靈活處理. 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年理新課標I卷】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 詳解：根據(jù)題意，過點（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D. 點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點坐標

5、所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標公式求得向量的坐標，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標公式求得結(jié)果，也可以不求點M、N的坐標，應(yīng)用韋達定理得到結(jié)果. 例2.【2018年理數(shù)全國卷II】設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 【答案】(1) y=x–1,(2)或． 詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以

6、．由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即． 設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或 因此所求圓的方程為或． 例3.【2018年理數(shù)天津卷】設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，

7、，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或 例4.已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點，點分別是橢圓的左右頂點 （1）求圓和橢圓的方程 （2）已知分別是橢圓和圓上的動點（位于軸的兩側(cè)），且直線與軸平行，直線分別與軸交于點，求

8、證：為定值 【答案】（1）橢圓方程為，圓方程為；（2）見解析. ，考慮利用條件設(shè)出方程，進而坐標可用核心變量表示，再進行數(shù)量積的坐標運算可得，從而，即為定值 解：設(shè) 與軸平行， 設(shè)，由所在橢圓和圓方程可得： 由橢圓可知： 令，可得： ，即為定值 思路二：本題還可以以其中一條直線為入手點（例如），以斜率作為核心變量，直線與橢圓交于兩點，已知點坐標利用韋達定理可解出點坐標（用表示），從而可進一步將涉及的點的坐標都用來進行表示，再計算也可以，計算步驟如下： 解：設(shè)，由橢圓方程可得： 所以設(shè)直線，聯(lián)立方程： ，代入到直線方程可得： ，由

9、，令可得： ，即為定值 . 例5.【2018屆江蘇省南京市三模】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，且． （1）求的值； （2）若為拋物線上異于的兩點，且．記點到直線的距離分別為，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析：（1）利用拋物線的定義求p的值.(2)先求出a的值，再聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程得到韋達定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值. 詳解：（1）因為點A(1，a) (a＞0)是拋物線C上一點，且AF=2， 所以＋1＝2，所以p＝2. （2）由(1)得拋物線方程為y2＝4x． 因為點A(1，a) (a＞0)是拋物線C上

10、一點，所以a＝2． 點睛：（1）本題主要考查拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力及分析推理計算能力. (2)本題的關(guān)鍵是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要聯(lián)想到韋達定理,再利用韋達定理解答. 例6.【2018年江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為． （1）求橢圓C及圓O的方程； （2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P． ①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標； ②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程． 【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為 （2）①點P

11、的坐標為；②直線l的方程為 詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為． 點P的坐標為．②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以．因為，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標為．綜上，直線l的方程為． 例7. 【2018年新課標I卷文】設(shè)拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點． （1）當與軸垂直時，求直線的方程； （2）證明：． 【答案】(1) y=或． (2)見解析. （2）當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．當l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N

12、（x2， y2），則x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直線BM，BN的斜率之和為．① 將，及y1+y2，y1y2的表達式代入①式分子，可得 ．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM+∠ABN．綜上，∠ABM=∠ABN． 例8.【河南省洛陽市2018屆三模】已知拋物線，點，在拋物線上，且橫坐標分別為，，拋物線上的點在，之間（不包括點，點），過點作直線的垂線，垂足為. （1）求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 【答案】(1);(2). 【解析】分析：（1）設(shè)，得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍得出的范圍；（2）

13、根據(jù)，的方程得出點坐標，根據(jù)距離公式計算，，得出關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出最大值． 詳解：（1）由題可知，，設(shè)，，所以 ，故直線斜率的取值范圍是. ，則 ，當時，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即的最大值為. 例9.【2018屆安徽省合肥市第一中學(xué)沖刺高考最后1卷】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，短軸長為. （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)為橢圓的左頂點，為橢圓上位于軸上方的點，直線交軸于點，點在軸上，且，設(shè)直線交橢圓于另一點，求的面積的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）根據(jù)離心率為，短軸長為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于

14、、 、的方程組，求出 、 、，即可求得橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立消解得或，則，同理可得，的面積. 詳解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的標準方程為. （2）由題可設(shè)直線的方程為，則，又且，所以，所以直線的方程為，則，聯(lián)立消去并整理得 點睛：求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單. 例10.【2018屆福建省三明市5月測試】在平面直角坐標系中，已知，若

15、直線⊥于點，點是直線上的一動點，是線段的中點，且，點的軌跡為曲線． （1）求曲線的方程； （2）過點作直線交于點，交軸于點，過作直線，交于點．試判斷是否為定值？若是，求出其定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1） ；（2）2 【解析】分析：（1）設(shè)，由題意得 ，由，得到曲線的方程； （2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ，因為，所以的方程為，聯(lián)立方程分別求出，，即可作出判斷. 詳解：（1）設(shè)，由題意得 ， 所以， 所以，化簡得， 由　解得， 所以，，， 所以＝2． 【精選精練】 1．【2018年四川省成都市高考模擬一】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過

16、點且斜率為的直線與雙曲線的兩漸近線分別交于點,并且,則雙曲線的離心率為( ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】分析：由題意，雙曲線 的左焦點和漸近線方程為，求得過焦點且斜率為的直線方程為，聯(lián)立方程組，解得的坐標，根據(jù)，所以，即，求解的關(guān)系式，即可求解雙曲線的離心率. ‘ 所以點的坐標為， 又因為，所以，則，所以， 可得，整理得， 所以雙曲線的離心率為，故選A. 2.【2018屆遼寧省大連市二?！吭O(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于兩點，則周長的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】

17、C 3．【2018屆安徽省江南十校二?！恳阎p曲線：的左右焦點為、，過焦點且與漸近線平行的直線與雙曲線相交于點，則的面積為__________． 【答案】 【解析】分析：先求出漸近線方程，然后求出過一個焦點且與漸近線平行的直線方程，代入雙曲線方程求得交點M的坐標，從而可得三角形面積． 詳解：雙曲線的焦點為，漸近線方程為， 過與一條漸近線平行的直線方程為，由得，即，∴． 故答案為． 4．【2018屆安徽省宿州市第三次檢測】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準線于點，若，，則__________． 【答案】1或3 結(jié)合可得：， 直線的方程為：，

18、 與拋物線方程整理可得：， 則：，結(jié)合可得： ，則； 當點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：， 代入拋物線方程可得：， 綜上可得，p的值為1或3. 5．【2018屆河南省商丘市夏邑縣第一高級中學(xué)二輪調(diào)研】已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點，，射線，分別交拋物線于異于點的點，，若，，三點共線，則__________． 【答案】 【解析】分析：求出所在的直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，分別求出的坐標，再由， 6．【2018屆河南省新鄉(xiāng)市三?！恳阎獟佄锞€的焦點為為坐標原點，點，射線分別交拋物線于異于點的點，若三點共線，則的值為__________． 【答案】2 【解析】分

19、析：由題意聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得A,B兩點的坐標，然后利用斜率相等得到關(guān)于p的 又，所以，， 因為A，B，F(xiàn)三點共線，所以kAB=kBF，即，解得p=2. 7．【2018屆江蘇省揚州樹人學(xué)校模擬（四）】在平面直角坐標系中，橢圓：（）的短軸長為，離心率為． （1）求橢圓的方程； （2）已知為橢圓的上頂點，點為軸正半軸上一點，過點作的垂線與橢圓交于另一點，若，求點的坐標． 【答案】(1) .(2) . 詳解：（1）因為橢圓的短軸長為，離心率為， 所以解得 所以橢圓的方程為． （2）因為為橢圓的上頂點，所以． 設(shè)（），則. 又， 所以， 所以， 解得.

20、 所以點的坐標為． 8．【2018屆河南省洛陽市第三次統(tǒng)一考試】已知拋物線，點，在拋物線上，且橫坐標分別為，，拋物線上的點在，之間（不包括點，點），過點作直線的垂線，垂足為. （1）求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 【答案】(1);(2). 【解析】分析：（1）設(shè)，得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍得出的范圍； （2）根據(jù)，的方程得出點坐標，根據(jù)距離公式計算，，得出關(guān)于的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出最大值． 詳解： （1）由題可知，，設(shè)，，所以 ，故直線斜率的取值范圍是. （2）直線，直線，聯(lián)立直線，方程可知點的橫坐標為 故，即的最大值為. 9．【2018屆湖南省

21、湘潭市四?！恳阎c是拋物線：上一點，且到的焦點的距離為． （1）求拋物線的方程； （2）若是上一動點，且不在直線：上，交于，兩點，過作直線垂直于軸且交于點，過作的垂線，垂足為．證明：． 【答案】(1)；(2)證明見解析. 【解析】分析：（1）利用已知條件，布列關(guān)于與的方程組，從而得到A的坐標以及P，即可得到拋物線方程； （2）由（1）知，聯(lián)立得4x2﹣16x﹣9=0，求出E，F(xiàn)坐標，設(shè)出P的坐標，然后轉(zhuǎn)化求 ∴． 設(shè)（，且），則的橫坐標為，易知在上，則． 由題可知：，與聯(lián)立可得， 所以， 則，故． 10．【2018屆山東省煙臺市高考適應(yīng)性練習(xí)（二）】已知橢圓，點在橢圓上，

22、過的焦點且與長軸垂直的弦的長度為. （1）求橢圓的標準方程； （2）過點作兩條相交直線，與橢圓交于兩點（點在點的上方），與橢圓交于兩點（點在點的上方），若直線的斜率為，，求直線的斜率. 【答案】(1) . (2) . 詳解：（1）由已知得：， 解得,. 故橢圓的方程為. （2）由題設(shè)可知:的直線方程為. 聯(lián)立方程組，整理得:. . ∴. ∵，∴， 即.

23、 ∴. ∴. 解得，∴. 故直線的斜率為. 點睛：本題主要考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段比，線段比轉(zhuǎn)化為坐標比，進而利用設(shè)而不求的思想，利用直線和橢圓聯(lián)立，借助韋達定理處理即可. 11．【2018屆安徽省合肥市三?！恳阎獟佄锞€()的焦點為，以拋物線上一動點為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓的面積最小值為. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)當點的橫坐標為1且位于第一象限時，過作拋物線的兩條弦，且滿足.若直線AB恰好與圓相切，求直線AB的方程. 【答案】(1);(2). 【解析】分析：(Ⅰ)由拋物線的性質(zhì)知，當圓心位于拋物線的頂點時，圓的面積最小，由可得的值；(

24、Ⅱ)依橫坐標相等可得，軸，，設(shè)()，則直線的方程為，代入拋物線的方程得，利用韋達定理求出的坐標，同理求出的坐標，求出的斜率為定值，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑，列方程解得，從 設(shè)()，則直線的方程為，∴， 代入拋物線的方程得，，∴， ∴. 將換成，得， ∴. 設(shè)直線的方程為，即. 由直線與圓相切得，，解得. 經(jīng)檢驗不符合要求，故舍去. ∴所求直線的方程為. 點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查學(xué)生理解力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)

25、立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單. 12．【2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】如圖，橢圓的離心率為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1，點，，分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點的直線交橢圓于點，交軸于點，直線與直線交于點． （1）求橢圓的標準方程； （2）若，求直線的方程； （3）求證：為定值． 【答案】(1) .(2) 或.(3)見解析. 【解析】分析: (1) 由橢圓的離心率為，焦點到對應(yīng)準線的距離為1,列方程組解方程組即得橢圓的標準方程.(2)先求出點D的坐標，再根據(jù)點C，D的坐標求直線l的斜率，即得直線l的方程. (3) 設(shè)D坐標為(x3，y3）,先求出直線BD和AC的方程，再聯(lián)立兩個方程化簡即得=2為定值. 代入橢圓方程得或，所以或， 所以或. 所以的方程為：或. （3）設(shè)D坐標為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線的方程， 聯(lián)立橢圓方程得：解得,. 由 ，得直線BD的方程：，