2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關系與基本不等式章末復習學案 北師大版選修4-5

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1、第一章 不等關系與基本不等式章末復習學習目標1.梳理本章的重要知識要點，構建知識網(wǎng)絡.2.進一步強化對平均值不等式的理解和應用，尤其注意等號成立的條件.3.鞏固對絕對值不等式的理解和掌握，進一步熟練絕對值不等式的應用.4.熟練掌握不等式的證明方法1實數(shù)的運算性質與大小順序的關系：abab0，abab0，abab0，由此可知要比較兩個實數(shù)的大小，判斷差的符號即可2不等式的4個基本性質及5個推論3絕對值不等式(1)絕對值不等式的解法解含絕對值的不等式的基本思想是通過去掉絕對值符號，把含絕對值的不等式轉化為一元一次不等式或一元二次不等式去絕對值符號常見的方法有：根據(jù)絕對值的定義；分區(qū)間討論(零點分段

2、法)；圖像法(2)絕對值三角不等式|a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點到原點的距離，|ab|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點間的距離；|ab|a|b|(a，bR，ab0時等號成立)；|ac|ab|bc|(a，b，cR，(ab)(bc)0時等號成立)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0)4平均值不等式(1)定理1：若a，bR，則a2b22ab(當且僅當ab時取“”)(2)定理2：若a，bR，則(當且僅當ab時取“”)(3)定理3：若a，b，cR，則a3b3c33

3、abc(當且僅當abc時取“”)(4)定理4：若a，b，cR，則(當且僅當abc時取“”)(5)推論：若a1，a2，anR，則.當且僅當a1a2an時取“”5不等式的證明方法(1)比較法(2)分析法(3)綜合法(4)反證法(5)幾何法(6)放縮法類型一絕對值不等式的解法例1解下列關于x的不等式(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.解(1)方法一|x1|x3|，兩邊平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1.原不等式的解集為x|x1方法二分段討論：當x1時，有x1x3，此時x；當1x3時，有x1x3，即x1，此時1x3；當x3時，有x1x3，x3.原不等式解集為x|x1(2)分段討論：

4、當x時，原不等式變形為2x2x52x，解得x7，不等式解集為.當x2時，原不等式變形為2x2x52x，解得x，不等式解集為.當x2時，原不等式變形為x22x52x，解得x，原不等式無解綜上可知，原不等式的解集為.反思與感悟含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內的代數(shù)式在每一個區(qū)間的符號，轉化為不含絕對值的不等式去解這種方法通常稱為零點分段法跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2xa

5、)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解(1)當a2時，f(x)|x4|當x2時，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；當2x4時，f(x)4|x4|無解；當x4時，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以解得a3.類型二不等式的證明例2已知abcd，求證：.證明abcd，ab0，bc0，cd0，(ad)(ab)(bc)(cd)339.反思與感悟不等式證明的基本方法是比較法，分析法，綜合法，在證明時注意對所證不等式恰

6、當分組，選擇適當?shù)姆椒ㄟM行證明跟蹤訓練2已知a，b，cR，且abbcca1，求證：(1)abc；(2)()證明(1)要證abc，由于a，b，cR，因此只需證(abc)23，即證a2b2c22(abbcca)3，根據(jù)條件，只需證a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2可知，原不等式成立(2)，在(1)中已證abc，要證原不等式成立，只需證，abbcca1，即證abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(當且僅當abc時取等號)成立，原不等式成立類型三利用平均值不等式求最值例3已知x，y，zR，x2y3z0，則的最小值為_答案3解析由x2y3z0，得y，則3，

7、當且僅當x3z時取“”反思與感悟利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型(1)當和為定值時，積有最大值(2)當積為定值時，和有最小值，在具體應用基本不等式解題時，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”跟蹤訓練3當0x時，函數(shù)f(x)的最小值為_答案4解析f(x)，x，cos x0，sin x0.故f(x)24，當且僅當tan x時取“”類型四恒成立問題例4設函數(shù)f(x)|x1|x4|a.(1)當a1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)1對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x4|1|x14x|14，f(x)min4.(2)f(x)1對任意的

8、實數(shù)x恒成立|x1|x4|1a對任意的實數(shù)x恒成立a4.當a0時，上式成立；當a0時，a24，當且僅當a，即a2時上式取等號，此時a4成立綜上，實數(shù)a的取值范圍為(，0)2反思與感悟不等式恒成立問題，通常是分離參數(shù)，將其轉化為求最大、最小值問題當然，根據(jù)題目特點，還可能用變更主次元、數(shù)形結合等方法跟蹤訓練4已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若|f(x)2f|k恒成立，求k的取值范圍解(1)由|ax1|3，得4ax2，f(x)3的解集為x|2x1，當a0時，不合題意又當a0時，x，a2.(2)令h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，h(x)

9、|h(x)|1，k1，即k的取值范圍是1，)1給出下列四個命題：若ab，c1，則algcblgc；若ab，c0，則algcblgc；若ab，則a2cb2c；若ab0，c0，則.其中正確命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析正確，c1，lg c0；不正確，當0c1時，lg c0；正確，2c0；正確，由ab0，得0，故.2設a，b為正實數(shù)，以下不等式恒成立的是()；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2.ABCD答案D解析不恒成立，因為ab時取“”；恒成立，因為a，b均為正數(shù)；不恒成立，當a2，b1時，a2b25,4ab3b25，a2b24ab3b2.是恒成立的，因為ab22.3若a，b，

10、c，則()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b，c，3553，bc.a，c，3225，ac.bac，故選C.4求不等式1的解集解111x1原不等式的解集為(2,0)5若不等式|xa|x2|1對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解設y|xa|x2|，則ymin|a2|.因為不等式|xa|x2|1對任意xR恒成立所以|a2|1，解得a3或a1.1本章的重點是平均值不等式、絕對值不等式和不等式的證明方法要特別注意含絕對值不等式的解法2重點題型有利用不等式的基本性質、平均值不等式、絕對值不等式證明不等式或求函數(shù)最值問題；解絕對值不等式3重點考查利用不等式的性質、平均值不等

11、式求函數(shù)的最值，含參數(shù)的絕對值不等式有解、解集是空集或恒成立問題4證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等證明不等式時既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學素養(yǎng)一、選擇題1a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2B.abC.D.答案C解析A滿足基本不等式；B可等價變形為(ab)2(ab)0，正確；B選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確2設0x1，則a，bx1，c中最大的是()

12、AcBbCaD隨x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3“a4”是“對任意實數(shù)x，|2x1|2x3|a成立”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件答案B解析|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，當a4時|2x1|2x3|a成立，即充分條件；對任意實數(shù)x，|2x1|2x3|aa4，不能推出a4，即必要條件不成立4若關于x的不等式|x1|kx恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A(，0 B1,0C0,1D0，)答案C解析作出y|x1|與l1：ykx的圖象如圖所示，當k0時，要使|x1|kx恒成立，只需k1.綜上可知k0,15設a(m21)(n24)，

13、b(mn2)2，則()AabBabCabDab答案D解析ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，ab.6已知a，b，c，d為實數(shù)，ab0，則下列不等式中成立的是()AbcadBbcadC.D.答案B解析將兩邊同乘以正數(shù)ab，得bcad，所以bcad.二、填空題7已知不等式|x2|x|a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析|x2|x|x2x|2，2|x2|x|2，不等式|x2|x|a的解集不是空集，a2.8當x1時，x3與x2x1的大小關系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x2

14、1)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9定義運算“”：xy(x，yR，xy0)，當x0，y0時，xy(2y)x的最小值為_答案解析因為xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，當且僅當xy時等號成立10若f(x)2|x1|x1|且f(x)2，則x的取值范圍是_答案解析f(x)2x是增函數(shù)，f(x)2，即|x1|x1|，x1，x1，無解綜上x.11已知函數(shù)f(x)|xa|，若不等式f(x)3的解集為x|1x5，則實數(shù)a的值為_答案2解析由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2，所以實數(shù)a的值為2.三、解答題12已知函數(shù)f

15、(x)，ab，設a，bR，求證：|f(a)f(b)|ab|.證明方法一|f(a)f(b)|ab|ab|2|ab|22a2b22a22abb21ab0時，(1ab)2212aba2b21a2b2a2b22aba2b2，ab，2aba2b2成立式成立綜上知，原不等式成立方法二當ab時，原不等式顯然成立當ab時，|ab|，原不等式成立13(2017全國)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)當x1時，f(x)1無解；當1x2時，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當x2時，由f(x)1，解得x2.所以

16、f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2.當且僅當x時，|x1|x2|x2x，故m的取值范圍是.四、探究與拓展14設a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件證明(1)因為()2ab2，()2cd2，又abcd，abcd，所以()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因為abcd，所以abcd.由(1)得.若，則()2()2，即ab2cd2.因為abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，是|ab|cd|的充要條件15(2018全國)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集為.(2)當x(0,1)時，|x1|ax1|x成立等價于當x(0,1)時，|ax1|1成立若a0，則當x(0,1)時，|ax1|1；若a0，則|ax1|1的解集為，所以1，故0a2.綜上，a的取值范圍為(0,212