2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)（1）文（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)（1）文（含解析） 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距相等的 點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫 做拋物線的準(zhǔn)線 練習(xí)： 動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是。 A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線 2.拋物線的性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 范圍 對(duì)稱軸 軸 軸 焦半

2、徑 焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 頂點(diǎn) 離心率 焦準(zhǔn)距 焦準(zhǔn)距就是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的簡(jiǎn)稱，四種情形的焦準(zhǔn)距為 【例1】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，它與圓相交，公共弦的長(zhǎng)為，求該拋物線的方程，并寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程． 【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為． 設(shè)公共弦交軸于，則，且. ∵，∴，∴． ∵點(diǎn)在拋物線上，∴，即， 故拋物線的方程為或. 【變式】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）過(guò)點(diǎn)； （2）焦點(diǎn)在直線上． 【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為 ∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得． 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為 ∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，

3、解得． ∴拋物線的方程是或． （2）令，解得；令，解得；∴焦點(diǎn)是或． 當(dāng)焦點(diǎn)是時(shí)，則拋物線方程是． 當(dāng)焦點(diǎn)是時(shí)，則拋物線方程是． 【例2】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，準(zhǔn)線方程為 （2）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】（1）拋物線方程為，，，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 （2）法1.拋物線，，，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 ，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或 法2. 拋物線，，，焦點(diǎn) 設(shè)，則，解得， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或 【變式】如果，，…，是拋物線上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，是拋物線的焦點(diǎn)，若，則________． 【解析】由拋物線的定義

4、，知 所以. 又，，所以 【例3】已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，若拋物線上存在一點(diǎn)，使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， ∵，∴點(diǎn)在拋物線內(nèi)部， 拋物線準(zhǔn)線，如圖，， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)， 即點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同． ∴取得最小值，此時(shí)的坐標(biāo)為． 【變式1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，求取得最小值最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解析】如圖, ∴. 當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)， 即點(diǎn)橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同．∴． 【變式2】已知點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)到直線：的距離和到直線 的距離之和的

5、最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)的距離，如圖： ，∵的最小值就為點(diǎn)到直線的距離． ∴，故選C． 第66課 拋物線及其標(biāo)性質(zhì)（1）課后作業(yè) 1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A． B. C. D. 【答案】D 【解析】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，即，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意設(shè)拋物線方程為，又∵其準(zhǔn)線方程為，，所求拋物線方

6、程為.故選B. 3.若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A． B． C． D． 【解析】選A.直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故拋物線的準(zhǔn)線方程為 4.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是，則線段的長(zhǎng)是(　　) A． B． C． D． 【解析】由已知，得，，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線 設(shè)，，則 的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是，. 所以線段的長(zhǎng),故選B. 5. 拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，則到軸的距離為_(kāi)_______． 【解析】設(shè)，因拋物線的

7、準(zhǔn)線方程為，則，∴. 【答案】1 6．若拋物線過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______ 【解析】由題意可知，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，得.由拋物線的定義可知點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為. 【答案】 7. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【解析】焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或 8. 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）頂點(diǎn)是雙曲線的中心，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸；（2）過(guò)點(diǎn)（3）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交、兩點(diǎn)，且為等邊三角形

8、【解析】（1）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其左頂點(diǎn)為 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為 ∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得． 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為 ∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得． ∴拋物線的方程是或． （3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，在正三角形中，，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 9.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬多少米？ [解析]建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則A(2，－2)， 將其坐標(biāo)代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y. 當(dāng)水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)， 將其坐標(biāo)代入x2＝－2y得x＝6， ∴x0＝.∴水面寬|CD|＝2 m. 10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求到軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值 【解析】如圖所示，根據(jù)拋物線的定義有：到軸的距離與到點(diǎn)的距離之和，即，因此求距離之和的最小值可轉(zhuǎn)化為求的最小值，即為連線與拋物線相交時(shí)取得，因?yàn)椋缘捷S的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為