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1、2022年高考數(shù)學(xué) 課時(shí)48 拋物線(xiàn)練習(xí)（含解析）
1.已知拋物線(xiàn)x2=ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線(xiàn)y2-x2=2的焦點(diǎn),則a=( )
A.1 B.4 C.8 D.16
2.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是( )
A.x2=4y B.x2=-4y
C.y2=-12x D.x2=-12y
3.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線(xiàn)-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. B. C. D.
4.已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到此拋
2、物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離是d1,到直線(xiàn)x+2y-12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是( )
A.5 B.4 C. D.
5.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)上的3個(gè)點(diǎn)A,B,C的橫坐標(biāo)之比為3∶4∶5,則以|FA|,|FB|,|FC|為邊長(zhǎng)的三角形( )
A.不存在 B.必是銳角三角形
C.必是鈍角三角形 D.必是直角三角形
6.若點(diǎn)P到定點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡方程是( )
A.y2=-16x B.y2=-32x
C.y2=16x D.y2=16x或y=0(x<0)
7.以
3、拋物線(xiàn)x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程為 .?
8.過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3,則|BF|= .?
9.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M,N為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足NF=MN,則∠NMF= .?
10.如圖,F為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C在拋物線(xiàn)上,若=0,求||+||+||的值.
11.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),以x軸為對(duì)稱(chēng)軸,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線(xiàn),被拋物線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為8,試求拋物線(xiàn)方程.
12.(x
4、x廣東高考)已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線(xiàn)l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線(xiàn)l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線(xiàn)l上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)AB的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.
1．答案:C
解析:根據(jù)拋物線(xiàn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.
2．答案:D
解析:由題意得c==3,
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3).
∴該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方
5、程為x2=12y或x2=-12y.
3．答案:A
解析:由題意,得1+=5,∴p=8.∴m=4.∴M(1,4).
又A(-,0),∴直線(xiàn)AM的斜率為kAM=.
∴.∴a=.
4．答案:C
解析:設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,則F(1,0).
由拋物線(xiàn)的定義可知d1=|PF|,
∴d1+d2=|PF|+d2.
∴d1+d2的最小值為|PF|+d2的最小值,
即點(diǎn)F到直線(xiàn)x+2y-12=0的距離.
∴最小值為.
5．答案:B
解析:設(shè)A,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),
由拋物線(xiàn)定義得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|F
6、C|=+5k,易知三者能構(gòu)成三角形,|FC|所對(duì)角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形.
6．答案:C
解析:∵點(diǎn)F(4,0)在直線(xiàn)x+5=0的右側(cè),且P點(diǎn)到定點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1,∴點(diǎn)P到F(4,0)的距離與它到直線(xiàn)x+4=0的距離相等.故點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn),且頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向右,設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),則p=8.故點(diǎn)P的軌跡方程為y2=16x.
7．答案:x2+(y-4)2=64
解析:拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(0,4),準(zhǔn)線(xiàn)為y=-4,則圓心為(0,4),半徑長(zhǎng)r=8.所以,圓的方程為x2+(y-4)2=64.
7、
8．答案:
解析:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及拋物線(xiàn)定義可得,x1+1=3,
∴x1=2.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),
則直線(xiàn)AB的斜率為k==2.
∴直線(xiàn)AB的方程為y=2(x-1).
由消去y得,2x2-5x+2=0,
解得x1=2,x2=.∴|BF|=x2+1=.
9．答案:
解析:過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足是P,則有PN=NF,
∴PN=MN,∠NMF=∠MNP.
又cos∠MNP=,∴∠MNP=,即∠NMF=.
10．解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
∵F(1,0),
∴=(x1+x2+x3-3,y1+y2
8、+y3)=0,
∴
∴||+||+||=x1++x2++x3+=3+3=6.
11．解:如圖,依題意可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),則直線(xiàn)方程為y=-x+p.
設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1,y1),B(x2,y2),
則由拋物線(xiàn)定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1++x2+=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn),
由
消去y,得x2-3px+=0,
∴x1+x2=3p.將其代入①,得p=2.
∴所求拋物線(xiàn)方程為y2=4x.
當(dāng)拋物線(xiàn)方程設(shè)為y2=-2px時(shí),同理可求得拋物線(xiàn)方程為y2=-4x
9、.
12．解:(1)依題意,設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為x2=4cy,
由,結(jié)合c>0,
解得c=1.
所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為x2=4y.
(2)拋物線(xiàn)C的方程為x2=4y,
即y=x2,求導(dǎo)得y'=x,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則切線(xiàn)PA,PB的斜率分別為x1,x2,
所以切線(xiàn)PA的方程為y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,
即x1x-2y-2y1=0,
同理可得切線(xiàn)PB的方程為x2x-2y-2y2=0,
因?yàn)榍芯€(xiàn)PA,PB均過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.
所以(x1,y1),(x2,y2)為
10、方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.
所以直線(xiàn)AB的方程為x0x-2y-2y0=0.
(3)由拋物線(xiàn)定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
聯(lián)立方程
消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=-2y0+1.
又點(diǎn)P(x0,y0)在直線(xiàn)l上,所以x0=y0+2.
所以-2y0+1=2+2y0+5=2.
所以當(dāng)y0=-時(shí),|AF|·|BF|取得最小值,且最小值為.
2022年高考數(shù)學(xué) 課時(shí)48 拋物線(xiàn)練習(xí)（含解析）
