2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運(yùn)算

2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運(yùn)算最新考綱1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算知 識(shí) 梳 理1元素與集合(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號(hào)語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一個(gè)元素均為B中的元素AB真子集A中任意一個(gè)元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形語言符號(hào)語言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA4.集合的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABBA；ABAAB.補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.診 斷 自 測1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)精彩PPT展示(1)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，Cy|yx2，則ABC.(×)(2)若x2,10,1，則x0,1.(×)(3)已知集合Ax|mx1，B1,2，且AB，則實(shí)數(shù)m1或m.(×)(4)含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n2.()2(xx·新課標(biāo)全國卷)已知集合Mx|1x3，Nx|2x1，則MN()A(2,1)B(1,1) C(1,3)D(2,3)解析借助數(shù)軸求解.由圖知：MN(1,1)答案B3(xx·遼寧卷)已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，則集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1解析借助數(shù)軸求得：ABx|x0或x1，U(AB)x|0x1答案D4已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，則AB的元素個(gè)數(shù)為()A0B1 C2D3解析集合A表示的是圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合B表示的是直線yx，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即AB的元素個(gè)數(shù)為2.答案C5(人教A必修1P12A10改編)已知集合Ax|3x7，Bx|2x10，則(RA)B_.解析RAx|x3或x7，(RA)Bx|2x3或7x10答案x|2x3或7x10考點(diǎn)一集合的含義【例1】 (1)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個(gè)數(shù)是()A1B3 C5D9(2)若集合AxR|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a()A4B2 C0D0或4解析(1)xy2，1,0,1,2，其元素個(gè)數(shù)為5.(2)由ax2ax10只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得當(dāng)a0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，則a24a0，解得a4(a0不合題意舍去)答案(1)C(2)A規(guī)律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合(2)集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性【訓(xùn)練1】 已知aR，bR，若a2，ab,0，則a2 016b2 016_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 016b2 0161.答案1考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，則m_.解析(1)當(dāng)B時(shí)，有m12m1，則m2.當(dāng)B時(shí)，若BA，如圖深度思考(1)你會(huì)用這些結(jié)論嗎？ABABA，ABAAB，(UA)BBA；(2)你考慮到空集了嗎？則解得2<m4.綜上，m的取值范圍是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時(shí)成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗(yàn)知m1和m2符合條件m1或2.答案(1)(，4(2)1或2規(guī)律方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題【訓(xùn)練2】 (1)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，則下列結(jié)論正確的是()AABBAB CABDBA(2)已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析(1)Ax|x3，Bx|x2，結(jié)合數(shù)軸可得：BA.(2)由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|xa，由于AB，如圖所示，則a4.答案(1)D(2)(4，)考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算【例3】 (1)(xx·新課標(biāo)全國卷)已知集合A2,0,2，Bx|x2x20，則AB()AB2 C0D2(2)(xx·江西卷)設(shè)全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(RB)()A(3,0)B(3，1) C(3，1D(3,3)解析(1)Bx|x2x201,2，A2,0,2，AB2(2)Ax|x290x|3x3，Bx|1x5，RBx|x1或x5，A(RB)x|3x3x|x1或x5x|3x1答案(1)B(2)C規(guī)律方法(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡化.【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為()A1,2,4B2,3,4 C0,2,4D0,2,3,4(2)(xx·四川卷)已知集合Ax|(x1)(x2)0，集合B為整數(shù)集，則AB()A1,0B0,1C2，1,0,1D1,0,1,2解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)Ax|1x2，B為整數(shù)集，AB1,0,1,2答案(1)C(2)D微型專題集合背景下的新定義問題以集合為背景的新定義問題，集合只是一種表述形式，實(shí)質(zhì)上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力解決此類問題，要從以下兩點(diǎn)入手：(1)正確理解創(chuàng)新定義分析新定義的表述意義，把新定義所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎(chǔ)(2)合理利用集合性質(zhì)運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì)【例4】 (xx·青島質(zhì)檢)設(shè)集合M，N，且M，N都是集合0|0x1的子集，如果把ba叫作集合x|axb的“長度”，那么集合MN的“長度”的最小值是()A.B C.D點(diǎn)撥先理解集合的“長度”，然后求MN的“長度”的最小值解析由已知，可得即0m；即n1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N.所以MN.此時(shí)集合MN的“長度”的最小值為.故選C.答案C點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)是理解集合的“長度”，解題時(shí)緊扣新定義與基礎(chǔ)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，把此類問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.思想方法1在解題時(shí)經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點(diǎn)；另一方面，在解答完畢時(shí)，注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確2求集合的子集(真子集)個(gè)數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言；其次，當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，常利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個(gè)數(shù)的好方法，使用時(shí)應(yīng)做到不重不漏3對(duì)于集合的運(yùn)算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)易錯(cuò)防范1集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合)，要對(duì)集合進(jìn)行化簡2空集不含任何元素，但它是存在的，在利用AB解題時(shí)，若不明確集合A是否為空集時(shí)應(yīng)對(duì)集合A的情況進(jìn)行分類討論如例2(1)“錯(cuò)解1：由解得3m4；錯(cuò)解2：由解得2m4，錯(cuò)因都是對(duì)集合Bx|m1x2m1”認(rèn)識(shí)不清3Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1(xx·湖北卷)已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，則UA()A1,3,5,6B2,3,7C2,4,7D2,5,7解析UAx|xU且xA2,4,7答案C2(xx·廣州綜合測試)已知集合A0,1,2,3，Bx|x2x0，則集合AB的子集個(gè)數(shù)為()A2B4 C6D8解析Bx|x2x00,1，AB0,1，AB的子集個(gè)數(shù)為4.答案B3(xx·貴陽監(jiān)測)若集合Ax|x21，Bx|x23x20，則集合AB()A1B1,2C1,1,2D1,1，2解析A1,1，B1,2，AB1,1,2答案C4(xx·山東卷)設(shè)集合Ax|x22x0，Bx|1x4，則AB()A(0,2B(1,2)C1,2)D(1,4)解析Ax|x22x0x|0x2，Bx|1x4，ABx|0x2x|1x4x|1x2答案C5(xx·武漢檢測)設(shè)集合Px|x1，Qx|x2x0，則下列結(jié)論正確的是()APQBQPCPQDPQR解析由集合Qx|x2x0，知Qx|x0或x1，所以PQ，故選A.答案A6設(shè)集合Ax|0x3，Bx|x1或x2，則AB()A(2,3B(，1)(0，)C(1,3D(，0)(2，)解析借助數(shù)軸得：AB(2,3答案A7已知集合Ax|x21，Bx|ax1，若BA，則實(shí)數(shù)a的取值集合為()A1,0,1B1,1C1,0D0,1解析因?yàn)锳1，1，當(dāng)a0時(shí)，B，適合題意；當(dāng)a0時(shí)，BA，則1或1，解得a1或1，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為1,0,1答案A8(xx·長沙模擬)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A1B2 C3D4解析A1,2，B1,2,3,4，ACB，則集合C可以為：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4故選D.答案D二、填空題9設(shè)全集UR，集合Ax|x0，Bx|x1，則集合(UB)A_.解析UBx|x1，(UB)Ax|0x1答案x|0x110設(shè)集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，則實(shí)數(shù)a的值為_解析由題意得a23，則a1.此時(shí)A1,1,3，B3,5，AB3，滿足題意答案111(xx·山東卷改編)已知集合A，B均為全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，則A(UB)_.解析由題意知AB1,2,3，又B1,2，UB3,4，A(UB)3答案312集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，則a的值為_解析根據(jù)并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案4能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)13(xx·皖南八校聯(lián)考)設(shè)集合M(x，y)|ylg x，Nx|ylg x，則下列結(jié)論中正確的是()AMNBMNCMNNDMNM解析因?yàn)镸為點(diǎn)集，N為數(shù)集，所以MN.答案B14已知集合A(x ，y)|ylog2x，B(x，y)|yx22x，則AB的元素有()A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)解析在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)ylog2x與yx22x的圖象，如圖所示：由圖可知ylog2x與yx22x圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則AB的元素有2個(gè)答案B15已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，c0，若AB，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A(0,1B1，)C(0,1)D(1，)解析Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0，c0(0，c)，因?yàn)锳B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c1.應(yīng)選B.答案B16已知Uy|ylog2x，x1，Py|y，x2，則UP_.解析Uy|ylog2x，x1y|y0，Py|y，x2y|0y，UPy|y答案y|y17已知集合Ax|1x5，Cx|axa3，若CAC，則a的取值范圍是_解析因?yàn)镃AC，所以CA.當(dāng)C時(shí)，滿足CA，此時(shí)aa3，得a；當(dāng)C時(shí)，要使CA，則解得a1.答案(，1