（文理通用）2022屆高考數學大二輪復習 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質、與弦有關的計算問題練習

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1、（文理通用）2022屆高考數學大二輪復習 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質、與弦有關的計算問題練習 A組 1．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線方程為( B ) A．y2＝6x　　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x [解析]　依題意，設M(x，y)，因為|OF|＝， 所以|MF|＝2p，即x＋＝2p， 解得x＝，y＝p. 又△MFO的面積為4，所以××p＝4， 解得p＝4.所以拋物線方程為y2＝8x. 2．若雙曲線－＝1(a>0

2、，b>0)和橢圓＋＝1(m>n>0)有共同的焦點F1、F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|＝ ( D ) A．m2－a2 B．－ C．(m－a) D．m－a [解析]　不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a. 3．(文)若雙曲線－＝1的一條漸近線經過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為( D ) A． B． C． D． [解析]　由題利用雙曲線的漸近線經過點(3，－4)，得到關于a，b的關系式，然后求

3、出雙曲線的離心率即可．因為雙曲線－＝1的一條漸近線經過點(3，－4)， ∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故選D． (理)已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( D ) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [解析]　根據圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設交點A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝

4、＝2b，解得b2＝12， 故所求的雙曲線方程為－＝1，故選D． 4．(2018·重慶一模)已知圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( D ) A．(1，) B．(1,2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞) [解析]　由題意，圓心到直線的距離d＝＝，所以k＝±， 因為圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C： －＝1(a>0，b>0)有兩個交點， 所以>，所以1＋>4，所以e>2. 5．(2018·濟南一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF

5、與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝( B ) A．　　 B．3　　　 C．　　 D．2 [解析]　如圖所示，因為＝4，所以＝，過點Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸， 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3. 6．(2018·泉州一模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與點C的一個交點為點B，若＝，則p＝2. [解析]　設直線AB：y＝x－，代入y2＝2px得： 3x2＋(－6－2p)x＋3＝0， 又因為＝，即M為A，B的中點， 所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，

6、 解得p＝2，p＝－6(舍去)． 7．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為－2. [解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．設P(x，y)(x≥1)，則·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以當x＝1時，函數f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為－2. 8．已知橢圓C：＋＝1，點M與橢圓C的焦點不重合．若M關于橢圓C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝12. [解析]　取MN的中點G，G在橢圓C上，

7、因為點M關于C的焦點F1，F2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12. 9．(2018·郴州三模)已知拋物線E：y2＝8x，圓M：(x－2)2＋y2＝4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C． (1)求曲線C的方程； (2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值． [解析]　(1)設P(x，y)，則點N(2x,2y)在拋物線E：y2＝8x上，所以4y2＝16x， 所以曲線C的方程

8、為y2＝4x. (2)設切線方程為y－y0＝k(x－x0)． 令y＝0，可得x＝x0－， 圓心(2,0)到切線的距離d＝＝2， 整理可得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0， 設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝，k1k2＝， 所以△QAB面積S＝|(x0－)－(x0－)|y0 ＝2·＝2 ＝2[(x0－1)＋＋2]． 設t＝x0－1∈[4，＋∞)， 則f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上單調遞增， 所以f(t)≥，即△QAB面積的最小值為. B組 1．若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是( C ) A．(，＋∞)

9、　 B．(，2 )　　 C．(1，)　 D．(1,2) [解析]　由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴1b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為( A ) A． B． C． D． [解析]　解法一：設E(0，m)，則直線AE的方程為－＋＝1，由題意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三點共線，則＝，化簡得a＝3c，則C

10、的離心率e＝＝. 解法二：如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 由PF⊥x軸得P(－c，)． 設E(0，m)， 又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， 所以e＝＝. 故選A． 3．(文)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為( B ) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可

11、取A(，2)，D(－，)，設O為坐標原點，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故選B． (理)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則( A ) A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．mn，又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故選A． 4．已知M(x0，y0)是曲線C：－y＝0上的一點，F是曲線C的焦點，過M作x軸的垂線，垂足為點N，若·

12、<0，則x0的取值范圍是( A ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(－1,1) [解析]　由題意知曲線C為拋物線，其方程為x2＝2y，所以F(0，)．根據題意，可知N(x0,0)，x0≠0，＝(－x0，－y0)，＝(0，－y0)，所以·＝－y0(－y0)<0，即0

13、知a＝3，b＝，c＝＝2，Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，則|AF|＝4.設橢圓的左焦點為F1，則△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(當且僅當A，P，F1三點共線，P在線段AF1的延長線上時取“＝”)．此時直線AF1的方程為＋＝1，與橢圓的方程為5x2＋9y2－45＝0聯立并整，得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，則△APF的周長最大時，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×|2＋|＝.故選B． 6．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與

14、C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為. [解析]　設雙曲線方程：－＝1(a>0，b>0)， 由題意可知，將x＝c代入，解得：y＝±， 則|AB|＝，由|AB|＝2×2a， 則b2＝2a2，所以雙曲線離心率e＝＝＝. 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為點C，若S△ABC＝3S△BCF2，則橢圓的離心率為. [解析]　如圖所示， 因為S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|. A(－c，)，直線AF2的方程為：y－0＝(x－c)， 化為

15、：y＝(x－c)，代入橢圓方程＋＝1(a>b>0)， 可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0， 所以xC·(－c)＝，解得xC＝. 因為＝2， 所以c－(－c)＝2(－c)， 化為：a2＝5c2，解得e＝. 8．設F1，F2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，AF1⊥AB且AF1＝AB，則橢圓C的離心率為－. [解析]　設|AF1|＝t，則|AB|＝t，|F1B|＝t，由橢圓定義有：|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以|AF1|＋|AB|＋|F1B|＝4a， 化簡得(＋2)t＝4a，t＝(

16、4－2)a， 所以|AF2|＝2a－t＝(2－2)a， 在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝(2c)2， 所以[(4－2)a]2＋[(2－2)a]2＝(2c)2， 所以()2＝9－6＝(－)2，所以e＝－. 9．(文)設F1、F2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率． [解析]　(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1， 又∵△ABF2的周長為16， ∴由

17、橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. ∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)設|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k， 由橢圓定義知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k， 在△ABF2中，由余弦定理得， |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)， ∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， ∴a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k， ∴|BF2|2＝|F2A|2＋|A

18、B|2 ∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1， ∴△AF1F2是等腰直角三角形， 從而c＝a，所以橢圓離心率為e＝＝. (理)設點F1(－c,0)，F2(c,0)分別是橢圓C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且·的最小值為0. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，動直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且僅有一個公共點，作F1M⊥l，F2N⊥l分別交直線l于M，N兩點，求四邊形F1MNF2面積S的最大值． [解析]　本題主要考查平面向量數量積的坐標運算、橢圓的方程及幾何性質、直線與橢圓的位置關系、基本不等式． (1)設P(x，y)，則＝(－c－x，－y)， ＝(

19、c－x，－y)， ∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2， x∈[－a，a]， 由題意得，1－c2＝0，c＝1，則a2＝2， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)將直線l的方程l：y＝kx＋m代入橢圓C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由直線l與橢圓C有且僅有一個公共點知 Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0， 化簡得：m2＝2k2＋1. 設d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝. ①當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，則|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|， ∴|MN|＝·|d1－d2|， ∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝， ∵m2＝2k2＋1，∴當k≠0時，|m|>1，|m|＋>2， 即S<2. ②當k＝0時，四邊形F1MNF2是矩形，此時S＝2. ∴四邊形F1MNF2面積S的最大值為2.