（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 高考達標檢測（十九）正、余弦定理的3個基礎點——邊角、形狀和面積 文

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 高考達標檢測（十九）正、余弦定理的3個基礎點——邊角、形狀和面積 文 一、選擇題 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B為銳角，則A∶B∶C＝(　　) A．1∶1∶3　　　　　　　 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1 解析：選B　因為a＝1，b＝，A＝30°，B為銳角， 所以由正弦定理可得sin B＝＝，則B＝60°， 所以C＝90°，則A∶B∶C＝1∶2∶3. 2．如果將直角三角形三邊增加相同的長度，則新三角形一定是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角

2、三角形 D．根據增加的長度確定三角形的形狀 解析：選A　設原來直角三角形的三邊長是a，b，c且a2＝b2＋c2，在原來的三角形三條邊長的基礎上都加上相同的長度，設為d，原來的斜邊仍然是最長的邊，故cos A＝＝>0，所以新三角形中最大的角是一個銳角，故選A. 3．(2018·太原模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，則下列關系一定不成立的是(　　) A．a＝c B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2 解析：選B　由余弦定理，得cos A＝＝＝，則A＝30°. 又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin

3、30°＝， 所以B＝60°或120°. 當B＝60°時，△ABC為直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立； 當B＝120°時，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立，故選B. 4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　如圖所示，設CD＝a，則易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝. 5．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a

4、，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C　因為2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 則由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab， 即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， 即＝4， 所以＝4， 解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)． 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2＋c2－a2＝bc，·>0，a＝，則b＋c的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　在△A

5、BC中，b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理可得cos A＝＝＝， ∵A是△ABC的內角，∴A＝60°. ∵a＝， ∴由正弦定理得＝＝＝＝1， ∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝sin B＋cos B ＝sin(B＋30°)． ∵·＝||·||·cos(π－B)>0， ∴cos B<0，B為鈍角， ∴90°

6、_____． 解析：將2ccos B＝2a＋b中的邊化為角可得 2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin Ccos B＋2sin Bcos C＋sin B． 則2sin Bcos C＋sin B＝0， 因為sin B≠0，所以cos C＝－，則C＝120°， 所以S＝absin 120°＝c，則c＝ab. 由余弦定理可得2＝a2＋b2－2abcos C≥3ab，則ab≥12， 當且僅當a＝b＝2時取等號，所以ab的最小值為12. 答案：12 8．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BD

7、C的面積是________，cos∠BDC＝________. 解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2， 由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝＝， 則sin∠ABC＝sin∠CBD＝， 所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝. 因為BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC， 則cos∠CDB＝ ＝. 答案：　 9．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． 解析：因為a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，

8、 所以(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C. 由正弦定理得b2＋c2－bc＝4， 又因為b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，當且僅當b＝c＝2時取等號，此時三角形為等邊三角形， 所以S＝bcsin 60°≤×4×＝， 故△ABC的面積的最大值為. 答案： 三、解答題 10．(2017·天津高考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)． (1)求cos A的值； (2)求sin(2B－A)的值． 解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b. 由ac＝(a2－b2

9、－c2)及余弦定理， 得cos A＝＝＝－. (2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝. 由(1)知，A為鈍角，所以cos B＝＝. 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝， 故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A ＝×－×＝－. 11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin B＝bcos A. (1)求角A的大??； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． 解：(1)因為asin B＝bcos A，由正弦定理得sin Asin B

10、＝sin Bcos A. 又sin B≠0，從而tan A＝. 由于00，所以c＝3. 故△ABC的面積S＝bcsin A＝. 法二：由正弦定理，得＝，從而sin B＝， 又由a>b，知A>B，所以cos B＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面積S＝absin C＝. 12．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin B·(aco

11、s B＋bcos A)＝ccos B. (1)求B； (2)若b＝2，△ABC的面積為2，求△ABC的周長． 解：(1)由正弦定理得， sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Ccos B， ∴sin Bsin(A＋B)＝sin Ccos B， ∴sin Bsin C＝sin Ccos B. ∵sin C≠0，∴sin B＝cos B，即tan B＝. ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)∵S△ABC＝acsin B＝ac＝2，∴ac＝8. 根據余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20， ∴a＋

12、c＝＝＝6， ∴△ABC的周長為6＋2. 1．在平面五邊形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，當五邊形ABCDE的面積S∈時，則BC的取值范圍為________． 解析：因為AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°， 由余弦定理可得BE＝＝3，且∠ABE＝∠AEB＝30°. 又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°. 又∠C＝120°，所以四邊形BCDE是等腰梯形． 易得三角形ABE的面積為， 所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是. 在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，則CD＝3－x，且梯形的高為

13、， 故梯形BCDE的面積為·(3＋3－x)·， 即15≤(6－x)x<24， 解得≤x<2或4