2、2＝λ，解得λ＝－3，所以雙曲線C的方程為－x2＝－3，即－＝1.
3．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上一點P使＝e，則·的值為( )
A．3 B．2
C．－3 D．－2
解析：選B 由題意得，在△PF1F2中，由正弦定理得，＝＝e＝2，又因為|PF1|－|PF2|＝2，結(jié)合這兩個條件得，|PF1|＝4，|PF2|＝2，由余弦定理可得cos∠F1F2P＝，則·＝2，故選B.
4．(2018·河南新鄉(xiāng)模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若＝2，且||＝4，
3、則雙曲線C的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選D 不妨設(shè)B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得×－＝1，
即·＝，∴＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴雙曲線C的方程為－＝1，故選D.
5．設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為( )
A. B．11
C．12 D．16
解析：選B 由題意，得所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|A
4、B|，顯然，當(dāng)AB垂直于x軸時其長度最短，|AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
6．(2018·河北武邑中學(xué)月考)實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．
解析：2a＝2,2b＝4.當(dāng)焦點在x軸時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1；當(dāng)焦點在y軸時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2－＝1.
答案：x2－＝1或y2－＝1
7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長AF2交雙曲線右支于點B，則△F1AB的面積等于________．
解析：由題意可
5、得|AF2|＝2，|AF1|＝4，則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，則|AB|＝|BF1|＝2，所以其面積為×2×2＝4.
答案：4
對點練(二) 雙曲線的幾何性質(zhì)
1．(2018·廣州模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 依題意知＝2，∴雙曲線C的離心率e＝＝＝ ＝.故選B.
2．(2018·安徽黃山模擬)若圓(x－3)2＋y2＝1上只有一點到雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一
6、條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 不妨取漸近線為bx＋ay＝0，由題意得圓心到漸近線bx＋ay＝0的距離d＝＝2，化簡得b＝c，∴b2＝c2，∴c2＝a2，∴e＝＝，故選A.
3．(2018·湖北四地七校聯(lián)考)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過點F1及虛軸的一個端點，且點F2到直線l的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選D 設(shè)虛軸的一個端點為B，則S△F1BF2＝b×2c＝a×，即b×2c＝a×，∴4c2(c2－a2)＝a2(－a2＋2c2)，∴
7、4e4－6e2＋1＝0，解得e2＝，∴e＝(舍負(fù))．故選D.
4．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B, C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為( )
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：選C 由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.
5．(2018·江西五市部分學(xué)校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為(1,0)，若雙曲線上存在點P，使得P到y(tǒng)軸與到x軸的距離的
8、比值為2，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：選D 法一：由雙曲線的焦點為(1,0)，可知c＝1.由雙曲線上存在點P，使得P到y(tǒng)軸與到x軸的距離的比值為2，可知>，所以8b2>a2，即8(1－a2)>a2，所以0a2，可知8b2>a2，即8(1－a2)>a2，所以00，b>0)的兩個焦點，
9、若在雙曲線上存在點P滿足2|＋|≤||，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A．(1，] B．(1,2]
C．[，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：選D 設(shè)O為坐標(biāo)原點，由2|＋|≤||，得4||≤2c(2c為雙曲線的焦距)，∴||≤c，又由雙曲線的性質(zhì)可得||≥a，于是a≤c，∴e≥2.故選D.
7．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F1作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A，B，若＝，則雙曲線的漸近線方程為________________．
解析：由得x＝－，由
解得x＝，不妨設(shè)xA＝－，xB＝，
由＝可得－＋c＝＋，
整理得b＝3a.
所以雙
10、曲線的漸近線方程為3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
8．(2018·安徽池州模擬)已知橢圓＋＝1的右焦點F到雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的漸近線的距離小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍是________．
解析：橢圓＋＝1的右焦點F為(2,0)，
不妨取雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為bx＋ay＝0，
則焦點F到漸近線bx＋ay＝0的距離d＝<，
即有2b1，∴1
11、離心率為，且過點(4，－)．點M(3，m)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求證：·＝0；
(3)求△F1MF2的面積．
解：(1)∵e＝，
∴雙曲線的實軸、虛軸相等．
則可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.
∵雙曲線過點(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴雙曲線方程為－＝1.
(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，
則＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
12、
∴△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
2．(2018·湛江模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)．
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．
解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以雙曲線方程為－＝1.
(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，
所以x0＝y(tǒng)0，①
依
13、題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
所以x0＝c，所以點A的坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因為a2＋b2＝c2，
所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因為e>1，所以e＝，
所以雙曲線的離心率為.
3．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點．
(1)求雙曲線C2的方程；
(2)若直線l：
14、y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·＞2，求k的取值范圍．
解：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故雙曲線C2的方程為－y2＝1.
(2)將y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，
得
∴k2＜1且k2≠.①
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范圍為∪.
（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時達標(biāo)檢測（四十一）雙曲線 文
