（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測（三十八）圓的方程 文

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測（三十八）圓的方程 文 對點練(一)　圓的方程 1．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：選A　直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)． 根據(jù)題意，圓C的圓心坐標為(－1,0)． 因為圓與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即r＝d＝＝， 則圓的方程為(x＋1)2＋y2＝2.故選A. 2．(2018·河

2、北唐山模擬)圓E經過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為(　　) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 解析：選C　根據(jù)題意，設圓E的圓心坐標為(a,0)(a>0)，半徑為r，即圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝r2， 則有解得a＝，r2＝， 則圓E的標準方程為2＋y2＝.故選C. 3．(2018·河北邯鄲聯(lián)考)以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0同時相切的圓的標準方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1

3、)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 解析：選A　因為兩平行直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0的距離為d＝＝2.故所求圓的半徑為r＝，所以圓心(a,1)到直線2x－y＋4＝0的距離為＝，即a＝1或a＝－4.又因為圓心(a,1)到直線2x－y－6＝0的距離也為r＝，所以a＝1.因此所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.故選A. 4．已知直線l：x＋my＋4＝0，若曲線x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在兩點P，Q關于直線l對稱，則m的值為(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：選D　因為曲線x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圓，其標準方程為(x

4、＋3)2＋(y－1)2＝9，若圓(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在兩點P，Q關于直線l對稱，則直線l：x＋my＋4＝0過圓心(－3,1)，所以－3＋m＋4＝0，解得m＝－1. 5．已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則圓的方程為____________________． 解析：依題意，直線AC的方程為＝，化為一般式方程為x＋2y－4＝0.點O到直線x＋2y－4＝0的距離d＝＝>1.又因為|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝，所以原點為圓心的圓若與△ABC有唯一的公共點，則公共點為(0，－1)或(

5、6，－1)，故圓的半徑為1或，則圓的方程為x2＋y2＝1或x2＋y2＝37. 答案：x2＋y2＝1或x2＋y2＝37 6．(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________________． 解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 對點練(二)　與圓的方程有關的綜合問題 1．(2018·湖南長沙模擬)圓x2

6、＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 解析：選A　將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝＋1. 2．(2018·廣東七校聯(lián)考)圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關于直線ax－by＋3＝0(a>0，b>0)對稱，則＋的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D. 解析：選D　由圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其標準方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圓x2＋y2＋2x－6y＋

7、1＝0關于直線ax－by＋3＝0(a>0，b>0)對稱，∴該直線經過圓心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，當且僅當＝，即a＝b＝時取等號，故選D. 3．(2018·安徽安慶模擬)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析：選D　由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖．因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥C

8、Q，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D. 4．已知A(0,3)，B，P為圓C：x2＋y2＝2x上的任意一點，則△ABP面積的最大值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　化圓為標準方程得(x－1)2＋y2＝1，因為A(0，3)，B，所以|AB|＝＝3，直線AB的方程為x＋y＝3，所以圓心到直線AB的距離d＝＝.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點到直線AB的最大距離為＋1，故△ABP面積的最大值為Smax＝×(＋1)×3＝. 5．已知A，B是圓O：x2＋y

9、2＝16上的兩點，且|AB|＝6，若以AB的長為直徑的圓M恰好經過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是________________． 解析：設圓心M坐標為(x，y)，則(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9 6．(2018·北京東城區(qū)調研)當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓的面積取最大值時，直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α＝________. 解析：由題意知，圓的半徑r＝＝≤1，當半徑r取最大值時，圓的面積最大，此時k＝0，r＝1，所以直線方程為y＝－x＋2，則有tan α＝－1，又α∈[0，π)，

10、故α＝. 答案： 7．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內部所覆蓋，則圓C的方程為____________________． 解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構成的三角形及其內部，所以覆蓋它的面積最小的圓是其外接圓． ∵△OPQ為直角三角形， ∴圓心為斜邊PQ的中點(2,1)，半徑r＝＝， 因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 [大題綜合練——遷移貫通] 1．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C

11、和D，且|CD|＝4. (1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程． 解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標為(1,2)．則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)設圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0.① 又∵直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2， ∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得或 ∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 2．在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2 的圓C與直線y＝x相切于坐標原點O. (1)求圓

12、C的方程； (2)試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到定點F(4,0) 的距離等于線段OF的長？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)設圓C的圓心為C(a，b)， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8. 因為直線y＝x與圓C相切于原點O， 所以O點在圓C上，且OC垂直于直線y＝x， 于是有解得或 由于點C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假設存在點Q符合要求，設Q(x，y)， 則有解得x＝或x＝0(舍去)． 所以存在點Q，使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長． 3．

13、已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值． 解：(1)設圓心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)， 則解得則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令x＝cos θ，y＝sin θ， 所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 又min＝－1， 所以·的最小值為－4.