（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十八）圓的方程 文

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1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十八）圓的方程 文 對(duì)點(diǎn)練(一)　圓的方程 1．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：選A　直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)． 根據(jù)題意，圓C的圓心坐標(biāo)為(－1,0)． 因?yàn)閳A與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即r＝d＝＝， 則圓的方程為(x＋1)2＋y2＝2.故選A. 2．(2018·河

2、北唐山模擬)圓E經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 解析：選C　根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，半徑為r，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2， 則有解得a＝，r2＝， 則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.故選C. 3．(2018·河北邯鄲聯(lián)考)以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1

3、)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 解析：選A　因?yàn)閮善叫兄本€2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0的距離為d＝＝2.故所求圓的半徑為r＝，所以圓心(a,1)到直線2x－y＋4＝0的距離為＝，即a＝1或a＝－4.又因?yàn)閳A心(a,1)到直線2x－y－6＝0的距離也為r＝，所以a＝1.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.故選A. 4．已知直線l：x＋my＋4＝0，若曲線x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的值為(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：選D　因?yàn)榍€x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x

4、＋3)2＋(y－1)2＝9，若圓(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l：x＋my＋4＝0過(guò)圓心(－3,1)，所以－3＋m＋4＝0，解得m＝－1. 5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原點(diǎn)為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點(diǎn)，則圓的方程為_(kāi)___________________． 解析：依題意，直線AC的方程為＝，化為一般式方程為x＋2y－4＝0.點(diǎn)O到直線x＋2y－4＝0的距離d＝＝>1.又因?yàn)閨OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝，所以原點(diǎn)為圓心的圓若與△ABC有唯一的公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)為(0，－1)或(

5、6，－1)，故圓的半徑為1或，則圓的方程為x2＋y2＝1或x2＋y2＝37. 答案：x2＋y2＝1或x2＋y2＝37 6．(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_______________． 解析：因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 對(duì)點(diǎn)練(二)　與圓的方程有關(guān)的綜合問(wèn)題 1．(2018·湖南長(zhǎng)沙模擬)圓x2

6、＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 解析：選A　將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝＋1. 2．(2018·廣東七校聯(lián)考)圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則＋的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D. 解析：選D　由圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圓x2＋y2＋2x－6y＋

7、1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，∴該直線經(jīng)過(guò)圓心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時(shí)取等號(hào)，故選D. 3．(2018·安徽安慶模擬)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析：選D　由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖．因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥C

8、Q，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D. 4．已知A(0,3)，B，P為圓C：x2＋y2＝2x上的任意一點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋y2＝1，因?yàn)锳(0，3)，B，所以|AB|＝＝3，直線AB的方程為x＋y＝3，所以圓心到直線AB的距離d＝＝.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為＋1，故△ABP面積的最大值為Smax＝×(＋1)×3＝. 5．已知A，B是圓O：x2＋y

9、2＝16上的兩點(diǎn)，且|AB|＝6，若以AB的長(zhǎng)為直徑的圓M恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是________________． 解析：設(shè)圓心M坐標(biāo)為(x，y)，則(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9 6．(2018·北京東城區(qū)調(diào)研)當(dāng)方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓的面積取最大值時(shí)，直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α＝________. 解析：由題意知，圓的半徑r＝＝≤1，當(dāng)半徑r取最大值時(shí)，圓的面積最大，此時(shí)k＝0，r＝1，所以直線方程為y＝－x＋2，則有tan α＝－1，又α∈[0，π)，

10、故α＝. 答案： 7．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為_(kāi)___________________． 解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的面積最小的圓是其外接圓． ∵△OPQ為直角三角形， ∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑r＝＝， 因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 [大題綜合練——遷移貫通] 1．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C

11、和D，且|CD|＝4. (1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程． 解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0.① 又∵直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2， ∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得或 ∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2 的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O. (1)求圓

12、C的方程； (2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4,0) 的距離等于線段OF的長(zhǎng)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)設(shè)圓C的圓心為C(a，b)， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8. 因?yàn)橹本€y＝x與圓C相切于原點(diǎn)O， 所以O(shè)點(diǎn)在圓C上，且OC垂直于直線y＝x， 于是有解得或 由于點(diǎn)C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假設(shè)存在點(diǎn)Q符合要求，設(shè)Q(x，y)， 則有解得x＝或x＝0(舍去)． 所以存在點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4,0)的距離等于線段OF的長(zhǎng)． 3．

13、已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值． 解：(1)設(shè)圓心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)， 則解得則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令x＝cos θ，y＝sin θ， 所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 又min＝－1， 所以·的最小值為－4.