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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五章 不等式選講練習(xí) 文
考點(diǎn)
內(nèi)容解讀
要求
高考示例
?？碱}型
預(yù)測(cè)熱度
不等式的解法及證明
1.理解絕對(duì)值的幾何意義并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R)
2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a
3.通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法等
Ⅱ
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,23;
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23;
2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23;
2、2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,24;
2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24;
2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,24;
2015課標(biāo)Ⅰ,24;
2015課標(biāo)Ⅱ,24
填空題、
解答題
★★☆
分析解讀
不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一,主要考查絕對(duì)值的幾何意義,絕對(duì)值不等式的解法及不等式證明的基本方法.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為10分,屬中檔題.
五年高考
考點(diǎn) 不等式的解法及證明
1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
證明 (1)(a+b)(a5+b5)
=a6+ab
3、5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+·(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)f(x)=
當(dāng)x<-1時(shí), f(x)≥1無(wú)解;
當(dāng)-1≤x≤2時(shí),由f(x)≥1得,2x-1≥1,
所以1≤x≤2;
當(dāng)x>2
4、時(shí),由f(x)≥1得x>2.
所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而
|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-+≤,
且當(dāng)x=時(shí),|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范圍為.
3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)x∈R時(shí), f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=2時(shí), f(x
5、)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)
(2)當(dāng)x∈R時(shí),
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立,
所以當(dāng)x∈R時(shí), f(x)+g(x)≥3等價(jià)于|1-a|+a≥3.①(7分)
當(dāng)a≤1時(shí),①等價(jià)于1-a+a≥3,無(wú)解.
當(dāng)a>1時(shí),①等價(jià)于a-1+a≥3,
解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集.
6、
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=(2分)
當(dāng)x≤-時(shí),由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)
當(dāng)-
7、選講
已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解;
當(dāng)-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.(5分)
(2)由題設(shè)可得, f(x)=
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B(2a+1,0),C(a,a+1)
8、,△ABC的面積為(a+1)2.
由題設(shè)得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)
6.(2015課標(biāo)Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd,則+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證明 (1)因?yàn)?+)2=a+b+2,
(+)2=c+d+2,
由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+>+.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因?yàn)閍+b=
9、c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
(ii)若+>+,則(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
7.(2014課標(biāo)Ⅰ,24,10分)選修4—5:不等式選講
若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.
解析 (1)由=+≥,得ab≥2,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.
故a3+b3≥2≥4,且當(dāng)a
10、=b=時(shí)等號(hào)成立.
所以a3+b3的最小值為4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
教師用書專用(8—15)
8.(2014陜西,15A,5分)(不等式選做題)設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為 .
答案
9.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為 .
答案 [0,2]
10.(2013陜西,15A,5分)(不等式選做題)設(shè)a,b∈R,|a-b|>2,則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是
11、 .
答案 (-∞,+∞)
11.(2015陜西,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|x+a|
12、M;
(2)當(dāng)x∈M∩N時(shí),證明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
解析 (1)f(x)=
當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;
當(dāng)x<1時(shí),由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集為M=.
(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,
解得-≤x≤.
因此N=,
故M∩N=.
當(dāng)x∈M∩N時(shí), f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2
=xf(x)[x+f(x)]
=x·f(x)=x(1-x)=-≤.
13.(2014課標(biāo)Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|
13、(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥ =+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
當(dāng)a>3時(shí), f(3)=a+,由f(3)<5得3-1,且當(dāng)x∈時(shí), f(x)
14、≤g(x),求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)
15、)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因?yàn)?b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
三年模擬
A組 2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組
考點(diǎn) 不等式的解法及證明
1.(2018福建四地六校12月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|
16、+|x-a|,a∈R.
(1)當(dāng)a=3時(shí),解不等式f(x)≤4;
(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=3時(shí),
f(x)=|2x-1|+|x-3|=
所以當(dāng)x≤時(shí),由4-3x≤4,得x≥0,所以0≤x≤;
當(dāng)
17、)≥0,即(2x-1)(x-a)≤0,
當(dāng)a<時(shí),x的取值范圍是;當(dāng)a=時(shí),x=;當(dāng)a>時(shí),x的取值范圍是.
2.(2018湖北荊州中學(xué)月考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)4,證明:f(x1)+f(x2)>12.
解析 (1)由f(x)+f(2x)
18、3|+|x2-3|≥|x1-3+x2-3|=|3x3-6|=3|x3-2|,
又|x3-2|>4,∴f(x1)+f(x2)>12.
3.(2017河南考前預(yù)測(cè),23)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)求不等式f(x)+|x+1|<2的解集;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值為a,且m+n=a(m>0,n>0),求+的最小值.
解析 (1)f(x)+|x+1|=
當(dāng)x≤-1時(shí),由-3x<2,得x>-,所以x∈?;
當(dāng)-10,所以0
19、式的解集為.
(2)由條件得:g(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|(2x-1)-(2x-3)|=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x∈時(shí),其最小值a=2,所以m+n=2.
因?yàn)閙>0,n>0,所以+=(m+n)=≥=,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=,n=時(shí)等號(hào)成立.
所以+的最小值為.
4.(2017廣東百校聯(lián)考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M為不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求證:當(dāng)x,y∈M時(shí),|x+y+xy|<15.
解析 (1)f(x)=
當(dāng)x<-2時(shí),由x-3>0,得x>3,所以x∈?;
當(dāng)-2≤x≤時(shí),由3x+1>0,得x>-,故-時(shí)
20、,由-x+3>0,得x<3,故
21、-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,
f(x)+f(x+5)≥m恒成立,
∴m≤5.
B組 2016—2018年模擬·提升題組
(滿分:60分 時(shí)間:50分鐘)
解答題(每小題10分,共60分)
1.(2018河北五校聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)原不等式等價(jià)于
或或
解得
22、+1)-(2x-3)|=4,
∴由已知得|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
2.(2018廣東珠海二中期中,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求不等式f(x)≤2的解集;
(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集為A,且?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|,
f(x)≤2即|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化為
或或
解得0≤x≤或
23、x)≤|2x+1|恒成立,
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈時(shí)恒成立,
∴|x+m|+2x-1≤2x+1,
即|x+m|≤2,∴-2≤x+m≤2,
∴-x-2≤m≤-x+2在x∈時(shí)恒成立,
∴(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,∴-≤m≤0,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
3.(2017湖北八校聯(lián)考,23)已知a>0,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范圍;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范圍.
解析 (1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴由基本不等式得ab≤=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.∵ab≤m恒成立,∴
24、m≥.
(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴+=(a+b)=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí),等號(hào)成立.
故要使+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,則|2x-1|-|x+2|≤9,
當(dāng)x≤-2時(shí),不等式可化為1-2x+x+2≤9,得-6≤x≤-2;
當(dāng)-2
25、+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.
解析 (1)當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=3+x,則f(x)≤2;當(dāng)-1
26、實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解析 (1)由題意可知a≠0,由|ax-1|≤3得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.
當(dāng)a>0時(shí),-≤x≤.
因?yàn)椴坏仁絝(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以解得a=2.
當(dāng)a<0時(shí),≤x≤-.
因?yàn)椴坏仁絝(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以無(wú)解.
所以a=2.
(2)因?yàn)?≥=,
所以要使 <|k|存在實(shí)數(shù)解,只需|k|>.
解得k>或k<-.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪.
6.(2016福建“四地六校”第三次聯(lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-1|(x∈R)的最小值為a.
(1)求a;
(2)已知兩個(gè)正數(shù)m,n滿足m
27、2+n2=a,求+的最小值.
解析 (1)函數(shù)f(x)=+|x-1|=
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值a=.
(2)由(1)知m2+n2=,由m2+n2≥2mn,得mn≤,
∵m>0,n>0,∴≥,
故有+≥2≥,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)取等號(hào).
所以+的最小值為.
C組 2016—2018年模擬·方法題組
方法1 含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法
1.(2018河南開封定位考試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-m|,m<0.
(1)當(dāng)m=-1時(shí),解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;
28、
(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x+1|,設(shè)F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=F(x)≥2-x,即或或解得x≤-2或x≥0,故原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥0}.
(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0,
當(dāng)x≤m時(shí),f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,則f(x)≥-m;
當(dāng)m
29、2x)<1的解集非空,即1>-,解得m>-2,
由于m<0,所以m的取值范圍是(-2,0).
2.(2017湖南五市十校12月聯(lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|-2|x+a|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]時(shí)恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)∵a=1,∴f(x)>1?|x-1|-2|x+1|>1
?或或
解得-20在x∈[2,3]時(shí)恒成立
?|x-1|-2|x+a|>0在x∈[2,3]時(shí)恒成立
?|2x+2a|
30、成立?1-x<2x+2a1.
解析 (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=
由|f(x)|<2得-11,只需證|1-abc|>|ab-c|,
31、只需證1+a2b2c2>a2b2+c2,只需證1-a2b2>c2(1-a2b2),
只需證(1-a2b2)(1-c2)>0,
由a,b,c∈A,得-10恒成立.
綜上,>1.
4.(2017四川廣安等四市一模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+bc+ac=1.
(1)當(dāng)b=1時(shí),求不等式f(x)≥1的解集;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證f(x)≤g(x).
解析 (1)當(dāng)b=1時(shí),f(x)=
當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=-2<1,
32、不等式f(x)≥1無(wú)解;
當(dāng)-1
2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五章 不等式選講練習(xí) 文
