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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練（四）（理）（含解析）
1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知矩陣A＝，X＝，且AX＝ ，其中x，y∈R.
(1)求x，y的值；
(2)若B＝，求(AB)－1.
解：(1)AX＝ ＝ .
因為AX＝，所以
解得x＝3，y＝0.
(2)由(1)知A＝ ，又B＝ ，
所以AB＝＝ .
設(AB)－1＝ ，則＝，
即＝.
所以解得a＝，b＝－，c＝0，d＝，
即 (AB)－1＝ .
B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系
2、xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，已知直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長．
解：因為曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，
所以ρ2sin2θ＝4ρcos θ，
即曲線C的直角坐標方程為y2＝4x.
將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x，得2＝4，
即t2＋8t＝0，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
C．[選修4－5：不等式選講]
已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c
3、)2對任意的實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
解：因為a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，
所以由柯西不等式得(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)·[12＋(－1)2＋12]＝3，
因為|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對任意的實數(shù)a，b，c恒成立，
所以|x－1|＋|x＋1|≥3.
當x<－1時，－2x≥3，即x≤－；
當－1≤x≤1時，2≥3不成立；
當x>1時，2x≥3，即x≥.
綜上，實數(shù)x的取值范圍為∪.
2.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3.D是線段BC的中點．
(1)
4、求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的余弦值．
解：因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，所以分別以AB，AC，AA1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0，3)，C1(0，4,3)，
因為D是BC的中點，
所以D(1，2,0)，
(1)因為＝(0,4,0)，＝(1,2，－3)，
設平面A1C1D的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
則即
取所以平面A1C1D的法向量n1＝(3,0,1)，而＝(1，－2,3)，
5、
設直線DB1與平面A1C1D所成角為θ，
所以sin θ＝|cos〈n1，〉|＝
＝＝，
所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為.
(2) ＝(2,0,0)，＝(1，－2,3)，
設平面B1A1D的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
則即
取所以平面B1A1D的法向量n2＝(0,3,2)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
故結合圖象知二面角B1-A1D-C1的余弦值.
3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，設Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)．
(1)寫出f(6)
6、的值；
(2)當n≥6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)滿足：
若a＝1，則b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，則b＝1,2,4,6；若a＝3，則b＝1,3,6.
所以f(6)＝13.
(2)當n≥6時，
f(n)＝(t∈N*)．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n＝6時，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結論成立．
②假設n＝k(k≥6)時結論成立，那么n＝k＋1時，Sk＋1在Sk的基礎上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：
a．若k＋1＝6t，則k＝6
7、(t－1)＋5，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
e．若k＋1＝6t＋4，則k＝6t＋3，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
f．若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立．
綜上所述，結論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立．
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