12、處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,則a=________.
解析:因?yàn)閥=aln x,所以y′=,所以在x=1處的切線的斜率k=a,而f(1)=aln 1=0,故切點(diǎn)為(1,0),所以切線方程為y=a(x-1).令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a.所以三角形面積S=×a×1=4,所以a=8.
答案:8
6.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m∈[-1,1],則f(m)的最小值為________.
解析:求導(dǎo)得f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.則f(x)=-x3+3x2-4
13、,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以對(duì)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.
答案:-4
7.已知函數(shù)f(x)=x+asin x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:∵函數(shù)f(x)=x+asin x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1+a·cos x≥0在(-∞,+∞)上恒成立.令cos x=t,t∈[-1,1],問題轉(zhuǎn)化為g(t)=at+1≥0在t∈[-1,1]上恒成立,即g(-1)≥0,g(1)≥0成立,所以-1≤a≤1.
答案:[-1,1]
14、
8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3--2x+5,若對(duì)任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
解析:f′(x)=3x2-x-2,
令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
解得x=1或x=-,
故f(x)在,(1,2)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故f(x)在x=1處取得極小值,且f(1)=,f(-1)=,
故f(x)min=,所以a<.
答案:
9.f(x)=x3-4x+m的極小值為-,則m的值為________.
解析:f′(x)=x2-4,
當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=-2或x=2.
當(dāng)f′(x)<0時(shí),-20時(shí),x
15、<-2或x>2.
∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函數(shù),在(-2,2)上是減函數(shù).
∴f(x)極小值=f(2)=×23-4×2+m
=-+m=-.
∴m=4.
答案:4
10.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<,則f(x)<+的解集為________.
解析:設(shè)F(x)=f(x)-,
則F(1)=f(1)-=1-1=0,
F′(x)=f′(x)-,對(duì)任意x∈R,有F′(x)=f′(x)-<0,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減,則F(x)<0的解集為(1,+∞),即f(x)<+的解集為(1,+∞).
答案:(1,+∞)
11
16、.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍為________.
解析:因?yàn)閒(x)在x=-1處取得極值,
所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,
所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
故由f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
因?yàn)橹本€y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是
17、(-3,1).
答案:(-3,1)
12.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,則使x2f(x)-f(1)
18、f′(x)<2,即2f(x)+xf′(x)-2<0,當(dāng)x>0時(shí),G′(x)<0,G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故由G(x)1,同理當(dāng)x<0時(shí),由G(x)0,M(a2,a),N(ln a,a),故MN的長l=|a2-ln a|,設(shè)f(a)=a2-ln a(a>0),所以f′(a)=2a-==,令f′(a)>0,得a>,所
19、以f(a)在上單調(diào)遞增;令f′(a)<0,得00,所以l=|a2-ln a|=a2-ln a=f(a),所以當(dāng)a=時(shí),線段MN的長取得極小值,也是最小值.
答案:
14.若函數(shù)f(x)=ex+x3-x-1的圖象上有且只有兩點(diǎn)P1,P2,使得函數(shù)g(x)=x3+的圖象上存在兩點(diǎn)Q1,Q2,且P1與Q1,P2與Q2分別關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)m的取值集合是________.
解析:設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則Q1(-x1,-y1),Q2(-x2,-y2),故有
即方程-=-x3-在(-∞,0)∪(0,+∞)上有兩解,即方程xex-x2-x=m在(-∞,0)∪(0,+∞)上有兩解,即函數(shù)h(x)=xex-x2-x(x≠0)的圖象與y=m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),令h′(x)=(ex-1)(x+1)=0得,x=0(舍去)或x=-1,作出函數(shù)h(x)圖象知,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)有兩解,所以m=h(-1)=.
答案: