江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(四)導(dǎo)數(shù)及其簡單應(yīng)用(含解析)

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(四)導(dǎo)數(shù)及其簡單應(yīng)用(含解析) 題型一 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 1.y=的導(dǎo)數(shù)為________. 解析:y′=′===. 答案: 2.已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為________. 解析:因?yàn)閒′(x)=a-,所以f′(1)=a-1,又f(1)=a,所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),令x=0,得y=1. 答案:1 3.若曲線y=acos x+1在點(diǎn)處的切線與直線2x+y+3=0垂直,則a=________. 解析:因?yàn)閥=

2、acos x+1的導(dǎo)函數(shù)為y′=-asin x,所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為k=-a,由于切線與直線2x+y+3=0垂直,則(-a)·(-2)=-1,即a=-. 答案:- 4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5)=________. 解析:對(duì)f(x)=3x2+2xf′(2)求導(dǎo),得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 答案:6 [臨門一腳] 1.求導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意: (1)求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡可減少運(yùn)算量. (2)對(duì)于商式的函數(shù)

3、若在求導(dǎo)之前變形,則可以避免使用商的導(dǎo)數(shù)法則,減少失誤. 2.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí),函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率等于在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值,求導(dǎo)之后要注意代入的是切點(diǎn)橫坐標(biāo),如果沒有切點(diǎn)坐標(biāo),一般要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程. 題型二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 1.函數(shù)f(x)=x-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為________. 解析:函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0

4、ab=________. 解析:因?yàn)閒′(x)=3x2-2ax+b,由已知條件可得-3,2是f′(x)=0的兩根,所以a=-,b=-18,從而ab=27. 答案:27 3.若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax+3a在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意得,f′(x)=x2+2x-a,根據(jù)題意知f′(x)≥0,即x2+2x≥a,而x2+2x=(x+1) 2-1≥(1+1) 2-1=3,所以a≤3. 答案:(-∞,3] 4.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-9ln x在區(qū)間[a-1,a+1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:因?yàn)閒(x

5、)=x2-9ln x,所以f′(x)=x-(x>0),當(dāng)x-≤0時(shí),有00且a+1≤3,解得10與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù),但反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件. 2.用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性首先要求定義域,單調(diào)性的逆向問題應(yīng)該解f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 3.函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)、不單

6、調(diào)、存在單調(diào)區(qū)間這三類問題要區(qū)分清楚. 題型三 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 1.函數(shù)y=2x-的極大值是________. 解析:y′=2+,令y′=0,得x=-1. 當(dāng)x<-1時(shí),y′>0;當(dāng)-1

7、x2<2,即1<-1+<2,即4<1+2a<9,所以

8、ln x-bx2的圖象在x=1處與直線y=-相切,則函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值為________. 解析:由題意知,f′(x)=-2bx, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aln x-bx2的圖象在x=1處與直線y=-相切,所以 解得即函數(shù)f(x)=ln x-. 又當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f′(x)=-x≤0, 所以函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減, 其最大值為f(1)=-. 答案:- [臨門一腳] 1.導(dǎo)數(shù)法是求函數(shù)值域的重要方法,對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)值域,一般應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值情況,同時(shí)要注意函數(shù)的定義域、零點(diǎn)情況. 2.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0

9、的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),即f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x=0處有y′|x=0=0,但x=0不是極值點(diǎn).此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). 3.函數(shù)在閉區(qū)間上的極值不一定是最值,需要和端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小才能確定. 4.含有參數(shù)的恒成立問題優(yōu)先考慮分參轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,如果不能分參,再分類討論處理. B組——高考提速練 1.曲線f(x)=+3x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為________________. 解析:因?yàn)閒′(x)=-+3,所以f′(1)=-2+3=1,又f(1)=+3×1=5,故切線方程

10、為y-5=1·(x-1),即x-y+4=0. 答案:x-y+4=0 2.已知函數(shù)f(x)=4ln x+ax2-6x+b(a,b為常數(shù)),且x=2為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則a的值為________. 解析:由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), ∵f′(x)=+2ax-6, ∴f′(2)=2+4a-6=0,即a=1. 答案:1 3.若曲線f(x)=acos x與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(diǎn)(0,m)處有公切線,則a+b=________. 解析:∵f′(0)=-asin 0=0, ∴g′(0)=2×0+b=0,∴b=0, 又m=1=a,∴a+b=1. 答案:1

11、 4.已知y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,且f′(x)=ln x+1,則函數(shù)f(x)的最小值為________. 解析:因?yàn)閒′(x)=ln x+1,設(shè)f(x)=xln x+C,又因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,故切點(diǎn)為(1,0),切點(diǎn)在曲線f(x)=xln x+C上,故C=0,故f(x)=xln x.令f′(x)=ln x+1>0,解得x>;令f′(x)<0,解得0

12、處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,則a=________. 解析:因?yàn)閥=aln x,所以y′=,所以在x=1處的切線的斜率k=a,而f(1)=aln 1=0,故切點(diǎn)為(1,0),所以切線方程為y=a(x-1).令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a.所以三角形面積S=×a×1=4,所以a=8. 答案:8 6.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m∈[-1,1],則f(m)的最小值為________. 解析:求導(dǎo)得f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.則f(x)=-x3+3x2-4

13、,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以對(duì)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4. 答案:-4 7.已知函數(shù)f(x)=x+asin x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:∵函數(shù)f(x)=x+asin x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1+a·cos x≥0在(-∞,+∞)上恒成立.令cos x=t,t∈[-1,1],問題轉(zhuǎn)化為g(t)=at+1≥0在t∈[-1,1]上恒成立,即g(-1)≥0,g(1)≥0成立,所以-1≤a≤1. 答案:[-1,1]

14、 8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3--2x+5,若對(duì)任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得3x2-x-2=0, 解得x=1或x=-, 故f(x)在,(1,2)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故f(x)在x=1處取得極小值,且f(1)=,f(-1)=, 故f(x)min=,所以a<. 答案: 9.f(x)=x3-4x+m的極小值為-,則m的值為________. 解析:f′(x)=x2-4, 當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=-2或x=2. 當(dāng)f′(x)<0時(shí),-20時(shí),x

15、<-2或x>2. ∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函數(shù),在(-2,2)上是減函數(shù). ∴f(x)極小值=f(2)=×23-4×2+m =-+m=-. ∴m=4. 答案:4 10.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<,則f(x)<+的解集為________. 解析:設(shè)F(x)=f(x)-, 則F(1)=f(1)-=1-1=0, F′(x)=f′(x)-,對(duì)任意x∈R,有F′(x)=f′(x)-<0,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減,則F(x)<0的解集為(1,+∞),即f(x)<+的解集為(1,+∞). 答案:(1,+∞) 11

16、.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍為________. 解析:因?yàn)閒(x)在x=-1處取得極值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0, 所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 故由f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3. 因?yàn)橹本€y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是

17、(-3,1). 答案:(-3,1) 12.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,則使x2f(x)-f(1)

18、f′(x)<2,即2f(x)+xf′(x)-2<0,當(dāng)x>0時(shí),G′(x)<0,G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故由G(x)1,同理當(dāng)x<0時(shí),由G(x)0,M(a2,a),N(ln a,a),故MN的長l=|a2-ln a|,設(shè)f(a)=a2-ln a(a>0),所以f′(a)=2a-==,令f′(a)>0,得a>,所

19、以f(a)在上單調(diào)遞增;令f′(a)<0,得00,所以l=|a2-ln a|=a2-ln a=f(a),所以當(dāng)a=時(shí),線段MN的長取得極小值,也是最小值. 答案: 14.若函數(shù)f(x)=ex+x3-x-1的圖象上有且只有兩點(diǎn)P1,P2,使得函數(shù)g(x)=x3+的圖象上存在兩點(diǎn)Q1,Q2,且P1與Q1,P2與Q2分別關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)m的取值集合是________. 解析:設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則Q1(-x1,-y1),Q2(-x2,-y2),故有 即方程-=-x3-在(-∞,0)∪(0,+∞)上有兩解,即方程xex-x2-x=m在(-∞,0)∪(0,+∞)上有兩解,即函數(shù)h(x)=xex-x2-x(x≠0)的圖象與y=m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),令h′(x)=(ex-1)(x+1)=0得,x=0(舍去)或x=-1,作出函數(shù)h(x)圖象知,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)有兩解,所以m=h(-1)=. 答案:

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