江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角 1.5 專題提能—“三角”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角 1.5 專題提能—“三角”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析） 1．在三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，a＝1，B＝2A且c

2、ABC中，已知AB＝，cos B＝，AC邊上的中線BD＝，則sin A的值為________． 解析：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE∥AB，且DE＝AB＝，設(shè)BE＝x， 在△BDE中，由余弦定理可得， 5＝x2＋＋2××x， 解得x＝1或x＝－(舍去)， 故BC＝2，從而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝， 即AC＝， 又sin B＝，故＝，sin A＝. 答案： 4．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是________． 解析：∵sin 2α＝，α∈， ∴cos 2α＝－且α∈. 又∵sin(β－α)＝，β∈， ∴co

3、s(β－α)＝－. 因此sin(β＋α)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝×＋× ＝－， cos(β＋α)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝×－× ＝， 又α＋β∈， ∴α＋β＝. 答案： B組——方法技巧練 1．在正△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AB＝3，BD＝1，則·＝________. 解析：∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， ∴·＝2＋·＝×32＋×3×3×＝. 答案： 2．若關(guān)于x的方程sin x＋cos x＝k在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

4、則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________. 解析：方程sin x＋cos x＝k在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y＝sin x＋cos x與y＝k在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)．又y＝sin x＋cos x＝2sin，x∈，作出函數(shù)y＝2sin，x∈與y＝k的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)k∈[，2)時(shí)原方程有兩解． 答案：[，2) 3．設(shè)f(x)＝sin4x－sin xcos x＋cos4x，則f(x)的值域是________． 解析：f(x)＝sin4x－sin xcos x＋cos4x＝1－sin 2x－sin22x. 令t＝sin 2x∈[－1,1]， 則g(t)＝1－t－t2＝－2，

5、 所以g(t)min＝g(1)＝0，g(t)max＝g＝， 即f(x)的值域是. 答案： 4．已知向量a，b，滿足|a|＝1，a與b的夾角為，若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，則|b|的取值范圍是________． 解析：由|a|＝1，a與b的夾角為，可得a·b＝|b|，對(duì)|xa＋2b|≥|a＋b| 兩邊平方可得，x2a2＋4xa·b＋4b2≥a2＋2a·b＋b2，化簡(jiǎn)得x2＋2x|b|＋3|b|2－|b|－1≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立． 所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，解得|b|≥1. 答案：[1，＋∞) 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)

6、邊分別為a，b，c，若＋＝. (1)求證：0

7、8， 即|＋|＝2. 6．在△ABC中，已知tan A·tan B－tan A－tan B＝. (1)求角C的大??； (2)設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c＝2，且△ABC是銳角三角形，求a2＋b2的取值范圍； (3)若△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值． 解：(1)由已知得，tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－＝，因?yàn)?

8、，所以ab＝4. 周長(zhǎng)l＝a＋b＋c＝a＋b＋＝a＋b＋， 因?yàn)閍＋b≥2＝4，所以l≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最小值為6. C組——?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用練 1．直線y＝2x和圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)x為始邊，OA，OB為終邊的角分別為α，β，則sin(α＋β)的值為________． 解析：聯(lián)立直線與圓的方程可得，交點(diǎn)坐標(biāo)為，，又β＝π＋α，所以sin(α＋β)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－2××＝－. 答案：－ 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為_______

9、_． 解析：因?yàn)閒(x)在區(qū)間，上具有單調(diào)性，且f＝－f，故函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為.由f＝f，可得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝.設(shè)f(x)的最小正周期為T，所以≥－，即T≥.所以－＝，即T＝π. 答案：π 3．在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a，b，斜邊和斜邊上的高分別為c，h，則的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閏＝，h＝bsin A，a＝btan A，所以＝.設(shè)sin A＋cos A＝t，則問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝在10，a與b的夾角

10、θ∈，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝________. 解析：a°b＝＝＝，① b°a＝＝＝.② ∵θ∈，∴0， ∴0<≤1.∴00， (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求此時(shí)a·b的夾角的大?。? 解：(1)已知|ka＋b

11、|＝|a－kb|，兩邊平方，得|ka＋b|2＝3|a－kb|2， 即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)， ∴8k·a·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2， a·b＝. ∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝1，b2＝1， ∴a·b＝＝. (2)∵k2＋1≥2k，即≥＝， ∴a·b的最小值為， 又∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a·b〉，|a|＝|b|＝1， ∴＝1×1×cos〈a，b〉． ∴cos〈a，b〉＝，此時(shí)a與b的夾角為60°. 6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tan C＝

12、. (1)求角C的大??； (2)若△ABC的外接圓直徑為1，求a2＋b2＋c2的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閠an C＝，即＝， 所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B， 即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B， 所以sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)， 即2C＝A＋B，所以C＝. (2)法一：由C＝，可得c＝2Rsin C＝1×＝， 且a＝2Rsin A＝sin A，b＝2Rsin B＝sin B， 設(shè)A＝＋α，B＝－α，由0＜A＜，0＜B＜， 知－＜α＜. 所以a2＋b2＋c2＝＋sin2A＋sin2B ＝＋＋ ＝－ ＝＋cos 2α. 由－＜α＜知－＜2α＜，－＜cos 2α≤1， 故＜a2＋b2＋c2≤. 法二：因?yàn)镃＝，所以c＝2Rsin C＝1×＝， 又因?yàn)閏2＝a2＋b2－2abcos C，所以＝a2＋b2－ab≥ab，故ab≤， 又a2＋b2＝＋ab，所以