江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析） 這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個內(nèi)容．但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，又考查概率分布與期望值；既考查運算能力，又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量．由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難．立體幾何題應(yīng)當容易建立空間直角坐標系，以計算空間角為主；概率題是離散型隨機變量及其分布列的均值與方差、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布這幾個基本知識交叉考查．　　 第一講 隨機變量與分布列 題型(一) 離散型隨機變量

2、的分布列及其期望 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查特殊事件的概率求解以及分布列與期望的求解. [典例感悟] [例1]　 (2018·無錫期末)某公司有A，B，C，D四輛汽車，其中A車的車牌尾號為0，B，C兩輛車的車牌尾號為6，D車的車牌尾號為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車．其中A，D兩輛汽車每天出車的概率為，B，C兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨立的．該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下： 汽車車牌尾號 車輛限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五 (1)求

3、該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率； (2)設(shè)X表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解]　 (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件A，則為該公司在星期四最多有一輛汽車出車． P()＝22＋C2＋C·2＝. 所以P(A)＝1－P()＝. 所以該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率為. (2)由題意，X的可能值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝22＝； P(X＝1)＝C2＋C·2＝； P(X＝2)＝22＋22＋C·C＝； P(X＝3)＝2C＋2C·＝； P(X＝4)＝22＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2

4、 3 4 P E(X)＝＋2×＋3×＋4×＝. 所以X的數(shù)學(xué)期望為. [方法技巧] 求離散型隨機變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟 由于離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機變量的分布列，而分布列是由隨機變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機變量取各個值的概率．具體步驟如下： [演練沖關(guān)] (2018·揚州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場講座．已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場．若A組1人選聽《生

5、活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》． (1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率； (2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件M，則P(M)＝＝，故選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為. (2)X可能的取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列為：

6、X 0 1 2 3 P 所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 題型(二) n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查對n次獨立重復(fù)試驗的模型的識別以及二項分布模型公式的應(yīng)用. [典例感悟] [例2]　(2018·南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程． (1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率； (2)設(shè)這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X，

7、求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)． [解]　(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率為P＝1－＝. (2)由題意得X～B， P(X＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 所以X的概率分布為： X 0 1 2 3 4 5 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝5×＝. [方法技巧] 二項分布的分布列及期望問題求解三步驟 第一步 判斷 二項 分布 先判斷隨機變量是否服從二項分布，即若滿足：①對立性：即一次試驗中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；②重復(fù)性：試驗在相同條件下獨立重復(fù)地進行n次，保證每

8、一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機變量服從二項分布，否則不服從二項分布 第二步 求概率 若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率分別是多少 第三步 求期望 根據(jù)二項分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項分布期望公式求期望即可 [演練沖關(guān)] (2018·蘇北四市三調(diào))將4本不同的書隨機放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中． (1)求4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率； (2)設(shè)隨機變量X表示放在2號抽屜中書的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)將4本不同

9、的書放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中，共有44＝256種不同放法． 記“4本書恰好放在四個不同抽屜中”為事件A， 則事件A共包含A＝24個基本事件， 所以P(A)＝＝， 所以4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率為. (2)法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,4， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1. 法二：每本書放入2號抽屜的概率為P(B)＝，P()＝1－＝. 根據(jù)

10、題意X～B， 所以P(X＝k)＝Ck·4－k，k＝0,1,2,3,4， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝4×＝1. 題型(三) 概率與其他知識的綜合 主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問題. [典例感悟] [例3]　(2018·南通調(diào)研)甲、乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局．根據(jù)以往比賽勝負的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)． (1)求P(2)與P(3)的值；

11、(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局， 所以P(2)＝C4＋C4＝， 同理P(3)＝C6＋C6＋C6＝. (2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局數(shù)至少為n＋1局， 故P(n)＝C2n＋C2n＋…＋C2n ＝·2n ＝·2n ＝·2n ＝， 所以P(n＋1)＝. 又＝＝ ＝＝＞1， 所以＞，所以P(n)＜P(n＋1)． [方法技巧] 二項分布與二項式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項分布求其P(n)和P(n＋1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、

12、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識交匯命題． [演練沖關(guān)] 1．(2018·常州期末)已知正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量ξ的值： 若這兩條棱所在的直線相交，則ξ的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線平行，則ξ＝0；若這兩條棱所在的直線異面，則ξ的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制)． (1)求P(ξ＝0)的值； (2)求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：根據(jù)題意，該四棱錐的四個側(cè)面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到△PAC，△PBD為等腰直角三角形．ξ的可能取值為0，，，共C＝

13、28種情況，其中，ξ＝0時，有2種； ξ＝時，兩條棱所在直線相交時，4個側(cè)面三角形，共4×3種，兩條棱所在直線異面時，底面一條邊與不相鄰的兩條側(cè)棱，共4×2種，共有3×4＋2×4＝20(種)； ξ＝時，兩個等腰直角三角形，2種，底面正方形，4種，共有2＋4＝6(種)． (1)P(ξ＝0)＝＝. (2)P＝＝， P＝＝. 再根據(jù)(1)的結(jié)論，隨機變量ξ的分布列為： ξ 0 P E(ξ)＝0×＋×＋×＝π. 2．(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖

14、所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n). 1 2 3 … m＋n (1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p； (2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<. 解：(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為： p＝＝. (2)證明：隨機變量X的概率分布為： X … … P … … 隨機變量X的期望為： E(X)＝· ＝·. 所以E(X)< ＝ ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C

15、＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<. A組——大題保分練 1．(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個，分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機取兩個球． (1)若兩個球顏色不同，求不同取法的種數(shù)； (2)在(1)的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望． 解：(1)兩個球顏色不同的情況共有C·42＝96(種)． (2)隨機變量X所有可能的值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝

16、3)＝＝. 所以隨機變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為p1＝，乙的命中率為p2.在射擊比賽活動中，每人射擊兩發(fā)子彈，則完成一次檢測．在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“和諧組”． (1)若p2＝，求該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率； (2)若計劃在2019年每月進行1次檢測，記這12次檢測中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X，如果E(X)≥5，求p2的取值范圍． 解：(1)記該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P， 則P

17、＝＋×·×＝.即該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為. (2)該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為 P＝×Cp2(1－p2)＋p ＝p2－p. 因為該小組在這12次檢測中獲得“和諧組”的次數(shù)X～B(12，P)，所以E(X)＝12P. 由E(X)≥5得12≥5， 解得≤p2≤. 因為p2≤1，所以p2的取值范圍為. 3．從集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個元素構(gòu)成子集{a，b，c}． (1)求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率； (2)記a，b，c三個數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為ξ(如集合{3,4,5}中3和4相鄰，4和5相鄰，ξ＝2)，

18、求隨機變量ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：(1)從9個不同的元素中任取3個不同元素，其基本事件總數(shù)為n＝C. 記“a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2”為事件A. 由題意，a，b，c均不相鄰，可利用插空法．假設(shè)有6個元素排成一列，則6個元素之間和兩端共有7個空位，現(xiàn)另取3個元素插入空位，共有C種插法，然后將這9個元素，從左到右編號，依次為1,2,3，…，9，則插入的這3個元素中任意兩者之差的絕對值均不小于2，所以事件A包含的基本事件數(shù)m＝C. 故P(A)＝＝. 所以a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率為. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ＝0

19、)＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實驗小組對該種植物的種子進行發(fā)芽試驗，若該實驗小組共種 植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨立)，用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值． (1)求隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望； (2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率． 解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，

20、 所以ξ的所有可能取值為0,2,4， P(ξ＝0)＝C×2×2＝， P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝， P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝. 所以隨機變量ξ的概率分布為 ξ 0 2 4 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (2)由(1)知ξ的所有可能取值為0,2,4， 當ξ＝0時，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，對x∈R恒成立，即解集為R； 當ξ＝2時，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0， 即22＋>0，對x∈R恒成立，即解集為R； 當ξ＝4時，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集為x≠

21、，不滿足題意． 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝. B組——大題增分練 1．(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨立．規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級加1分，有兩門學(xué)科獲A等級加2分，有三門學(xué)科獲A等級加3分，四門學(xué)科獲A等級則加5分．記X1表示該生的加分數(shù)，X2表示該生獲A等級的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值． (1)求X1的數(shù)學(xué)期望； (2)求X2的分布列． 解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級為事件Ai，i＝0,1,2,3,4. X1的可能取值為0,1,2,

22、3,5. 則P(Ai)＝Ci4－i， 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，則X1的分布列為 X1 0 1 2 3 5 P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝. (2)X2的可能取值為0,2,4，則 P(X2＝0)＝P(A2)＝； P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝； P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝. 所以X2的分布列為 X2 0 2 4 P 2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點P處分別向A，B，C三個目標進行射擊，每人向三

23、個目標各射擊一次．每人每次射擊每個目標均相互獨立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，，. (1)設(shè)X表示甲擊中目標的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)求甲、乙兩人共擊中目標數(shù)為2個的概率． 解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標的個數(shù)， 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(

24、Y＝1)＝，P(Y＝2)＝. 則P(X＝0，Y＝2)＝×＝， P(X＝1，Y＝1)＝×＝， P(X＝2，Y＝0)＝×＝， 所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝. 所以甲、乙兩人共擊中目標的個數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設(shè)P1，P2，…，P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現(xiàn)任選其中三個不同點構(gòu)成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量S. (1)求S＝的概率； (2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)． 解：(1)從六個點中任選三個不同點構(gòu)成一個三角形共有C種不同選法，其中S＝的為有一個角是30°的直角三角形(如△P1P4P

25、5)，共6×2＝12種， 所以P＝＝. (2)S的所有可能取值為，，.S＝的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種， 所以P＝＝. S＝的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種， 所以P＝＝. 又由(1)知P＝＝， 故S的分布列為 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝. 4．一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當所指定的玻璃球不出現(xiàn)時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時，

26、參加者可相應(yīng)獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵(k∈N*)，且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元． (1)求概率P(X＝0)的值； (2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值． 解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”， 則P(X＝0)＝3××2＝. (2)依題意得，X的可能值為k，－1,1,0， 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝， 結(jié)合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝， 為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元， 所以k≥110，即kmin＝110. 故k的最小值為110.