江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（十一）直線與圓（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（十一）直線與圓（含解析） 題型一　直線的方程 1．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值為________． 解析：由題意可知a≠0.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋2. 當(dāng)y＝0時(shí)，x＝. 所以＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 答案：－2或1 2．將直線y＝3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線方程為________________． 解析：將直線y＝3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線y＝－x，再向右平移1個(gè)單位，所得直線的方程為y＝－(x－1)，即x＋3y－1＝0.

2、 答案：x＋3y－1＝0 3．若直線y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點(diǎn)，則a＝________. 解析：直線y＝2x＋10與y＝x＋1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，解得a＝. 答案： 4．點(diǎn)A(1,1)到直線xcos θ＋ysin θ－2＝0的距離的最大值為________． 解析：由點(diǎn)到直線的距離公式，得 d＝＝2－sin， 又θ∈R，所以dmax＝2＋. 答案：2＋ [臨門一腳] 1．求直線方程的一般方法 (1)直接法：根據(jù)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出方程． (2)待定系數(shù)法：先設(shè)出方程，再根據(jù)條件

3、求出待定系數(shù)． 2．五種直線方程靈活選擇，要牢記用斜率首先考慮斜率不存在；用截距要考慮截距為0或不存在的情況，不能出現(xiàn)漏解的情況． 題型二　圓的方程 1．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________． 解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4. 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 2．圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是________________． 解析：設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|， 所以圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2

4、. 因?yàn)辄c(diǎn)(3,1)在圓上， 所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5. 所以圓的方程為x2＋(y－5)2＝25. 答案：x2＋(y－5)2＝25 3．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱圖形，則a－b的取值范圍是________． 解析：由題意知，直線y＝2x＋b過圓心，而圓心坐標(biāo)為(－1,2)，故b＝4，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1. 答案：(－∞，1) 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圓C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圓心在x軸上的圓C同

5、時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是____________． 解析：法一：設(shè)圓C的半徑為r，圓心坐標(biāo)為C(a,0)． 因?yàn)閳AC平分圓C1的圓周， 所以r2＝CC＋1. 同理可得r2＝CC＋9， 所以 CC＝CC＋8， 即(a－4)2＋82＝(a－6)2＋62＋8，解得a＝0， 從而得r2＝CC＋1＝42＋82＋1＝81， 故圓C的方程為x2＋y2＝81. 法二：設(shè)圓C的方程為：(x－a)2＋y2＝r2. 則圓C與C1的公共弦方程為 (2a－8)x－16y＋79＋r2－a2＝0.(*) 因?yàn)閳AC平分圓C1的圓周， 所以直線(*)經(jīng)過圓C1的圓心， 即a2－8a

6、－r2＋81＝0.① 同理，由圓C平分圓C2的圓周，得 a2－12a－r2＋81＝0，② 聯(lián)立①②得a＝0，r2＝81. 故圓C的方程為x2＋y2＝81. 答案：x2＋y2＝81 [臨門一腳] 1．三個(gè)獨(dú)立條件確定一個(gè)圓，一般用待定系數(shù)法，如果已知圓心或半徑可用標(biāo)準(zhǔn)式；如果已知圓經(jīng)過某些點(diǎn)常用一般式．并要注重圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化． 2．不能忘記求圓的方程時(shí)，圓的一般式方程要滿足的條件D2＋E2－4F>0. 3．如果遇到求解與三角形有關(guān)的圓的方程，應(yīng)該研究三角形特征如等邊三角形或直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓，更容易用標(biāo)準(zhǔn)式求解． 題型三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1

7、．若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：不妨設(shè)a>b，由題意可知，每段圓弧的圓心角為90°，故弦心距為2，從而由＝2及＝2，得a＝2＋1，b＝－2＋1，故a2＋b2＝18. 答案：18 2．(2018·鎮(zhèn)江高三期末)已知圓C與圓x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)A(0，－6)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 解析：由題意可知，圓C的圓心在直線y＝x上，設(shè)圓C的圓心為(a，a)，半徑為r，則r2＝a2＋a2＝a2＋(a＋6)2，解得a＝－3，所以圓心為

8、(－3，－3)，r2＝18，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋3)2＝18. 答案：(x＋3)2＋(y＋3)2＝18 3．過點(diǎn)P(－4,0)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為________________． 解析：根據(jù)題意，由于(－4－1)2>5，所以點(diǎn)P在圓C外，過圓心C作CM⊥AB于M，連結(jié)AC.易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，則CM＝＝，AM＝＝.又點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，所以PM＝3AM，在Rt△PMC中，CM2＋PM2＝PC2，即＋＝25，得180k2＝20，即

9、k＝±，故直線l的方程為x±3y＋4＝0. 答案：x±3y＋4＝0 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－2)，點(diǎn)B(1，－1)，P為圓x2＋y2＝2上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________． 解析：法一：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則x2＋y2＝2， 所以＝ ＝＝＝， 令λ＝， 則x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0， 由題意，直線x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0與圓x2＋y2＝2有公共點(diǎn)， 所以≤，解得0<λ≤4， 所以的最大值為2. 法二：當(dāng)AP不與圓相切時(shí)，設(shè)AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D， 由條件AB與圓C相切，則∠ABP＝∠ADB， 所以△ABP∽△ADB， 所以＝＝

10、≤＝2， 所以的最大值為2. 答案：2 [臨門一腳] 1．直線與圓的位置關(guān)系用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判定較好． 2．涉及圓的切線時(shí)，要考慮過切點(diǎn)與切線垂直的半徑，計(jì)算弦長(zhǎng)時(shí)，要注意應(yīng)用半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形． 3．根據(jù)相交、相切的位置關(guān)系求直線方程時(shí)，要注意先定性再定量，不能漏解． 4．圓上存在一點(diǎn)的存在性問題可以通過求解動(dòng)點(diǎn)軌跡轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問題． B組——高考提速練 1．“a＝1”是“直線ax－y＋2a＝0與直線(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直”的____________條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

11、 解析：∵兩直線互相垂直，∴a·(2a－1)＋(－1)·a＝0，即2a2－2a＝0，解得a＝0或a＝1. 答案：充分不必要 2．經(jīng)過點(diǎn)P(－5，－4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是________________________________________________________________________． 解析：由題意設(shè)所求方程為y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由·|5k－4|·＝5，得k＝或k＝，故所求直線方程為8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0. 答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 3．圓心在直線2x－y

12、－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_______________________． 解析：因?yàn)閳A過A(0，－4)，B(0，－2)，所以圓心C的縱坐標(biāo)為－3，又圓心C在直線2x－y－7＝0上，所以圓心C為(2，－3)，從而圓的半徑為r＝AC＝＝，故所求的圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)3＝5. 答案：(x－2)2＋(y＋3)3＝5 4．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值是________． 解析：因?yàn)閳A上兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，所以直線x－y＋3＝0過圓心，從而－＋3＝0，即m＝

13、6. 答案：6 5．過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2－4x＋y2＋2＝0相切的直線方程為________． 解析：圓x2－4x＋y2＋2＝0的圓心為(2,0)，半徑為，易知過原點(diǎn)與該圓相切時(shí)，直線有斜率．設(shè)斜率為k，則直線方程為y＝kx，則＝， 所以k2＝1，所以k＝±1，所以直線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 6．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為_____________________________________________________． 解析：由題意得C1(－1,1)，圓心C2與C1關(guān)于直線x－y－1＝

14、0對(duì)稱，且半徑相等，則C2(2，－2)，所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1 7．已知直線x＋y－a＝0與圓C：(x－2)2＋(y＋2)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：由題意得圓的圓心為C(2，－2)，半徑為2，由△ABC為等腰直角三角形可知圓心到直線的距離為，所以＝，所以a＝±2. 答案：±2 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若與點(diǎn)A(2,2)的距離為1且與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線恰有兩條，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________． 解析：由題意知，以A(2

15、,2)為圓心，1為半徑的圓與以B(m,0)為圓心，3為半徑的圓相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－2＋2

16、為y－0＝(x＋1)，即3x－4y＋3＝0，故點(diǎn)B到直線l的距離為＝1. 答案：1 10．已知圓C：x2＋y2－4x－2y－20＝0，直線l：4x－3y＋15＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，D為圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則△ABD面積的最大值為__________． 解析：因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25，所以圓心C(2,1)，半徑r＝5，所以圓心C到直線l：4x－3y＋15＝0的距離為d＝＝4，所以AB＝2＝2＝6，因?yàn)镈為圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，所以D到直線AB即直線l：4x－3y＋15＝0的距離的最大值為d＋r＝9，所以△ABD面積的最大值為×6×9＝27

17、. 答案：27 11．設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，－1)，∠B，∠C的平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程是________． 解析：點(diǎn)A(3，－1)關(guān)于直線x＝0，y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，－1)，A″(－1,3)且都在直線BC上，故得直線BC的方程為2x－y＋5＝0. 答案：2x－y＋5＝0 12．已知點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓C：x2＋y2＝1內(nèi)一點(diǎn)，直線tx＋2ty＝m與圓C相切，則直線l：x＋y＋m＝0與圓C的位置關(guān)系是________． 解析：由點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓C：x2＋y2＝1內(nèi)一點(diǎn)，得|t|<1.因?yàn)橹本€tx＋2ty＝m與圓C相切，

18、所以＝1，所以|m|<1.圓C：x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線x＋y＋m＝0的距離d＝<1＝r.所以直線l與圓C的位置關(guān)系為相交． 答案：相交 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在第一象限，且＝2，則直線l的方程為_________． 解析：由題意，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與圓x2＋y2＝5聯(lián)立，可得(m2＋1)y2＋2my－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則－y2＝2y1，y1＋y2＝－，y1y2＝－， 聯(lián)立解得m＝1，∴直線l的方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 14．在平面

19、直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a為實(shí)數(shù))．若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P，Q，使得∠OQP＝30°，則a的取值范圍為________． 解析：過Q作圓O的切線QR，切點(diǎn)為R， 根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OQR≥∠OQP＝30°； 反過來(lái)，如果∠OQR≥30°，則存在圓O上的點(diǎn)P，使得∠OQP＝30°. 所以，若圓O上存在點(diǎn)P，使得∠OQP＝30°，則∠OQR≥30°. 因?yàn)镺P＝1，所以O(shè)Q＞2時(shí)不成立，所以O(shè)Q≤2， 即點(diǎn)Q在圓面x2＋y2≤4上． 又因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上， 所以圓M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1與圓面x2＋y2≤4有公共點(diǎn)，所以O(shè)M≤3. 因?yàn)镺M2＝(0＋a＋3)2＋(0－2a)2， 所以(0＋a＋3)2＋(0－2a)2≤9， 解得－≤a≤0. 答案：