江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析） 1.在一個(gè)矩形體育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示)，用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域，已知B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn)． (1)若BC＝a＝10，求儲(chǔ)存區(qū)域△ABC面積的最大值； (2)若AB＝AC＝10，在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D，使DB＋DC＝a＝20，求儲(chǔ)存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值． 解：(1)設(shè)AB＝x，則AC＝ ， 所以S△ABC＝x＝≤ ＝×50＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝100－x2，即x＝5時(shí)取等號(hào)， 所以S△ABC取得最大值為25. (2)由DB＋DC＝20知點(diǎn)D在以B，C為

2、焦點(diǎn)的橢圓上． 因?yàn)镾△ABC＝×10×10＝50，所以要使四邊形DBAC的面積最大，只需△DBC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點(diǎn)． 由BC＝10得短半軸長(zhǎng)為5，所以S△DBC的最大值為×10×5＝50. 因此四邊形DBAC面積的最大值為100. 2.某地?cái)M建一座長(zhǎng)為640米的大橋AB，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門測(cè)算，兩端橋墩A，B造價(jià)總共為100萬(wàn)元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米時(shí)(其中64

3、中間(兩端橋墩A，B除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩？ 解：(1)由橋的總長(zhǎng)為640米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米，知中間共有個(gè)橋墩，于是橋的總造價(jià) f(x)＝640＋＋100， 即f(x)＝x＋x－x＋1 380 ＝x＋x－x＋1 380(640， 所以當(dāng)x＝80時(shí)，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為－1＝7. 3．如圖所示，有兩條道路OM

4、與ON，∠MON＝60°，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA，OB，AB(其中A，B分別在OM，ON上)，若下水管道的總長(zhǎng)度為3 km.設(shè)OA＝a km，OB＝b km. (1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出a的取值范圍； (2)已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到OM的距離PH為 km，到點(diǎn)O的距離PO為 km，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P？若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說明理由． 解：(1)∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b. ∵∠MON＝60°，由余弦定理，得 AB2＝a2＋b2－2abcos 60°. ∴(3－a－b)2＝a2＋b2－ab. 整理，得b＝. 由

5、a>0，b>0,3－a－b>0，及a＋b>3－a－b，a＋3－a－b>b，b＋3－a－b>a，得0

6、四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b. (1)當(dāng)a＝90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值； (2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值． 解：(1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600， 故當(dāng)a＝90時(shí)，b＝40， 從而包裝盒子的側(cè)面積 S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x2＋260x，x∈(0,20)． 因?yàn)镾＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25)2＋2 112.5， 故當(dāng)x＝16.25時(shí)，紙盒側(cè)面

7、積最大，最大值為2 112.5平方厘米． (2)包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60. V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2) ＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時(shí)等號(hào)成立． 設(shè)f(x)＝4x3－240x2＋3 600x，x∈(0,30)． 則f′(x)＝12(x－10)(x－30)． 于是當(dāng)0＜x＜10時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增； 當(dāng)10＜x＜30時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上單調(diào)

8、遞減． 因此當(dāng)x＝10時(shí)，f(x)有最大值f(10)＝16 000，此時(shí)a＝b＝60，x＝10. 答：當(dāng)a＝b＝60，x＝10時(shí)紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米． B組——大題增分練 1．(2018·常州期末)已知小明(如圖中①AB所示)身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O.點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作AB′. (1)小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求AB′掃過的圖形面積； (2)若OA＝3米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段AA1走到A1，∠OAA1＝，且AA1＝10米，如圖②所示．t秒時(shí)

9、，小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為f(t)(單位：米)，求f(t)的表達(dá)式與最小值． 解： (1) 由題意AB∥OM，＝＝＝，OA＝3，所以O(shè)B′＝6. 小明在地面上的身影AB′掃過的圖形是圓環(huán)，其面積為π×62－π×32＝27π(平方米)． (2) 經(jīng)過t秒，小明走到了A0處，身影為A0B0′， 由(1)知＝＝， 所以f(t)＝A0B0′＝OA0 ＝， 化簡(jiǎn)得f(t)＝＝ ，0

10、皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪． (1)當(dāng)∠EFP＝時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積； (2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說明理由． 解：(1)當(dāng)∠EFP＝時(shí)，由條件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝， 所以∠FPE＝，即FN⊥BC， 所以四邊形MNPE為矩形，此時(shí)PN＝FN－PF＝3－2＝1 (m)，所以四邊形MNPE的面積S＝PN·MN＝2(m2). (2)法一：設(shè)∠EFD＝θ， 由

11、條件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ. 所以PF＝＝， NP＝NF－PF＝3－，ME＝3－. 由得 所以四邊形MNPE面積為S＝(NP＋ME)MN ＝×2＝6－－ ＝6－－＝6－ ≤6－2 ＝6－2. 當(dāng)且僅當(dāng)tan θ＝，即tan θ＝，θ＝時(shí)取“＝”． 此時(shí)，(*)成立． 答：當(dāng)∠EFD＝時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為m2. 法二：設(shè)BE＝t m,3

12、四邊形MNPE面積為 S＝(NP＋ME)MN ＝×2＝ ＝6－≤6－2. 當(dāng)且僅當(dāng)(t－3)＝，即t＝3＋＝3＋時(shí)取“＝”. 此時(shí)，(*)成立． 答：當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)3＋ m時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為(6－2)m2. 3.(2018·揚(yáng)州期末)如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園，其中P，Q分別在射線OA和OB上．經(jīng)測(cè)量得，扇形OPQ的圓心角(即∠POQ)為、半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA，OB交于M，N兩點(diǎn)，并要求MN與扇形弧相切于點(diǎn)S.設(shè)∠POS＝α(單位：弧度

13、)，假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)． (1) 試將公路MN的長(zhǎng)度表示為α的函數(shù)，并寫出α的取值范圍； (2) 試確定α的值，使得公路MN的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值． 解：(1) 因?yàn)镸N與扇形弧相切于點(diǎn)S， 所以O(shè)S⊥MN. 在Rt△OSM中，因?yàn)镺S＝1，∠MOS＝α， 所以SM＝tan α. 在Rt△OSN中，∠NOS＝－α， 所以SN＝tan， 所以MN＝tan α＋tan＝， 其中<α<. (2) 法一：(基本不等式) 因?yàn)?α<， 所以tan α－1>0. 令t＝tan α－1>0，則tan α＝(t＋1)， 所以MN＝. 由基本不等式得MN≥·＝2，

14、當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時(shí)取“＝”． 此時(shí)tan α＝，由于<α<，故α＝. 答：當(dāng)α＝時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，為2千米． 法二：(三角函數(shù)) MN＝ ＝＝ ＝. 因?yàn)?α<，所以<2α－<， 故

15、AB.問：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？ 解：法一：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy，則C(1,1)． 設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，則直線AB方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 因?yàn)锳B與圓C相切，所以＝1. 化簡(jiǎn)得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 因此AB＝ ＝ ＝ ＝ . 因?yàn)?＜a＜1,0＜b＜1， 所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)． 又ab＝2(a＋b)－2≤2， 解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2(舍去)． 所以AB＝2－(a＋b)≥2－(4－2)＝2－2，當(dāng)

16、且僅當(dāng)a＝b＝2－時(shí)取等號(hào)， 所以AB最小值為2－2，此時(shí)a＝b＝2－. 故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2－(百米)時(shí)，小道AB最短． 法二：如圖，設(shè)圓C與道路1，道路2，AB的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，D，連結(jié)CE，CA，CD，CB，CF. 設(shè)∠DCE＝θ，θ∈， 則∠DCF＝－θ. 在Rt△CDA中，AD＝tan. 在Rt△CDB中，BD＝tan. 所以AB＝AD＋BD＝tan＋tan ＝tan＋. 令t＝tan，0＜t＜1， 則AB＝f(t)＝t＋＝t＋1＋－2≥2－2， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)． 所以AB最小值為2－2，此時(shí)A，B兩點(diǎn)離兩條道路交點(diǎn)的距離是1－(－1)＝2－. 故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2－(百米)時(shí)，小道AB最短．