2022年高一數(shù)學(xué) 增效減負(fù) 正弦定理教學(xué)案

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1、2022年高一數(shù)學(xué) 增效減負(fù) 正弦定理教學(xué)案 一、設(shè)計(jì)思想： 定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。 二、教學(xué)目標(biāo)： 讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生

2、合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)幫助學(xué)生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。 四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)： A B C （一）創(chuàng)設(shè)情境: 如圖，現(xiàn)在河岸兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間建一座 橋，需要知道A，B間的距離．由于環(huán)境因素不能直接測(cè)量A，B間的距離．你有辦法間接測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離嗎？ 引出：解三角形——已

3、知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程。 [設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。] 師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？ 生：······，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角” 師：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？ 引出課題：“正弦定理 [設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。] （二）猜想、實(shí)驗(yàn)： 1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形

4、中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？ [學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。] [設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力] 2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出a\sinA=b\sinB=c\sinC。 3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？ 請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、

5、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。 [設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力] （三）證明探究： 對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？ 1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,A

6、C=b,AB=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中，。 2、推廣拓展，探究證明 ： 問(wèn)題2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與、 b與sinB”的關(guān)系呢？ 探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？ [學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下三種方法構(gòu)造直角三角形。 生1：如圖1，過(guò) C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng)線于D，得到直角三角形DBC。 生2：如圖2，過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直角三角形問(wèn)題。 生3：如圖3，分別過(guò)B、C作AB、

7、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個(gè)直角三角形······] 經(jīng)過(guò)師生討論指出：方法2，簡(jiǎn)單明了，容易得到“c與、 b與sinB”的關(guān)系式。 [知識(shí)鏈接：根據(jù)化歸——這一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問(wèn)題是自然不過(guò)的。而方法3將把問(wèn)題延伸到四點(diǎn)共圓，深究下去，可得=2R，對(duì)此，可留做課后思考解決] 圖1 圖2 _ c _ b _ a _ a _ C ( bcosA , bsinA ) _ D ( acos

8、( - B ) , asin ( - B )) _ B ( c , 0 ) 圖3 圖4 探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？ （1）圖2中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？ 學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同的）, 等, （2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運(yùn)算?) 生：施以數(shù)量積運(yùn)算 （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？ [學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會(huì)做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量（或

9、），均無(wú)法如愿。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量,并說(shuō)出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦，垂直則實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。] [知識(shí)鏈接：過(guò)渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過(guò)去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然] 探究3：能否引入向量的坐標(biāo)形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算？ （1）如圖4，建立直角坐標(biāo)系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA), （2）向量的坐標(biāo)=？ （bcosA-c，bsinA） （3）哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定義，該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？ 根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建立等量關(guān)系：bcosA

10、－c= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實(shí)是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。 [知識(shí)鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具，我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3] 問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)） （四）理解定理、基本應(yīng)用： 1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 問(wèn)題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成

11、正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。 （2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 例2．在中，已知，解三角形 評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。 課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？ 3、課堂練習(xí)： （1）、引題（問(wèn)題1） （2）、在△ABC中

12、，sinA＞sinB是A＞B的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。] （五）課堂小結(jié)： 問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。 生1：原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了 師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。 生2：原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。 師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具

13、，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。 生3：公式很美。 師：美在哪里？ 生3：體現(xiàn)了公式的對(duì)稱美，和諧美······ 在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)： 1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。 2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值 3、利用正弦定理解決三類三角形問(wèn)題： （1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。 （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角，

14、進(jìn)而求出其他的邊和角。 （3）實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。 [設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆。] （六）分層作業(yè)： 1、書面作業(yè)：課時(shí)訓(xùn)練對(duì)應(yīng)內(nèi)容 2、研究類作業(yè)： 1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。 2）在△ABC中，，研究k的幾何意義 3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？ [設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則，在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述。] b a b a b a b a a 已知邊阿a a,b 和 A 僅有一個(gè)解 有兩個(gè)解 僅有一個(gè)解 無(wú)解解 a ? b CH = bsinA